Ejercicios de Factorización. Prof. María Peiró


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1 Ejercicios de Factorización Prof. María Peiró

2 Trinomio Cuadrado Perfecto Un trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones: El polinomio puede ser ordenado en potencias descendentes de una variable Dos de los términos son cuadrados perfectos El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Factorizar los siguientes Trinomios: 01) x + 6x + 9 0) 16x + 8x +1 03) y + 10y ) 4y - 4y ) 49x + 11x ) 81y - 180y ) 5x + 30xy + 9y 08) 81z - 108zw + 36w 09) 64x 4 y + 176x y w 3 +11w 6 10) 144x x 4 y 5 + 5y 10 11) 0.04x - 4x ) 400y 4-1y ) a / 4 + 4a ) x / 9-16x / ) 5x / 4 + 0xy / y / 9 16) x + x (a + b) + (a + b) 17) 9-6(x + y) + (x + y) 18) 4(x + y) + 4(x + y)(x - y) + (x - y) 19) 9(x - y) + 1(x - y)(x + y) + 4(x + y) 0) 4(1 + a) - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1) Respuesta: 01) ( x + 3) 0) (4x + 1) 03) (y - 5) 04) (y - 6) 05) (7x + 8) 06) (9y - 10) 07) (5x + 3y) 08) (9z - 6w) 09) (8x y + 11w 3 ) 10) (1x 4-5 y 5 ) 11) (0.x - 10) 1) (0y + 0.3) 13) (a / + 4) 14) (x / 3-8) 15) (5x / + 4y / 3) 16) [x + (a + b)] 17) [3 - (x + y)] 18) (3 x + y) 19) (5x - y) 0) (a - b + 3) 1 Aprender entendiendo

3 Observando las respuestas, en los ejercicios del 1 al 17, se confirma que: El primer término del binomio elevado al cuadrado, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. El segundo término del binomio elevado al cuadrado, es la raíz cuadrada del tercer término del trinomio. El doble producto de los dos términos del binomio elevado al cuadrado, corresponde al segundo término del trinomio. Recordar que para sacarle la raíz a una fracción, se saca la raíz al numerador y al denominador (x + y) + 4(x + y)(x - y) + (x - y) = (x + y) + (x - y) = x + y + x - y = 3x + y (x - y) + 1(x - y)(x + y) + 4(x + y) = 3(x - y) + (x + y) = (5x - y) 4(1 + a) - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1) (1 + a) - (b - 1) (a -b + 3) 0.- Aprender entendiendo

4 Factor Común Para factorizar por Factor común,se busca el valor y/o la variable que se repite en cada término. Si es un valor, el factor común será el máximo común divisor para todos los términos y si es una variable el factor común a todos los términos, es aquella que tenga el menor exponente. Factorizar los siguientes Polinomios: Respuesta: 01 x y - y w 01 y ( x - w ) 0 5 x y 15 y 0 5 x y ( y - 3 ) 03 4 a 3 b 1 a 3 b a 3 b ( - b ) 04 4 x y 8 x y 1 x y x y ( 1 + y - 3y ) a 4 b 5 0 a 3 b 4 a b a b 4 ( 4a b - 5a + 6b ) 06 x a + - 3x a + 3-5x a 06 x a (x + 3x 3 + 5) x a y b - 4x a + 1 y b+1 + 1x a y b 07 1x a y b ( 3x a - xy + y b ) 08 x(a + 7) - 5(a + 7) 08 (a + 7)(x - 5) 09 x(a - 1) - 3y(a - 1) 09 (a - 1)(x - 3y) 10 x(a + 9) - a (a + 9)(x - 1) 11 - x - y + a(x + y) 11 (x + y)(a - 1) 1 (a + 5)(a + 1) - (a + 1) 1 (a + 1)(a + 3) 13 (a + b - )(a + ) - a - 13 (a + )(a + b - 3) 14 (3x + 8)(x + y - z) - (3x + 8) - (x + y - 4)(3x + 8) 14 (3x + 8)(3 - z) 15 xm - ym + xn - yn 15 (x - y)(m + n) 16 a x - 8bx + a y - 8by 16 (x + y )(a - 8b) a + 8ab + 8b 17 (a + 1)(8b + 1) 18 6ax - by - bx - 1a + 6ay + 4b 18 (6a - b)(x + y - ) 19 a b 3 - m 5 + a b 3 x - m 5 x - 3a b 3 x + 3m 5 x 19 (a b 3 - m 5 )(1-3x + x ) 0 (x + 3)(x + )(x + 5) + (x + )(x + 5) + (x + 5) 0 (x + 5)(x + 3) Los cinco primeros ejercicios son polinomios sencillos donde se observa a primera vista, lo explicado al principio de este tema x a + - 3x a x a x a. x 3x a. x 3-5 x a x a x 3 x Aprender entendiendo

