FACTORIZACIÓN MÉTODO DE FACTORIZACIÓN A. FACTOR COMÚN MONOMIO


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1 Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o más polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores: multiplicación (x + 1) (x + 3) = x 2 + 4x + 3 factorización Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos. FACTORIZADO P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z 2 x 3 P(x, y, z) = x 2 y 3 w 5 P(x, y) = (x + y)(x 2 xy + y 2 )x 4 P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x # DE FACTORES PRIMOS P(x) = x 2 5x 14 P(x) = (x - 7) (x + 2) P(x, y) = x 3 y 4 (x - 2)(x - y) P(x, y, z) = (xyz) 2 Tiene 2 factores primos son: x 7; x + 2 P(x) = x 3 (x 4 + 1) P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz Q(x, y) = x 4 y 3 x 2 y 5 Q(x, y) = x 2 y 3 (x 2 y 2 ) Tiene 2 factores primos son: x 7; x + 2 Son: x; y; x + y; x y P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a) MÉTODO DE A. FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable está formada por las variables comunes con su menor exponente. Factorizar: 25x 4 30x 3 + 5x 2

2 Se halla el máximo común divisor de los coeficien-tes M.C.D. (25; 30; 5) = P(x) = 2x n + x n+1 + x n+2 P(x) = 3x n + 6x n-2 12x n-1 P(x, y) = 12nx a y b + 4nx a-1 y b-2 8nx a+1 y b+2 Se sacan las variables comunes de todos los términos. x 4 x 3 x 2 B. FACTOR COMÚN Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio. Se escoge el que tiene menor exponente. Se multiplica el M.C.D. por la variable común. La factorización queda así: x 2 5x 2 P(x) = 2x 2 y(m + n) 3z 4 (m + n) + 5(m + n) Observa que un polinomio (m + n) se repite en todos los términos. El cual lo extraemos y queda: (m + n) (2x 2 y 3z 4 + 5) P(x, y) = (x 2 + y 2 )x (x 2 + y 2 )y 2(x 2 + y 2 ) El polinomio que se repite es: x 2 + y 2 Queda: (x 2 + y 2 ) (x y - 2) 5x 2 (5x 2 6x + 1) COMÚN º P(x, y) = 15x + 25y P(x) = abx 2 acx MONOMIO COMÚN (a - 2)x 2 (a 2) y 2 (x + y - z) + m 2 (x + y - z) x 4 (2ª 5b) + x(2a 5b) 5(2a - 5b) a(p + q) + b(p + q) + c(p + q) a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c) P(x) = 2x 2 4x + 6x 3 P(x, y) = x 2 y 3 x 4 y + x 3 y 3 P(x, y) = 5x 3 y 4 15x 4 y 5 + 2ax 5 y 5 (x) = abx 2 ax 3 + bx P(x, y) = x 4 x 3 + x C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes. a 2 x + 5m 2 x a 2 y 2 5m 2 y 2

3 Para factorizar se agrupa los que tenga parte variable común. Entonces: a 2 x + 5m 2 x a 2 y 2 5m 2 y 2 Por monomio común Observa que en todos los términos no hay expresión común: Tienen común x x(a 2 + 5m 2 ) y 2 (a 2 + 5m 2 ) (a 2 + 5m 2 ) (x y 2 ) mx + m 2 + xy + my Monomio m(x + m) + y(x + m) a 2 x + 5m 2 x a 2 y 2 5m 2 y 2 Tienen común y 2 y se puede sacar el (-) Monomio Por monomio común x 2 y 2 = (x + y)(x - y) (por diferencia de cuadrados) x 2 + 2xy + y 2 (por trinomio cuadrado perfecto) x 2 y 2 x y x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 xy 2xy x 2 Trinomio Cuadrado Perfecto x 3 y 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2 ) (Diferencia de cubos) Factorizar: a) 4x 2 9 (parece diferencia de cuadrados) Le damos forma: 4x 2 9 = (2x) = (2x + 3)(2x - 3) 4x 2 9 = (2x + 3)(2x - 3) (Por diferencia de cuadrados) b) 27x (Parece suma de cubos) Le damos forma: 27x = (3x) 3 + (2) 3 = (3x + 2) [(3x) 2 (3x)(2) + (2) 2 ] = (3x + 2) (9x 2 6x + 4) 27x = (3x + 2) (9x 2 6x + 4) Polinomio (m + y) (x + m) m 2 y 2 7xy 2 + m 2 z 2 7xz 2 5a 3b 3bc 5 + 5ac 5 6x 3 1 x 2 + 6x 7mnx 2 5y 2 5x 2 + 7mny 2 d 2 m 13c 2 n 2 d 2 n c 2 m POR AGRUPACIÓN c 2 b 2 x x x 3 64x x 2 14x m 2 36n 2 36n xy + 16y 2 IDENTIDADES D. IDENTIDADES Aquí utilizamos los diferentes productos notables ya estudiados. a 2 b 2 = (a + b)(a - b) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 2ab + b 2 = (a - b) 2 36x xy + 49y 2 E. ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar trinomios de la forma: ax 2 + bxy + cy 2

