CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA


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1 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON: I. GUIONES DE CONFERENCIAS II. FICHAS DE ESTUDIO III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS Trata las unidades siguientes: UNIDAD 6: UNIDAD 7: UNIDAD 8: UNIDAD 9: LOS POLINOMIOS ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS

2 141 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS Las matemáticas son el alfabeto con que Dios creó el Universo Galileo. GUION DE CONFERENCIA No. 8 POLINOMIOS GENERALIDADES OPERACIONES Contenidos y Láminas No. 6.1 a 6.3 FICHAS DE ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 8 RESPUESTAS

3 142 UNIDAD 6: GUION DE CONFERENCIA No. 8 LOS POLINOMIOS TEMA: POLINOMIOS GENERALIDADES OPERACIONES CONTENIDO: * Polinomios y sus características * Operaciones con Polinomios. * División Euclídea en los Polinomios. DESARROLLO. RECURSO 1. POLINOMIOS. * Expresión algebraica: + Características: variable, constante y símbolos operatorios. + Clasificación de las expresiones algebraicas * Polinomios: + Monomios y sus características. + Polinomios y sus características. Lámina Operaciones con Polinomios. * Suma. Propiedades de la suma. * Multiplicación. Propiedades de la multiplicación. * Productos notables. Lámina División Euclídea en los Polinomios. * Factorización de Polinomios. * Algoritmos de la División. * División sintética. Lámina 6.3

4 143 LÁMINA DE PRESENTACIÓN CONFERENCIA No. 8 UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS CONTENIDO: * Polinomios y sus características * Operaciones con Polinomios. * División Euclídea en los Polinomios.

5 144 LÁMINA EXPRESION ALGEBRAICA: Combinación de números y letras ligados con signos de operaciones algebraicas. Ejemplos: A = π r5, x5/(1 + x ), z = x + y Observaciones: los números son las constantes, 2, π; las letras son las variables, indeterminadas o incógnitas, r, x, y; y las operaciones algebraicas están representadas por: +, -, H,,. No son expresiones algebraicas: x 3, log (sen x/6) En las expresiones algebraicas racionales o irracionales, la más simple es la llamada monomio, como π r5. 2. MONOMIO: es la expresión algebraica de la forma ax6, donde a ε R es el coeficiente, y x6 es la parte literal en la indeterminada x con exponente n ε N, que indica el grado del monomio igual a n. 3x 5 es un monomio de grado 5, pero x5y 3 también es un monomio de grado 5. 2 es un monomio de grado 0. Toda constante no cero tiene grado cero. 3. MONOMIOS SEMEJANTES: cuando tienen la misma parte literal. 3x 4, - (2/3)x 4 son monomios o términos semejantes y pueden reducirse a un solo monomio: 3x 4 - (2/3)x 4 = (7/3)x 4 4. POLINOMIOS: suma de monomios. Cada monomio es un término del polinomio. BINOMIO: 5x 3-3x TRINOMIO: 5x 3-3x + 7 La representación normal o canónica de un polinomio en x sobre R, se simboliza por: p(x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, donde a n, a n-1,..., a 0 εr, a n 0. Generalidades: El gr[p(x)] = n. a n x n es el término principal y a n es el coeficiente principal. Si a n = 1, entonces el polinomio es mónico. a 0 es el término independiente o constante y su grado es cero. Si p(x) = - 5x 3-3x 2 + 6, entonces gr[p(x)] = 3, coeficiente principal a n = - 5, p(x) no es mónico, a 2 = -3, a 1 = 0, a 0 = 6. El polinomio está en forma canónica. Un polinomio se dice que está en forma canónica o normal si: 1o. está ordenado decreciente con respecto a los exponentes de sus términos. 2o. se reducen los términos semejantes y se omiten los términos con coeficiente cero. Cuando estos se escriben se dice polinomio completo. Nota: En los polinomios no existe la relación de orden > ó <, pero si es importante el grado del polinomio. Dos polinomios son iguales si tienen los mismos términos.

6 145 LÁMINA SUMA DE POLINOMIOS: se reducen sus términos o monomios semejantes y se copian los demás términos. Para la resta de polinomios se cambian los signos de los términos del sustraendo y se suman al sustraendo. Ejemplos: Si p(x) = 3x 3-2x 2-4, g(x) = -7x 3 + 3x - 2, entonces: p(x) = 3x 3-2x 2 + 0x - 4 p(x) = 3x 3-2x 2 + 0x - 4 g(x) = -7x 3 + 0x 2 + 3x g(x) = 7x 3 + 0x 2-3x + 2 p(x)+g(x) = -4x 3 + 2x 2 + 3x - 6 p(x) - g(x) = 10x 3-2x 2-3x - 2 gr[p(x) ± g(x)] Máx. gr [p(x), g(x)] 2. PROPIEDADES: Las mismas de los enteros, como las de cierre, asociativa, conmutativa. El elemento neutro es el polinomio cero, p(x) = 0 (sin grado): p(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x) 3. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS. Empecemos por la multiplicación de monomios: ax n H bx m = ab x n+m Multiplicación de polinomios: cada término del primer factor se multiplica por todos los términos del segundo factor y al final se reducen los términos semejantes: (3x 5-6x 2 )(2x 3 - x) = 6x 8-3x 6-12x 5 + 6x 3 gr [p(x) g(x)] = gr [p(x)] + gr [g(x)] PROPIEDADES: Cierre, asociativa, conmutativa. Elemento neutro: polinomio p(x) = 1, de grado cero. Los polinomios de grado mayor que cero no tienen inverso. Sólo los polinomios de grado cero, es decir los números reales no nulos, tienen inverso. Los reales son las unidades de los polinomios como 1 y -1 son las unidades de los enteros. Propiedad distributiva: 3x5(2x 4-5x) = 6x 6-15x 3 4. PRODUCTOS NOTABLES: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + (ad + bc) + bd (a + b)(a - b) = a5 - b5 (a + b)(a + b) = (a + b)5 = a5 + 2ab + b5 (a - b)(a - b) = (a - b)5 = a5-2ab + b5 (a + b)(a + b)5= (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b)(a - b)5= (a - b) 3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3 (a + b)(a5 - ab + b5) = a 3 + b 3 (a - b)(a5 + ab + b5) = a 3 - b 3