5 07.- a b a+1 b+1 a b a b a b a b 36 x y - 4x y + 1 x y 36 x y - 4x.x y.y + 1 x y 1x.y 3 x - x.y + y a b a b 08.- x(a + 7) - 5(a + 7) = a + 7 x x(a - 1) - 3y(a - 1) = a - 1 x 3y 10.- xa + 9 a 9 x a a + 9 a + 9 x x y + ax + y 1x y ax + y x y 1 a x y a a + 5a a + 1 aa + 1 5a + 1 a + 1 aa + 1 3a + 1 a + 1a a + b - a + - a - = a + b - a + 1 a + a a + b a + a + 1 a + a + b - 3 a x + 8 x + y z 3x + 8 x + y 4 (3x + 8) = 3x + 8x + y z 1x + y 4 3x + 83 z 15.- xm - ym + xn - yn = xm + n ym + n m + nx y 16.- a x 8b x + a y 8b y x a 8b y a 8b a 8b x y a + 8ab + 8b = a1 + 8b 1 8b 1 + 8ba ax by bx 1a + 6ay + 4b = x3a b y3a b 43a b 3a bx +y 4 3a b x +y 6a bx + y 19.- a b 3 m 5 + a b 3 x m 5 x 3a b 3 x + 3m 5 x = a b 3 1 x 3x m 5 1 x 3x x 3xa b m x 3x 1a b m 0.- x + 3 x + x x + x x + 5 = x + 5 x + 3 x + x + 1 x + 5 x + x x + 5 x + x x + 5 x + 6 x x + 5 x + 6 x + 9 x + 5 x 3 4 Aprender entendiendo

6 Trinomio de la forma Este trinomio se ordena en potencias descendentes de una variable. En él se observa que Tan solo el primer término está elevado al cuadrado. El tercer término c, es el producto de dos factores. En el segundo término, b es la suma o diferencia de estos dos factores. x b x c.- Cuando c es positivo, los dos factores tienen el mismo signo, que es igual al signo del segundo término, y en este segundo término, b es la suma, positiva o negativa, de los dos factores..- Cuando c es negativo, los dos factores tienen signos diferentes y en el segundo término, b es la diferencia de los dos factores. Factorizar los siguientes trinomios: 01) x + 8x ) n + n ) m - 1m ) x - x ) x + 0x ) y + 16y ) x - 5x ) y - 6y ) 5 1 y y ) 1 1 x x ) x + 0,6 x,16 1) y - 0, y 1,95 13) x + 35x ) y + 10y ) z + 1z ) w - 69w ) x y + 34xy ) z -.3z ) w + 0.8w ) x + x Respuesta: 01) ( x + 5) (x + 3) 0) (n + 5) (n - 4) 03) (m - 9) (m - 3) 04) (x - 6) (x + 4) 05) (x + 15) (x + 5) 06) (y + 0) (y - 4) 07) (x - 0) (x - 5) 08) (y - 1) (y + 6) 09) 10) 1 1 (y ) (y ) (x ) (x ) ) (x + 1,8) (x 1,) 1) (y 1,5) (y + 1,3) 13) (x + 0) (x + 15) 14) (y + 30) (y - 0) 15) (z - 33) (z + 1) 16) (w - 45) (w - 4) 17) (xy + 30)(xy + 4) 18) (z - 1.4) (z - 0.9) 19) (w + 0.3) (w + 0.5) 0) (x - 31) (x - 13) 5 Aprender entendiendo

