1. FACTOR COMUN MONOMIO :


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1 Área de IPA. CONTENIDO 1. NOCION :. FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo : Factoriza 0 en dos de sus divisores :, es decir 0 = Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica? Cuando realizamos las multiplicaciones : i) x(x x + ) = x 6x + x ii) (x + 7)(x + ) = x + 1x + entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. La factorización es de extrema importancia en la Matemática, asi es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar. Existen varios casos de factorización : 1. FACTOR COMUN MONOMIO : Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio : Ejemplo N 1: cuál es el factor común monomio en 1x + 18y - z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6 x + 6 y - 6 z = 6(x + y - z ) Ejemplo N : Cuál es el factor común monomio en : a - 1ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es y entre los factores literales es a : por lo tanto a - 1ab - 10 ac = a a - a b - a c = a(a - b - c ) Ejemplo N : Cuál es el factor común en 6x y - 0xy + 1x y El factor común es 6xy porque 6x y - 0xy + 1x y = 6xy(x - y + xy ) Realiza tú los siguientes ejercicios : EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios : 1. 6x - 1 =. x - 8y =. a - 1ab =. 10x - 1x =. 1m n + 7mn = 6. m -0 am = 7. 8a - 6a = 8. ax + bx + cx = 9. b -b = 10. a bx - bx = 11. 1a - 1b + = 1. ab + 6ac - 9ad = 1. 0x - 1xy + xz = 1. 6x - 0x + x = 1. 10x y - 1xy + xy = 16. 1m n + m n - 6m n =

2 Área de IPA. 17. x + 6x + 8x - 1x = p q + 1p q - 18p q - 16p q = 19. m n p + m n p - m 6 n p + m n p = 0. 8 x y xy a b a b a b a b a b ab a b a b 1. FACTOR COMUN POLINOMIO : Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión : EJEMPLO N 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y ) EJEMPLO N. Factoriza a(m - n) - b (m - n ) = = a(m - n) - b (m - n ) = (m - n )( a - b ) EJERCICIOS.. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =. m(a + b ) + p ( a + b ) =. x ( p + q ) + y ( p + q ) = 6. ( a + 1 ) - b (a + 1 ) = 7. ( 1 - x ) + c( 1 - x ) = 8. a( + x ) - ( + x ) = 9. (x + y )(n + 1 ) - (n + 1 ) = 0. (a + 1 )(a - 1 ) - ( a - 1 ) = 1. (a( a + b ) - b ( a + b ) =. (x + )( - r ) - (x - )( - r ) =. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO. Se trata de extraer un doble factor común. EJEMPLO N1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común p de los dos primeros términos y q de los dos últimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ) EJERCICIOS :. a + ab + ax + bx =. ab + a + b + 6 =. ab - a - b + 10 = 6. ab + a - b - 1 = 7. am - bm + an - bn = 8. x - 9ax - x + a = 9. x - bx + xy - by = 0. 6ab + a - 1b - 10 = 1. a - b + b x - 6ax =. a + a + a + 1 =. ac - a - bc + b + c - c =. 6ac - ad - 9bc + 6bd + 1c - 10cd =. ax - ay - bx + by - cx + cy =

3 Área de IPA. 6. am - 8bp - bm + 1 ap = 7. 18x xy + y + 1xz - 10z = x xz xy yz x 7z am am bm bn. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c El trinomio de la forma x + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso : EJEMPLO N 1. Descomponer x + 6x + 1 Hallar dos factores que den el primer término x x Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea 6 1 ó -1 - pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + ) EJEMPLO Nº : Factorizar x + xy - 1y 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x x º Hallar los divisores de 1y, éstos pueden ser : 6y -y ó -6y y ó y -y ó -y y ó 1y -y ó -1y y pero la suma debe ser +, luego servirán 6y y -y, es decir x + xy - 1y = ( x + 6y )( x - y ) EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios : 0. x + x + = 1. a + 7a + 10 =. b + 8b + 1 =. x - x - =. r - 1r + 7 =. s - 1s + = 6. h - 7h + 0 = 7. y - y - = 8. x + 1xy + y = 9. m + 19m + 8 = 60. x + x + = 61. x - 1x + =. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX + BX + C EJEMPLO Factoriza x - 11x + 1º El primer término se descompone en dos factores x x

4 Área de IPA. º Se buscan los divisores del tercer término 1 ó - -1 º Parcialmente la factorización sería ( x + )( x + 1 ) pero no sirve pues da : x + 7x + se reemplaza por ( x - 1 )( x - ) y en este caso nos da : x - 11x + EJERCICIOS : 6. x + 11x + = 6. a + 10ab + 7b = 6. x + 7x + = 6. h + h + 1 = b + b = 67. 7x - 1x + = 68. c + 11cd + d = 69. x + x - 1 = 70. 6x + 7x - = 71. 6a + ab - b = 7. m - 7m - 0 = 7. 8x - 1x + = 7. x + xy - y = 7. 7p + 1p - = 76. 6a - a - 1 = 77. x - 17xy + 1y = 78. a - 1a + 1 = 6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS : EJEMPLO: Factorizar 9x - 16y = Para el primer término 9x se factoriza en x x y el segundo término - 16y se factoriza en +y -y luego la factorización de 9x - 16y = ( x + y )( x - y ) EJERCICIOS : 79. 9a - b = x = 81. x - 1 = 8. 9p - 0q = 8. 6m n - = 8. 9x - 6t = m n = x - 1 k = a b x y x - 1 = f = 91. 8y - 18 = 9. x - 7y = 9. m n - 0mn = 9. a - 16 a = 7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO : Ejemplo: Factorizar 9x - 0x + = 1 Halla la raiz principal del primer término 9x : Halla la raiz principal del tercer término x x