7 146 LÁMINA DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Para dividir polinomios se emplea el algoritmo de Euclides y se tiene que dados el dividendo D(x) y el divisor d(x), se obtiene el cociente q(x) y el residuo r(x) tales que: D(x) = d(x) q(x) + r(x) tal que r(x) = 0 ó gr [r(x)] < gr [d(x)] 1. Si r(x) = 0, entonces la división es exacta. 2. Si r(x) 0, entonces la división es inexacta. En algunos casos se puede saber cuando un polinomio es divisor o factor de otro. Tampoco es fácil declarar un polinomio como primo o compuesto, pero no hay duda de que un polinomio de primer grado es primo como también una suma de cuadrados. 3x + 1, x5 + 4 son primos. Las reglas para factorizar polinomios no son tan prácticas como las dadas en los enteros. Aquí se usa mucho el "tanteo" y la habilidad se desarrolla haciendo muchos ejercicios. ab + ac = a(b + c) a5 - b5 = (a + b)(a - b) a5 + 2ab + b5 = (a + b)5 a5-2ab + b5 = (a - b)5 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 a 3 + b 3 = (a + b)(a5 - ab + b5) a 3 - b 3 = (a - b)(a5 + ab + b5) Ejemplo: Factorice 1. 3m5 + m = m(3m + 1) 2. 3m + 1 = 3(m + 1/3) 3. x 4 + x5y5 + y 4 = x 4 + 2x5y5 + y 4 - x5y5 = (x5 + y5) 2 - x5y5 = [x5 + y5 + xy] [x5 + y5 - xy] 2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Tanto el dividendo como el divisor deben estar ordenados y se procede en forma semejante a la división de enteros; el residuo debe tener grado menor que el del divisor. Ejemplo: Dividir D(x) = 5x 3 + 3x - 2 entre d(x) = 2x5 + 3x -1 5x x5 + 3 x - 2 2x5 + 3x -1-5x 3-15/2 x5 + 5/2 x 5/2 x - 15/4-15/2 x5 + 11/2 x /2 x5 + 45/4 x - 15/4 67/4 x - 23/4 residuo Entonces D(x) = d(x)[(5/2) x - 15/4 ] + [(67/4)x - 23/4]

8 DIVISIÓN SINTÉTICA (o regla de Ruffini): Es el método para abreviar la división de un polinomio entre otro de primer grado y mónico. Dividir D(x) = 2x 4-17x 2 + 6x - 5 entre d(x) = x - 3, entonces residuo q(x) = 2x 3 + 6x 2 + x + 9, r = 22 Se puede dividir entre un divisor no mónico, dividiendo el divisor y el cociente por su coeficiente. 4x 3 + 4x 2-2 entre 2x + 3, entonces /2-3/ /2 q(x) = 2x 2 - x + 3/2, r = -13/2

9 148 FICHA DE ESTUDIO No.6 UNIDAD 6: EL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS Lámina 6.1 Expresión Algebraica: Polinomio NOMBRE FECHA I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Determinar expresiones algebraicas y sus elementos. 2. Determinar monomios semejantes y efectuar reducciones de los mismos. 3. Comprender lo que es un polinomio, sus características y sus elementos. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Expresión algebraica: variable y constante. * Definición de monomio e identificación de sus términos o elementos. * Monomios semejantes y la reducción de monomios semejantes. * Definición de polinomio y su forma normal o canónica. * Definiciones del grado y elementos de un polinomio. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Escribe cada proposición como una expresión algebraica utilizando el signo igual y las variables apropiadas: a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 66. b) Cierto número menos 6 es igual a 5 veces otro número que es igual a 7 más el primero. c) El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el doble producto del primero multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número.

10 Escriba las siguientes expresiones como una proposición, donde a y b son números reales: a) (a - b)5 = a5-2ab + b5 b) a5 - b5 = (a + b)(a - b) c) (a + b) 3 = a 3 + 3a5b + 3ab5 + b 3 3. Con las siguientes expresiones: a) x 1 b) x x x 2 - x c) log x 2 x + 3x 5 d) x 1 e) 1-3x 3 + x 4 f) x 2 y 3 Contesta: i) )Cuáles son expresiones algebraicas y cuáles no lo son? ii) )Cuáles son constantes y cuáles son variables de las expresiones algebraicas? iii) )Cuáles son monomios? iv) )Cuáles son polinomios? v) Expresa los polinomios en forma normal o canónica. vi) Indica el grado de cada polinomio. vii) Indica los polinomios mónicos. viii) Indica el coeficiente principal y el término independiente de cada polinomio. 4. )Por qué los números reales se consideran como polinomios? 5. )Cuál es el grado del polinomio cero? 6. Encuentra el valor de k si x 3-3x + 2 = x 3 + (k - 1) x Define los conjuntos Q[x] y Z[x] de polinomios.

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