Colegio La Salle Envigado FORMANDO EN VALORES PARA LA VIDA GUIA FACTORIZACION


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1 GUIA FACTORIZACION Esta guía tiene como objetivo afianzar los conocimientos teórico-prácticos en los diferentes casos de factorización, para ello se darán en esta guía algunos ejercicios de factorización para complementar lo trabajado y explicado en clase, para cada caso de factorización se deberán realizar 10 ejercicios de práctica en casa. Esta guía será evaluada como trabajo de practica (actitudinal) y será considerado como trabajo de clase (0%). Antes de iniciar con el proceso de factorización es importante revisar algunos elementos importantes que se han estudiado en periodos y grados anteriores. Propiedades de la Potenciación: ~ 1 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

2 Exponente radical: Como se indica con la igualdad, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Ejemplo: = Propiedades que no cumple la potenciación: No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta: No cumple la propiedad conmutativa: exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general Tampoco cumple la propiedad asociativa: Potencia de base 10: Para las potencias con base 10, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo. Ejemplos (derecha): ~ ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

3 Propiedades de la radicación: Las leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales. Es frecuente cometer errores cuando se trabaja con radicales, el más común de estos es: PRODUCTOS NOTABLES Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b) a + ab + b Binomio cuadrado (a + b) a + a b + ab + b Binomio al cubo a b (a + b)(a b) Diferencia de cuadrados a b (a b)(a + ab + b ) Diferencia de cubos a + b (a + b)(a ab + b ) Suma de cubos a 4 b 4 (a + b)(a b)(a + b ) Diferencia cuarta (a + b + c) a + b + c + ab + ac + bc Trinomio al cuadrado COCIENTES NOTABLES ~ ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

4 FACTOR COMÚN Sacar factor común consiste en encontrar el elemento común a un conjunto de sumandos, una operación numérica a veces se simplifica sacando factor común para realizar la operación. Ten presente la propiedad distributiva y observa los ejemplos para ver cómo se usa el factor común. ab + ac = a (b + c) El factor común es a; es el factor que está incluido en los dos términos; luego multiplicamos el factor común por lo que queda de los dos términos, es decir, al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación nos debe dar como resultado de esta operación los dos términos iniciales, por tanto el término a no debe ser incluido dentro de los paréntesis. 9abx a b x + 1ax z = ax(xb 1ab + 4xz) Buscamos inicialmente el factor común entre los números, para ello buscamos el Máximo Divisor Común entre los números, el menor número por el que podemos dividir el 9,, 1; este número es el, todos los números se pueden dividir por. Luego busco el factor común entre las letras (parte literal), es decir los factores que se repiten con su menor exponente en cada uno de los términos, estas son x y a, los tres términos tienen a la vez x y a, la z solo la encontramos en el tercer término y la b solo en el primero y segundo por lo tanto no son factores comunes. Es importante aclarar que cuando uno de los términos (en este caso el numero ) es parte del factor común, se debe colocar entonces 1, para que al aplicar propiedad distributiva, se obtengo como resultado el mismo número que es factor común. 45a 5 b a 4 b 5 c 15a b 6 + 0a b 4 c 5 = Paso 1: Se extra el factor común. Para ello se halla el MCD (Máximo Común Divisor) de las cantidades y de los factores literales. El MCD de los números es: 5 = 15 En la parte literal: MCD de las letras comunes con menor exponente es a b 4 ~ 4 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

5 Por tanto, el factor común de la expresión algebraica es 15a b 4 Paso : Una forma de factorizar es dividir cada uno de los términos por el factor común (simplificar) 45a 5 b a 4 b 5 c 15a b 6 + 0a b 4 c 5 = 15a b 4 45a5 b a4 5 b c 15a 6 b + 0a b 15a b 4 15a b 4 15a b 4 15a b = 15a b 4 a + 4abc b + c 5 Recuerda que en cocientes de potencias de igual base se restan los exponentes. Al resolver producto se debe obtener la expresión inicial. 4 c 5 4 FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO (CASO ESPECIAL) Esto sucede cuando el factor común no es un monomio, sino que puede ser un binomio, trinomio o polinomio. Para factorizar se utiliza el mismo procedimiento que en el caso anterior. Para resolverlo de manera sencilla basta con tomar el factor común (a b), este es el término que se repite en los términos dados se procede como en el caso anterior, es decir dividir los dos términos por el factor común, recuerda que cosas iguales en una división se cancelan, de cancelar los factores (a b), queda m y n, los que se agrupan independientemente y este término multiplicado por el factor común (verificando la factorización) con seguridad nos da los términos iniciales. ~ 5 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