7 Recordar que el valor c se descompone en sus factores primos, los cuales se combinan para hallar los dos factores buscados. (*) Del ejercicio 01 al 08 se aplica lo explicado al inicio de este tema y + y y + y y. y y. y x + x x + x x. x x. x En los ejercicios 09 y 10, el término independiente tiene como numerador uno. Se hallarán más fácilmente los valores buscados si tanto el numerador como el denominador, se multiplican por el valor del denominador, porque es igual al valor del denominador del segundo término x + 0,6x -,16 = x + x x + x x 1,8 x 1, es la combinación buscada, porque: (*) y es la combinación buscada, porque: 1.- y - 0, y - 1,95 = y y y y y 1,3 y 1,5 (*) y es la combinación buscada, porque: 18.- z,3 z + 1,6 = z z z z z 1,4 z 0,9 (*) y w w w + w w. w w 0,3. w 0,5 SUGERENCIA: En los ejercicios 11, 1, 18 y 19, es más fácil trasformar los números decimales en fracciones decimales, cuyo denominador es un múltiplo de 10 y cuyo numerador es un número entero. Al final, luego de hacer los cálculos, las fracciones se transforman nuevamente en números decimales. 6 Aprender entendiendo

8 Trinomio de la forma a x b x c Este trinomio se ordena en potencias descendentes de una variable. En él se observa que el coeficiente de la variable al cuadrado, es diferente de uno. Se resuelve multiplicando y dividiendo todo el trinomio por el valor de a y queda de la forma: a a x b.a x c.a a x b a x c.a a x b x c a x b x c a a a De esta forma, el paréntesis elevado al cuadrado queda multiplicado por uno, y el numerador se resuelve de la misma forma que el trinomio x bx c. Luego se elimina el denominador simplificando. Factorizar los siguientes trinomios: 01) x + 7x + 3 0) y + 9y ) 3z - 14z ) 4x - 9x ) 5x + 1x ) 6y + 1y ) 7x - 46x ) 8y + 4y ) 9x - 66x ) 10x - 3x ) 0x + 84x ) 4b + 58b ) 10x + 110x ) 6y + 50y ) 15z + 186z ) 1,5w + 4w + 17) x y + 5xy + 18) 0, z 1,3 z + 19) 0,1w + 13w - 3 0) x + 11x Respuesta: 01) ( x + 1) (x + 3) 0) (y + 1) (y + 4) 03) (z - 5) (3z + 1) 04) (4x - 1) (x - 7) 05) (5x - 3) (x + 3) 06) (3y + 4) (y + 3) 07) (x - 7) (7x + 3) 08) (4y + 16) (y - ) 09) (3x - 0) (3x - ) 10) (5x + 9) (x - 10) 11) (5x - 4) (4x + 0) 1) (6b + 7) (4b + 5) 13) (5x + 30) (x + 10) 14) (3y - 0) (y + 30) 15) (5z + 77) (3z - 9) 16) (3w + ) (0.5w + 1) 17) (xy + 4) (xy + 0.5) 18) (0.5z - ) (0.4z - 1) 19) (0.5w - 1) (0.w + 3) 0) (11x - 0) (x - 10) 7 Aprender entendiendo