4 Quinto de secundaria Su método es: Se descomponen en los factores extremos ax 2 + bxy + cy 2 x 2 + 5x + 6 x +3 x +2 Observa que los factores son (x + 3)(x+2) x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) x 2-5x - 6 x -6 x +1 x 2-5x - 6 = (x - 6)(x + 1) Ejemplo 3 6x 2-7xy 20y 2 Se realiza un producto en aspa y los resultados se adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término central del trinomio dado. 3x +4 2x -5 6x 2-7xy 20y 2 = (3x + 4)(2x - 5) Los factores se escriben en forma horizontal EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Indique el número de factores primos: F(a, b) = 5a 9 b a 6 b 7 a) 3 b) 9 c) 10 d) 1 e) Factorizar: T(a, b) = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1) d) (a + b) 2 (a 2 + b) b) (a 2 + 1) (b 2 + 1) e) (a 2 + b) (a + b 2 ) c) (a 2 + b 2 ) (a + b) 3. Factorizar: P(x) = x 5 + x 2 x - 1 a) (x - 1)(x + 3) 2 d) (x - 1) 2 (x + 1) b) (x + 1) 2 (x - 1) e) x(x + 1) 2 c) (x + 1) (x - 1) 4. Señale un factor primo de segundo grado: G(a, b) = a(1 b 2 ) + b(1 a 2 ) a) 1 + a 2 b) 1 + ab c) ab - 1 d) a 2 + b 2 e) 1 - ab 5. Indique el factor primo que mas se repite en: E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) x a) x 3 b) x 2 c) x - 1 d) x + 2 e) x Factorizar: P(a, b, c) = a(b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo: TRINOMIO x 2 + 7x + 12 x 2 2x - 15 X 2 + 8xy + 7y 2 x 2 + 2xy 35y 2 4x 2 12xy + 5y 2 12x 2-8xy 15y 2 ASPA SIMPLE 7. Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión? P(x, y, z, w) = wy + wz wyz xy xz + xyz 8. Luego de factorizar: F(a) = a 2 + 2a + ab + b + 1; indique el término independiente de un factor primo. a) b + 1 b) a + 1 c) a + b d) a + b + 1 e) a b Un factor de: a 2 x 2 8acx + 16c 2 25b 2 es: a) ax + 4c + 5b d) x + ac b) ax 4c + 5b e) ax c - 4b c) ax c + 4b 10. Factorizar: P(x, y) = (x + 1) 2 (y - 2) 2 Hallar un factor primo: a) x + y 1 b) x y 2 c) x y - 3 d) x y 4 e) x y - 7

5 11. Factorizar: R(x) = 8x ; indique el factor primo de mayor suma en sus coeficientes. a) 2x 3 b) 3x + 2 c) 2x + 3 d) 9x 2 6x + 4 e) 4x 2 6x Calcular la suma de los factores primos de: T(x, y) = (xy + 1) 2 (x + y) 2 a) 4 b) x + y c) 2 d) 2(x + y) e) x - y 13. Indique el número de factores primos en: P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Indique un factor de: P(a, b) = 3 + 2a 2 b + 4ab 2 + 8b 3 a) a 2 + b 2 b) a 2 + 2b 2 c) a + b d) a + 2b e) a + 4b 15. Indique un factor de: P(a, b, c, d) = a 2 + b 2 + 2ab c 2 d 2 2cd a) a + b c + d b) a + b + c + d c) a b + c - d d) a + b + c - d e) a b c d TAREA DOMICILIARIA 1. Factorizar: P(a) = a 3 + 2a 2 a 2; e indicar el factor primo con mayor término independiente. a) a + 1 b) 3a + 1 c) a + 2 d) a 1 e) 2a Factorizar: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. Factorizar: H(x, y) = 4x y 4 a) 2x 2 6xy + 9y 2 d) 9x 2 + 6xy + 2y 2 b) 9x 2 6xy + 2y 2 e) N.A. c) 2x 2 6xy 9y 2 5. Factorizar: M(x, y) = x x y 4 ; indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 9 b) 6 c) 11 d) 4 e) 8 6. Reconocer un factor de: mn 4 5m 2 n 3 4m 3 n m 4 n a) m + 2n b) 5n m c) n + 5m d) m(m 2n) e) (n 2m)n 7. Indicar un factor de: P(x, y) = a 2 b 2 + x 2 y 2 + 2(ax - by) a) a + b + x y d) a b x + y b) a + b x y e) a b x - y c) a b + x - y 8. Factorizar: P(a, b, c) = 4a(a + b) + b(b - c) 2ac; y señalar la suma de coeficientes de un factor primo y obtenido. a) 1 b) 3 c) 4 d) -1 e) 0 9. Factorizar: N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) + 3; indicar el término independiente de un factor obtenido. a) 5 b) 2 c) -5 d) 4 e) Indicar un factor de: P(a, b) = a(b 2 + b + 1) + b(a 2 + a + 1) + a 2 + b 2 a) a + b + 1 b) a c) b d) a + 1 e) a 2 + b Factorizar: A(x) = x 4 + 2x 2 + 9; luego indique algún termino de un factor primo. a) x b) 8x c) 7x d) x 2 e) Indicar la suma de factores primos: F(a, b) = a 3 b 3 + a 2 b ab 2 a) 2a b) 2b c) a + b d) 1 e) Factorizar: P(x) = 4x x ; indique un factor primo. a) 2x 2-3x + 6 d) 2x 2 + 3x - 6 b) 6x 2 3x + 2 e) 6x 2 + 3x + 2 c) 2x 2 3x Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio? P(x) = x 10 + x 8 + x 6 + x 4 + x Dado el polinomio: P(x) = x 20 (x 27 + x ) + x 7 (x ) + 1; indicar un factor: a) 2x 10 + x d) x 25 + x b) x 10 x 5 1 e) x x c) x 20 x

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