6 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se encuentra a cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios, tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. EJEMPLO 1: ax + bx ay + 5a by + 5b (ax ay + 5a) + (bx by + 5b) a(x y + 5) + b(x y + 5) Ahora hay que agrupar estos términos en factores comunes Saco el factor común a cada de los términos agrupados Observemos que los términos entre paréntesis son iguales, por tanto se convierten en factor común y la a y la b se agrupan por separado, así: (x y + 5)(a + b) Luego: ax + bx ay + 5a by + 5b = (x y + 5)(a + b) EJEMPLO : ax + bx + ay + by (ax + bx) + (ay + by) x(a + b) + y(a + b) (x + y)(a + b) Agrupar en dos paréntesis En cada paréntesis hacer factor común monomio luego factor común polinomio ~ 6 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

7 EJERCICIOS DE PRÁCTICA FACTOR COMUN Recuerda que estos son los primeros ejercicios que debes resolver, cuando los tengas listos debes entregarlos, en una hoja bien ordenada y marcada con tu nombre, fecha y grupo, además debes conservar esta hoja en una carpeta para entregar todo los ejercicios de practica al final del periodo y calificarla (0% del periodo) 1. 8a 4b + 16c + 1d =. x y z y 4 z x 4x y =. a 4 b c + b a 5a 7 b 4 d = 4. 6xy 7 x 5 y + ax y 7 = 5. a 4 b x + 5ab 4 y 1 a b 8 z = 6. 7x + 11x 4x 5 + x 4 x ax 17mx + ay my + 7 az 7mz = 8. m(x + ) x + (x + ) = 9. ax + bx ay + 5a by + 5b = x 8 9 x x7 x5 = Ayuda: ~ 7 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

8 DIFERENCIA DE CUADRADOS Son llamados cuadrados perfectos aquellas expresiones algebraicas que tienen raíz cuadrada exacta, en este caso hablamos entonces de dos términos que se restan entre sí pero que además son cuadrados perfectos. Esta diferencia que caracteriza por tener la siguiente estructura: a b. La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de los términos, uno como suma y otro como resta, en este tipo de expresiones de debe inicialmente encontrar las raíces cuadradas de los términos (expresiones algebraicas) así: a b = (a + b)(a b) a b Buscamos las raíces cuadradas de los términos a b Raíces cuadradas de los dos términos (a + b)(a b) Escribo las raíces de los términos como producto factorizado Por propiedades de los radicales recuerda que decir a = a = a 1 = a, la expresión (exponente e índice de la raíz) se divide y el resultado es 1, es decir a 1 y tener esta expresión (a 1 ) es lo mismo que tener solo a, pues aunque esta siempre tiene como exponente 1 no es necesario escribirlo. De la misma forma procedemos para hallar la raíz de b ; Por propiedades de los radicales recuerda que decir b = b = b 1 = b, la expresión (exponente e índice de la raíz) se divide y el resultado es 1, es decir b 1 y tener esta expresión (b 1 ) es lo mismo que tener solo b, pues aunque esta siempre tiene como exponente 1 no es necesario escribirlo. Para verificar que nos haya quedado bien factorizado aplicamos propiedad uniforme sobre el producto factorizado: ~ 8 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

9 Factorizar: 1 y 1 y = (1 + y)(1 y) 1 y Buscamos las raíces cuadradas de los términos 1 y = y = y 1 = y 1 y Raíces cuadradas de los dos términos (1 + y)(1 y) Escribo las raíces de los términos como producto factorizado. = 1 y para el segundo Para verificar si esta expresión si cumple con ser producto de la factorización del término 1 y, debemos aplicar propiedad uniforme, como se explicó en el ejemplo anterior, así: (1 + y)(1 y) = 1 + y y y, en esta expresión resultante se cancelan los términos +y y, por ser términos iguales con signos diferentes, al hacer esto me queda como resultado: 1 y Factorizar: 5 6a 4 5 6a 4 = (5 + 6a )(5 6a ) 5 6a 4 Buscamos las raíces cuadradas de los términos 5 = 5 y para el segundo; en el numero 6 expresión 6a 4 = 6, y para las letras a 4 4 = 6a = 6a 4 = y = y ; toda la 5 6a Raíces cuadradas de los dos términos (5 + 6a )(5 6a ) Escribo las raíces de los términos como producto factorizado una con más y otra con menos. Al verificar me debe dar la expresión inicial, para hacerlo aplico propiedad uniforme sobre el producto factorizado: (5 + 6a )(5 6a ) = 5 0a + 0a 6a 4, se cancelan los términos azules por ser iguales con signos diferentes, luego el resultado es 5 6a 4 ~ 9 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