9 01.- x + 7x + 3 = x + 7x + 3 Ejercicios de Factorización x + 7. x + 3. x + 7. x + 6 x 6x 1 x 3x 1 x 3x z 14 z 5 = 3z 14 z z 14. 3z z 14. 3z x + 1x 9 = 5x + 1x 9 3z 153z 1 3z 53z 1 z 5 3z x 1. 5x x 1. 5x 45 5x 155x 3 5x 35x 3 x 35x x + 110x = 10x + 110x x x x x x 6010 x 50 5x 30.5 x 10 5x 30 x Aquí puede haber otras simplificaciones: a) 10x 6010x 50 5x 1. 5x 5 x 1 5x x x x 6 10 x 50 b) x 6 10 x c) 10x 60 10x 50 10x x 5 10 x 60 x Cualquiera de estas 4 formas da el mismo resultado: 10x + 110x Aprender entendiendo

10 16.- 1,5w + 4 w + = 1,5w + 4 w + 1,5 1,5 w ,5 w +. 1,5 1,5 1,5 1,5 w +4. 1,5 w 3 1.5w 31,5 w w 1,5 w 1 w 1,5 w 1 1, También se puede: 1,5w 31,5w 1 1,5w 31,5 w 1. 30,5w 13w 0,5 w 1 3w Porque: 1, , z 1,3 z + = 0, z 1,3 z + 0, 0, z 1,3. 0, z +. 0, 0, 0, , z 1,3 0, z 0,4 0, z 0, z , 0, 8 5 0,z 0,z , z 0,8 0, z 0,5 0, z 40, z 0,5 0, 0, 0, No es necesario pero, se puede transformar: z 4 0, z 0,5 z 4 0,5z z 4 0, z 0,5. 0, z 0,5. 0, 4z 1 0,5z 0, 4z 1 La respuesta está en esta forma. En ambos casos, el resultado es el mismo. 9 Aprender entendiendo

11 Diferencia de Cuadrados: n n n n n n a b a b a b (donde n es par) La factorización del binomio cuyos términos están elevados a una potencia par, siempre se realiza multiplicando la suma por la diferencia de la raiz cuadrada de los términos del binomio, convirtiéndose así en un Producto de Conjugadas. Factorizar los siguientes Binomios: 01) m - n 0) x ) 5a - 144b 04) 9x y 4-11z 8 05) 400x ) 1/4-16x 07) 1/16 - x 4 /5 08) a 6 /36-49b 4 /100 09) x n b 8n - 1/169 10) 0,81a 6 1,1b 8 11) 1,69x 8 y 10,5z 1 1) a 4n b 6n - c 1x /64 13) (m - n) - (x + y) 14) (3x - 4) - (x - 6) 15) (3a + b - c) - (a + b) 16) 5a 10 - (3a + 4) 17) 36(x - y) - 16(x + y) 18) (c a + ab ) - (ac - ab ) 19) 49(x 4 - y ) - 400(z - zy + y ) 0) 900(a - ab + b ) - 5(a + ab + b ) Respuesta: 01) (m + n)(m - n) 0) (x + 10) (x - 10) 03) (5a + 1b) (5a - 1b) 04) (3xy + 11z 4 ) (3xy - 11z 4 ) 05) (0x 7 + 1) (0x 7-1) 06) (1/ + 4x) (1/ - 4x) 07) (1/4 + x /5)(1/4 - x /5) 08) (a 3 /6 + 7b /10) (a 3 /6-7b /10) 09) (x n b 4n + 1/13)(x n b 4n - 1/13) 10) (0,9a 3 + 1,1b 4 ) (0,9a 3 1,1b 4 ) 11) (1,3x 4 y 5 + 1,5z 6 ) (1,3x 4 y 5 1,5z 6 ) 1) (a n b 3n + c 6x /8) (a n b 3n - c 6x /8) 13) (m - n + x + y) (m - n - x + y) 14) (5x - 10) (x + ) 15) (5a + 4b - c) (a - c) 16) (5a 5 + 3a + 4) (5a 5 + 3a - 4) 17) (10x - y) (x - 10y) 18) 4a b c 19) (7x y + 0z - 40zy) (7x 4-7y - 0z + 40zy) 0) 5(3a - ab + 3b ) (a - 6ab + b ) 10 Aprender entendiendo

