Capítulo 4. Productos notables y factorización


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1 Capítulo 4 Productos notables y factorización

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3 Las siguientes fórmulas de multiplicación de expresiones algebraicas ayudan a factorizar muchas expresiones, sin embargo se debe aprender a reconocer cuál utilizar en cada caso. Estas expresiones reciben el nombre de productos notables. Binomio al cuadrado (x+y)2 =(x+y)(x+y) otambién (x+y)2=x2+2xy+y2 (x - y)2 = (x - y) (x - y) o también (x -y)2 = x2-2xy - y2 Binomios conjugados (x+y)(x-y)x2 - y2 Nota: Observar que los binomios conjugados difieren del binomio al cuadrado tan sólo en el signo de uno de los binomios. El resultado se conoce como diferencia de dos cuadrados. Binomio con término común (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd Diferencia de dos cubos Suma de dos'cubos Binomio al cubo (x - Y) (x2 + xy + y2) = x3 - y3 (x +Y) (x2 - xy + YZ) = x3 + y3 (x+y)3 =x3 +3x2y+3xy2+y3 (x - y)3 = x3-3x2 y + 3xy2 - y3 Como los símbolos x, y representan números reales, pueden reemplazarse por expresiones algebraicas. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos. 57

4 Ejemplos Encontrar los productos: a) (2r2 -ti/ 2r2 +-,r5}=(2r2)2 -(-/)2 =4r4-5 b) C ^x ) 1 2 r x =^^ix) +2 ^. +H =x+2+x Ejercicios 1. (x-7)(x+4) 2. (2 + 4 )(6x - 7) 3. 3x + y J l 2x yj (a + 4)(a -3) 5. (2x - 3y)2 6. (,/Ñ +^ )2 7. (2,5c + 4y )(2, y2) 8. - (a + b + c)(a + b c) Factorización Si un polinomio está escrito como el producto de otros polinomios, entonces cada uno de estos últimos se llama un factor del polinomio original. El proceso para encontrar tales productos se llama factorización. Por ejemplo, como x ' = (x + 1) (x - 1), vemos que x + 1 y x -- 1 son factores de x2-1. El concepto de factor puede extenderse a expresiones algebraicas generales. El uso principal de la factorización, sin embargo, está en la simplificación de expre- 58

5 2xy yz siones tomadas de polinomios. Si se usan coeficientes reales, entonces cualquier polinomio tiene como un factor a todo número real c que no es igual a cero. Como ilustración, dado 3x2 y - 5yz2 y cualquier número real c distinto de cero, podemos escribir este polinomio en la forma cc2c 5 J A un factor c de este tipo se le llama un factor trivial. El interés principal está en factores no triviales de polinomios, es decir, factores que contienen polinomios en ciertas variables de grado mayor que cero. Una excepción a esta regla es que si los coeficientes se limitan a ser enteros, lo que se hace es quitar el factor entero común de cada término del polinomio mediante la ley distributiva. 4x2y+8z3=4(x2y+2z') Antes de empezar con factorización de polinomios, es necesario especificar el sistema mediante el cual se han de elegir los coeficientes de los factores. Generalmente se usa la regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros, entonces los factores deberán ser polinomios con coeficientes enteros. Si se empieza con un polinomio con coeficientes racionales, entonces los factores también deberán tener coeficientes racionales. Como ejemplos tenemos x2+x-6=(x+3)(x-2) y 4x2-9/16 =(2x-3/4)(2x+3/4) Factorizar una expresión algebraica o un número real implica expresarlo como el producto de factores. 30=2x3x5 60x+90y+150z=30(2x+3y+5z) 6=2x3 12a+18b=6(2a+3b) En general, no es fácil factorizar polinomios con grados altos. En casos más sencillos, algunas de las reglas de multiplicación dadas en los productos notables 59

6 son útiles. Cuando esas fórmulas se utilizan para factorizar, deben leerse de derecha a izquierda. Por ejemplo, dada una expresión de la fórmula x3 +y3 vemos, por suma de dos cubos, que puede ser factorizado como (x + y) (x2 -xy +y2). Es esencial familiarizarse con los productos notables, de manera que se pueda reconocer si alguno puede aplicarse en algún problema dado. Ejemplos a) Factorizar 8x6-27y9 Se reconoce como la diferencia de dos cubos, ya que tenemos 8x6-27y9 = (2x2)3 - (3y2)3 = (2x2-3y3) (4x4 + 6xy3 + 9y6) b) Factorizar 16x4 - (y - 2z)2 Se trata de la diferencia de dos cuadrados, pues se tiene 16x4 - (y - 2z)2 = (4x2 ) 2 - (y - 2z)2 = [(4x2 ) + (y - 2z)] [(4x2 - (y - 2z)] = (4x2 +y - 2z) (4x2 -y + 2z) Hay diversas técnicas que se pueden utilizar según sea la forma de la expresión que se vaya a factorizar. Factorización por factor común Esta forma de factorización es una de las más útiles, ya que permite factorizar casi todas las expresiones algebraicas. Como su nombre lo indica, se factoriza una expresión dada buscando un factor común a todos los términos o en su defecto que corresponda al máximo común divisor. Se tiene la expresión Pasos a seguir: abx+cdx+efx 60