10 EJERCICIO DE PRACTICA DIFERENCIA DE CUADRADOS Factorizar las siguientes expresiones y verificar los resultados obtenidos: 1. b t. x y. 4a b a 4 9b x y 4 4z x b a b a4 b x y 4 5 a6 6 Ayuda: Ayuda: Factorizar 4a 9 49xb ~ 10 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

11 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Un cubo perfecto es aquella expresión cuya raíz cubica es exacta, para este caso hablamos de dos términos cúbicos dispuestos en forma de una suma o una resta a + b ó a b respectivamente. Suma de cubos: Este producto notable al factorizarlo se obtiene del producto de los dos factores: el primero formado por la suma de las bases y el segundo factor formado por el cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases más el cuadrado de la segunda base. Resta de cubos: Es equivalente al producto de dos factores: donde el primer factor lo forma la diferencia de las bases; y el segundo factor por la suma del cuadrado de la primera base por el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base. a + b = (a + b)(a ab + b ) a b = (a b)(a + ab + b ) Para factorizar esta expresión debemos recordar los cocientes notables: a + b a + b = a ab + b a b a b = a + ab + b Para el caso de la suma y teniendo en cuenta el resultado de la división anterior se verifica que: a + b = (a + b)(a ab + b ) Y en el caso de la resta y basándonos en el resultado de la división anterior se verifica que: a b = (a b)(a + ab + b ) ~ 11 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

12 Factorizar: a b a b = (a )(a b ab + b ) a b para el caso de la b = buscamos las raices cubicas de a y b, en el caso de la a = a b = b 1 = b = a = a 1 Recuerda que se busca un termino que multiplicado tres veces por si mismo de como resultado los terminos, estas raices son respectivamente a y b, los exponentes 1 no se colocan. Ya hemos encontrado las raices de los terminos a, b ahora debemos factorizar la diferencia de cubos, para ello hallamos un termino corto que esta conformado por las raices encontradas (a b) y otro largo, constituido por un trinomio que se arma de la siguiente manera; el primer termino del trinomio la forma la primera raiz al cuadrado a, el segundo termino del trinomio lo constituye el producto de las dos raices (a)(b) = ab y el tercer termino lo constituye la segúnda raiz encontrada al cuadrado b, ahora el trinomio quedaria asi (a ab + b ). Con respecto a los signos el termino corto corserva el mismo signo menos ( ) para la diferencia de cubos, y los terminos del trinomio todos son positivos, para el caso de la suma de cubos el termino corto conserva su signo (+) y los signos de los terminos son intercalados empezando con +. Ahora todo el termino factorizado nos quedaria así: a b = (a )(a b ab + b ) Factorizar: 7x + 8 7x + 8 = (x + )(9x 6x + 4) 7x 8 Buscamos las raíces cubicas de los términos 7x y 8, es decir la 7x iniciemos buscando la raíz cubica de 7 ( 7 = x, ) es encontrar un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 7, este número es, también podemos realizar la descomposición del termino en factores primos, es decir = ()( )( )= 7. Para la raíz de x, x se procede igual que en la diferencia de cuadrados, recuerda que el exponente de la letra se puede dividir con el índice de la raíz, así: x raíz de x = x, porque = 1, y el exponente uno no se coloca. = x = x 1 por la tanto la ~ 1 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

13 Ahora para encontrar la raíz cubica de ocho 8 procedemos de la misma forma que para encontrar la raíz cubica de 7, es decir buscamos un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 8, tal como lo muestra la descomposición del número en sus factores primos, tal número es, es decir: = ()()() = 8 Resumamos: ya encontramos las raíces de los términos 7x = x; 8 =, la factorización de una suma de cubos perfectos está compuesta por un término corto, las raíces encontradas (x + ) y un término largo que está constituido por un trinomio, el primer término es la primera raíz al cuadrado (x) = 9x, el segundo lo forma el producto de las dos raíces (x)() = 6x, y el tercer término la segunda raíz al cuadrado = 4, luego el trinomio queda constituido así: (9x 6x + 4) Todo el cubo factorizado nos quedaría así: 7x + 8 = (x + )(9x 6x + 4) EJERCICIOS DE PRACTICA CUBOS PERFECTOS x. 1 a. x + y m x a + 15b 7. 8a 64b 8. 64x y z x 6 79y 10. a b x 6 Ayuda: Ayuda: ~ 1 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

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