12 Del ejercicio 01 al 09 se aplica lo explicado al inicio de este tema ,81 a - 1,1b a b a b a b 0,9 a 1,1 b 0,9 a 1,1 b ,69x 8 y 10,5 z x y z x y z x y z ,3 x 4 y 5 1,5 z 6 1,3 x 4 y 5 1,5 z (3x - 4) - (x - 6) = 3x - 4 x - 6 3x - 4 x - 6 5x 10x (x - y) - 16(x + y) 6 x - y 4 x + y 6 x - y 4 x + y 10x y x 10 y 18.- (c a + ab ) - (ac - ab ) c a + ab ac - ab c a + ab ac - ab a c a b 4a b c (x 4 - y ) - 400(z - zy + y ) x - y 400 z - y 49 x - y 400 z - y x - y 0 z - y 7 x - y 0 z - y (Si se desarrolla queda como la respuesta) 11 Aprender entendiendo

13 (a - ab + b ) - 5(a + ab + b ) a b 5 a b 900 a b 5 a b 30 a b 15 a b 30 a b 15 a b 15 a b a b.15 a b a b 5 a b a b a b a b En este ejercicio, como los términos en los paréntesis son similares se puede factorizar también así: 5 3a a b 3b a 6a b b 30 a - ab + b 15 a + ab + b 30 a - ab + b 15 a + ab + b 45a 30a b 45b 15a 90a b 15b 15 3a a b 3b 15 a 6a b b 1 Aprender entendiendo

14 Binomio: Suma y Diferencia de Cubos a Ejercicios de Factorización b y a 3 b a) Para factorizar un binomio formado por la suma de términos elevados al cubo a 3 b 3 realizan los siguientes pasos: Se extrae la raiz cúbica de cada término del binomio. Se forma un producto de dos factores: un binomio por un trinomio. El factor binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio. El factor trinomio está formado por: El cuadrado de la primera raiz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raiz. a b a b a ab b 3 3, se Factorizar los siguientes Binomios: Respuesta: 1) ) 3) 4) 5) 1) 1 x1 x x x 10 ) x 10 x 10 x a b 3) 3a 5b9a 15ab 5b x y z 4) 4 x y 6 z 3 16 x y 4 4 x y z 3 36 z 6 6a 3b 4 x y 5) 8x a 9y b 64x a 7x a y b 81 y b x 6) x 8x 8x , ) 7a 0b 4 49a a b 4 400b x x ) ) 8) a b a b , 008 z 0,15 w z w ) 64a b 7a b 10) a b 3 a 3 b 8) 0, z 0,5 w 3 0,04 z 4 0,1z w 3 0, 5w ) 4 ab 3 ab 16 ab 1a b 9a b ) a b a 3 ab b 13 Aprender entendiendo

15 b) Para factorizar un binomio formado por la diferencia de términos elevados al cubo a 3 b 3 realizan los siguientes pasos:, se Se extrae la raiz cúbica de cada término del binomio. Se forma un producto de dos factores: un binomio por un trinomio. El factor binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. El factor trinomio está formado por: El cuadrado de la primera raiz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raiz. a b a b a ab b 3 3 Factorizar los siguientes Binomios: Respuesta: 1) ) 3) 4) m 7 a 64 1) 0 m m m 4 b ) 3a 4b9a 1ab 16 b 5 x 3 y 6 8 z 9 5 x 6 y 1 40 x 3 y 6 z 9 64 z 18 z 3) x y ) 6 x a 9 y a 36 x a 54 x a y a 81 y a 16 x 79 y 3a 1a 5) m ) m m m 3 3 6) 7 x y 8x y 7) ) 3x yx y 9x y 6x yx y4x y 7 8 0,07 x 0,008 y x y ) 0,3 x 0, y 0,09 x 0,06 x y 0,04 v 8) 9) 10) , 000 z x 1 8) y x y x y z 4 x z z x 4 x y 5 y 16 y 9) x y 5 x x y 5 y 5 6 x y 9 y 64 8y x 8x x y ) 3 6 y 4 y x x y 4x x y x y 14 Aprender entendiendo

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