5 Área de IPA. con el signo del segundo término - - luego la factorización de 9x - 0x + = (x - )( x - ) = ( x - ) EJERCICIOS : 9. b - 1b + 6 = 96. x + 70xy + 9y = 97. m - m + 1 = 98. x + 10x + = m - 0mn + n = x - 1x + 1 = x - 8xy + 9y = 10. a + a + 1 = ª + 9a = 10. m - 70 mn + 9n = 10. a c + 0acd + d = a + 68abc + b c = x 6 y 8-8 x y z 7 + z 1 = EJERCICIOS DIVERSOS: 108. ab + a b - 6ab = 109. xy - xy + 10x y - x y = 110. b - b - 8 = 111. a + 6a + 8 = 11. a + ab = 11. bx - ab + x - ax = 11. 6x - ax - 9bx + 6ab = 11. ax + ay + x + y = x - 18 = y + 9y = 118. x - y = 119. x + x y = 10. (a + b ) - ( c + d) = 11. a + 1ab + 6b = 1. 6m - 1mn + n = 1. x 16 - y 16 = 8. FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS. 1. DIFERENCIA DE CUBOS : a b = (a b)(a + ab + b ) Ejemplo : 8 x = ( x)( + x + x ). SUMA DE CUBOS : a + b = (a + b)(a ab + b ) Ejemplo: 7a + 1 = (a + 1)(9a a + 1) 1. 6 x = 16. 8a b + 7 = 17. 7m + 6n 6 = 18. x 6 y 6 = x 1 = x =

6 Área de IPA. 9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN: SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. 1 Simplificación de monomios : 8a b ab ab Simplificación de polinomios : Ejemplo 1 x 7x 10 x x x x x x x Ejemplo x 16 x x x xx x x 8x no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR... LUEGO SIMPLIFICAR. EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN : a b 1. x y 60a b c x y x y 1. a a 0 a x 6x 8 x 7x 1 6x 60x a 11a 0 a 6x a 6x 17. 6x a 6 1. x 1 xy y x 9 x y y 16. x 7x 10 x x 1 x x x x x 9x 0 x x 1 PERO SIGO SIENDO EL REEEYY...DE LA MATEMÁTICA Y DEL CARRETE

7 Área de IPA. 10. ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS x 1 x 9 EJEMPLO : 1 x x 6 se factoriza el º denominador x 1 x 9 1 x (x ) / (x-) (x-1)-(x+9) = (x-) 6x - - x - 9 = x - 6 x = EJERCICIOS x x x x 1 x x x 1 8 x x 1 x 1 1x 6 x x 1 1. x x 1 8 x 1 x 1. x 8 x x 6 7 6x x 1 x 1 x 1. x x 1 1. x x 1 x 6 x x 7 1 x x x x x x x x 17. 6x x 16x x 8x x x x 1 x 1 x 1 x 7 x 7 1 x x 9 x 6 x a x b 10. b a 7a bx b cx 11c ax 1. 0 a b 6c ax bx cx bc ac ab x a x b 1. x b x a 1. x a x b b a a 1b 6b 1. ax b a b x a b b a a

8 Área de IPA. 11. PROBLEMAS CON ENUNCIADO. 16. De qué número hay que restar 1 para obtener la sexta parte de ese número? 17. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los 8 7 de su capacidad. Reponiendo 8 litros, la parafina sólo llega a las capacidad? partes. Cuál es su 18. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en horas y por otra en 6 horas. En cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez? 19. La suma de dos números es 00. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los cuocientes es 6. cuáles son los números? 160. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los del mayor exceda en 1 al número del medio. del menor con los Dividir 60 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor da como cuociente y 0 de resto. 16. Jorge tiene de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene de lo que tiene Jorge. Si juntos tienen $.800. Cuánto tiene cada uno? 16. Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los la edad de Karla. Hallar las edades actuales. de 16. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda. 16. Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta parte menos nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte más una nuez. Cuántas nueces tenía Lucho? 166. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayó prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron soldados. De cuántos soldados se componía la patrulla?

9 Área de IPA Si a un número se suma, se multiplica la suma por, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene unidades menos que el número dado. Cuál es el número? 168. Cierto número de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $. faltan $ 0 y si cada uno paga $ 0 sobran $ 0. A cuánto ascendía la cuenta y cuántas personas eran? 169. Un obrero puede hacer un trabajo en 1 días y otro en 1 días. En cuánto tiempo hacen el trabajo los dos juntos? 170. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en horas y por otra en horas, pero una tercera puede vaciarlo en 6 horas. En qué tiempo se llenará el depósito abriendo las tres llaves a la vez? 171. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años, la edad de la primera era el doble de la edad de la segunda y que 1 años después de la edad actual, la edad de la segunda será de la edad de la primera. 17. Se debe repartir $ 1.00 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique reciba parte de Luciano más $ 180. y Luis cada uno? 6 de la de la parte de Enrique más $ 10. Cuánto recibe 17. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en total hay 16 personas? 17. Uno de los lados de un triángulo mide del lado menor, mientras que el lado mayor mide centímetros más que el último. Si el perímetro del triángulo es de centímetros, encuentra la magnitud de cada lado del triángulo. 17. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 6 personas. Colocando en orden decreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es del anterior. Cuántos viajeros de cada nacionalidad hay? 176. La suma de dos números es 0. Si se divide el número mayor por el menor, el cuociente es y el resto es 8. Cuáles son los números?

10 Área de IPA. Despeja la letra indicada en cada ejercicio 177. a, si a ar n S 1 r L 178. f, si M 1 F f 179. f, 180. a, f f f 1 1 d vi t a t 181. v i, v f v i = ad F, C F 18. v f, v a f t v i

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