7 1. Buscar un factor que aparezca en todos los términos. En este caso el factor común es x. 2. Al encontrar el factor común se debe multiplicar por los factores no comunes. Ejemplo x(ab+cd+ef) Factorizar 3a2 b2 + 9a3 b Ya que 3a2 b2 = (3a2 b)b y 9a3 b = (3a2 b) 3a, cada término de la expresión original contiene el factor común 3a2 b, por lo tanto Factorización por agrupamiento 3a2 b2 + 9a3 b = 3a2 b (b + 3a) La factorización por agrupamiento es otra técnica muy sencilla que consiste en buscar los posibles factores comunes en la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos, para que después se obtenga el factor común. En esta técnica de factorización se encuentran factores que no son comunes a todos los términos, pero que son comunes a algunos. Como ejemplo se factoriza la siguiente expresión: Pasos a seguir: ax+by+ay+bx 1. Identificar los posible factores comunes. Es posible darse cuenta de que no existe un factor común a todos los términos, pero sí existen dos factores comunes a términos diferentes: x es factor común de ax, bx; y es factor común de ay, by. 2. Agrupar los factores de acuerdo a cada factor común. ax+bx+ay+by 61

8 3. A continuación se factoriza por cada factor común. x(a+b)+y(a+b) 4. Se observa que obtuvimos dos términos. Localizar de nuevo el factor común. Dicho factor común es (a + b). 5. Factorizar nuevamente por cada factor común, multiplicando el término común por los no comunes (x,y). Ejemplo (a + b)(x +y) Factorizar 3x3 + 2x22-12x - 8 3x3+2x2-12x- 8=x2 (3x+2)-4 (3x + 2) =(3x+2)(x2-4) =(3x+2)(x+2)(x-2) Factorización por el método del tanteo y el error Este método es uno de los más usuales. Con él podemos factorizar poi inomios de tres términos, de una manera sencilla y rápida. Este método requiere que se memorice una pequeña regla. Si un polinomio es de la forma ax2 + bx + c; donde : a, b y c son enteros, y es factorizable, entonces adopta la forma (dx + e) (fx + g), donde: d, f, e y g son enteros. Así: d*f=a e*g=c d*g+e*f=b Se debe tener presente que para factorizar de esta forma es necesario que a, b y c sean números enteros, pues de esa manera obtendremos factores con números enteros, lo que permitirá que el proceso sea más fácil. Por ejemplo: 2x2-9x-5 62

9 Pasos a seguir: 1.Obtener dos números (dx, fx) cuyo producto es el primer término del trinomio. 2x x=2x2 2. Obtener dos números (e, g), cuyo producto sea igual al tercer término de la expresión. (1)(-5) _ Sustituir en la fórmula comentada en el párrafo anterior. ax2+bx+c =(dx+e)(fx+g) 4. Comprobar que: 2x2-9x-5 =(2x+ 1)(x-5) a=2x x=2x2 b=(2x -5=-10x)+(1 x=x)=-9x c=(-5)(1)=-5 Ejemplo Factorizar 6x2-7x - 3 Si escribimos 6x2-7x - 3 = (dx + e) (fx + g), el producto de d y f es 6, mientras que el producto de e y g es - 3. Se buscan las distintas posibilidades (2)(3) = 6, (1)(6) = 6, (1) (-3) _ -3,(-3)(1) _ -3 quedándonos 6x2-7x - 3 = (2x - 3) (3x + 1) Este método del "tanteo y el error", puede aplicarse también a polinomios de la forma Ejemplo ax2 + bxy + cy2 Factorizar 4x4 Y- lix1y2 + 6x2 y3 63

10 Como cada término tiene a x2y como factor, se comienza por escribir la expresión en la siguiente forma 4x4y-11x3y2 +6x'y3 =x'y(4x2-1lxy+6y2) =x2y(4x-3y)(x-2y) Se comprueba que: a = (4)(1) = 4 b = (4) (-2) + (-3)(1) = (-3) = -11 c=(-3)(-2)=6 Factorización de una ecuación cuadrática Un binomio al cuadrado da como resultado un trinomio cuadrado perfecto. (a + b)2 =a' +2ab + b 2 Se le llama trinomio cuadrado perfecto ya que los términos que esuán en los extremos tienen raíz cuadrada exacta. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe expresar el producto de un binomio al cuadrado. Pero antes hay que determinar si ese trinomio realmente es cuadrado perfecto. Como ejemplo, factorizar el siguiente polinomio: Pasos a seguir: 4a2 + 16ab + 16b2 1. Reconocer si es un trinomio cuadrado perfecto. 2. Sacar la raíz cuadrada del primero y segundo término..4a 2 = 2a 116b2 =4b 3. Sustituir en la fórmula de binomio al cuadrado. (2a + 4b)2 64

11 4. Para comprobarlo intentar resolver el binomio. Ejemplo (2a + 4b)2 = (2a)2 + 2(2a)(4b) + (4b)2 = 4a2 + l6ab + b2 Factorizar 4x2-12xy + 9y2 Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Como la raíz cuadrada de 4x2 es 2x, y la raíz cuadrada de 9y2 es 3y, se tiene que 4x2-12xy + 9y2 = (2x - 3y)2 Factorización de un trinomio de segundo grado El polinomio que se va a factorizar es de la forma: Ax2+Bx+C Nota: La expresión anterior es un trinomio de segundo grado, pero no es un trinomio cuadrado perfecto. Un ejemplo es factorizar la expresión: Pasos a seguir: 6x2+5x-6 1. Determinar los coeficientes numéricos. A=6 B=5 C=-6 2. Encontrar dos números A, C cuyo producto sea igual a -36 y cuya suma B sea igual a 5. Para agilizar la búsqueda de esos dos números, es necesario descomponer el número -36 en factores, como: -36= (9)(-4) = (-9)(4) = (6)(-6) 65

12 3. Cuando se tengan los factores, sumarlos, encontrando dos números que cumplan las condiciones que se piden. 9+(-4)=5-9+4= -5 6+(-6)=0 Los números que satisfacen las condiciones son: 9 y Tomar el término que se encuentra en medio del polinomio (B) En este caso es el número 5x. 6x2+5x-6 Ahora escribir este término como la suma de los dos números encontrados. 5x = 9x - 4x 5. Sustituir en la fórmula original. 6. Factorizar por agrupamiento. 6x2+9x-4x-6 Nota: recordar que la factorización por agrupamiento implica determinar un factor común. 6x2+9x=3x(2x+3) -4x-6=-2(2x+3) 3x(2x + 3) - 2(2x + 3) Obtuvimos dos términos con un factor común, que es: (2x+3). 7. Factorizar multiplicando el término común por los no comunes. Ejemplo (2x + 3)(3x - 2) Factorizar 6x2 +19x

13 ac = 60 (15)(4) = 60 19x = 15x + 4x 6x2 + 15x + 4x x2 + 15x = 3x(2x + 5) 4x +10 =2(2x +5) 6x2 + 19x + 10 = (3x + 2) (2x + 5) b= = 19 Método de completar cuadrados Se trata de una técnica donde debe observarse el término medio en un polinomio de la forma ax2+ bx2 y2 + cy2, de tal forma que puede ser transformado para obtener un polinomio que sea un trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo Factorizar 9x4 + 8x1 y2 + 4y4 Solución: Si el término medio fuera 12 x2y 2 en lugar de 8x2 y2, entonces el polinomio sería un cuadrado perfecto (3x2 + 2y2)2. Esto sugiere realizar la operación de sumar y restar 4x2y2 para la obtención de una factorización. Por lo tanto 9x4 +8x2y2+4y4 = 9x4 +8x2y2+4x2y2+4y4-4x2y2 = (9x4+ 12x2 y2+4y4)-4x2y2 = (3x2 + 2y2)2 - (2xy)2 =(3x2+2y2+2xy) (3x2+2y2-2xy) Ejercicios 1. Efectuar el producto (x + l)1 (x -1)2 67

14 UIhSI hnu+.. Jki.iali Factorizar: 2.9x3-729xy2 3. x x2-8x x2 y + 117xy3 6. X6 - y 9 7.2xy5-32xy 8. Cuál de las siguientes expresiones es correcta? a) (x + y)3 = x3-3x2 y + 3xy2 +y3 b) (x +y)5 = x5-5x4 y - 1 0x3 y x2 1,3 + c) (x -y)3 = x3 -y 3 d) ninguna de las anteriores 5.x v' + y5 9. Cuál de las siguientes expresiones es la correcta? a) = (9)(103) b) (-13000)2 = (-2.5) (106) c) = 175 d) 196(25)2-169(25)2 = 675 Factorizar hasta donde sea posible: 10. y2 + 3y x2-6x w2-2w x2+7x+6 14.x2+x+1 15.x2+3x x y x x x2 + l4x x2-16x x2-6x x2y -xy x2-8x 25. y4+3y3+y2 26.2x252 + x2s - 10x' 27.24x2+6x x2 + 24x x x2z2 + 1 Ox2yz-12x'-_v, 31.14y4-7y3-21y x22 + 8x xy2-50xy

15 g q x2-0.03x x2 + 7x y2-8y x2-11x x2-7x y2+ 1Oy x2+2x x2 + x ax + 2ya 44. 2bz - 4bw + 6zb 45.2x2-9x y2+7y x2 + 32x a8-7a6+6a y y 49 x x2+9zvw+v2w2 52. l2y4 + l ly3 - l 5y x2 + 11x3-12x4 54. x(x - 1) + y(x - 1) 55. (x- ])2y-(x- 1)2z 56. (x + 1)(x - 1) - (x + 1)(x + 2) 57. (x+y)x3-(2x-y)x x-2y+xz-yz 59.ac+bc+ad+bd 60. a'b' - bha2 61. y3-8x3 62. (3x - 1)2-100z y4 - (x - y)2 64.(a+b) a 2 - b 2-2bc - C2 66. ac + bd - ad- bc 67.a 4 +2a 2 b 2 + ab4 69

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