ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1)


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1 CPU Calle Mercado # 555 Teléfono FACTORIZACIÓN Caso I: Factor Común Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo común divisor (MCD) entre ellos. ax+bx = x(a+b) ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1) Ejemplos Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y 24ax+18bx = 6x(4a+3b) dividir cada término entre el factor común (restando los exponentes) MCD = 2. 3 = Caso I Especial 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y) Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto entre paréntesis. Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y dividir cada término entre el común a(m-2)-m+2 a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1) x(a-b)+a-b x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1) Caso II: Factor común por agrupación ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by) Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son = x(a+b) - y(a+b) seis u ocho términos = (a+b)(x-y) Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar cada grupo como el caso I y luego el resultado factorizar como el caso I especial. ax 2 -x+ax-1 = (ax 2 -x)+(ax-1) = x( ax-1) +(ax-1) = (ax-1)(x+1) Caso III: Trinomio cuadrado perfecto a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. x 2-2xy+y 2 = (x-y) 2 4x 2-12xy+9y 2 = (2x-3y) 2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado. 2 x 5xy y 6 x = 5y prueba : x ( 5y ) = 5xy Caso III Especial (a+1) 2 +2(a+1)(2a-3)+(2a-3) 2 Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. [(a+1)+(2a-3)] 2 [ a a-3 ] 2 Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, [3a-2] 2 signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre corchetes y elevar al cuadrado. Caso IV: Diferencia de cuadrados a 2 b 2 = (a b) (a + b) Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que tienen raíz cuadrada, siempre es una resta 4x 2 9y 2 = (2x + 3y) (2x 3y) 2 x 16 x 4 x 4 = + 3 Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo en los dos paréntesis y 5 3 y 5 y Caso IV Especial (a+b) 2 c 2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c] Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada, el signo afuera de los parentesis es menos (-) Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes. 49(x 1) 2 9(3 x) 2 [7(x-1) 3(3 x)] [7(x-1) + 3(3 x)] [7x x] [7x x] [10x 16] [4x + 2]

2 Combinación Caso III y IV Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada. Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial Cuando son seis términos formar dos trinomios cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial CasoV: Trinomio cuadrado por Adición y Sustracción Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y tercero siempre son positivos, tienen raíz cuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro (4, 8, 12, etc) Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El resultado factorizar como el caso IV Especial. Ejemplos a 2 +2ab + b 2 c 2 = (a 2 +2ab + b 2 ) c 2 (a + b) 2 c 2 [(a +b) c] [(a +b) +c] [a + b c] [a + b + c] a 2 - x 2 2xy y 2 = a 2 (x 2 + 2xy + y 2 ) = a 2 (x+y) 2 a 2 +2ab + b 2 - x 2 + 2xy y 2 = [a (x+y)][a + (x+y)] = [a x - y] [a + x + y] (a 2 +2ab + b 2 ) - (x 2-2xy + y 2 ) (a + b) 2 (x y) 2 [(a + b) (x y)][ (a + b) + (x y)] [ a + b x + y ][ a + b + x y ] x 4 + x 2 y 2 + y 4 =(x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 + x 2 y 2 =[(x 2 + y 2 ) xy] [(x 2 + y 2 ) + xy] +2x 2 y 2 =[ x 2 + y 2 xy] [ x 2 + y 2 + xy] =[ x 2 xy + y 2 ] [ x 2 + xy + y 2 ] 25x x 2 y 2 + 9y 4 =(5x 2 + 3y 2 ) 2 9x 2 y 2 + 9x 2 y 2 =[(5x 2 + 3y 2 ) 3xy] [(5x 2 + 3y 2 ) + 3xy] + 30x 2 y 2 =[ 5x 2 + 3y 2 3xy] [ 5x 2 + 3y 2 + 3xy] =[ 5x 2 3xy + 3y 2 ] [ 5x 2 + 3xy + 3y 2 ] Caso V Especial Cómo Reconocer: Siempre son dos términos positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc) Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos términos, asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y el resultado factorizar por el caso IV Especial x 4 + 4y 4 (x 2 + 2y 2 ) 2 4x 2 y 2 [(x 2 + 2y 2 ) 2xy] [ (x 2 + 2y 2 ) + 2xy] [ x 2 + 2y 2 2xy] [ x 2 + 2y 2 + 2xy] [ x 2 2xy + 2y 2 ] [ x 2 + 2xy + 2y 2 ] 64x 4 + y 8 (8x 2 + y 4 ) 2 16x 2 y 4 [(8x 2 + y 4 ) 4xy 2 ] [(8x 2 + y 4 ) + 4xy 2 ] [ 8x 2 + y 4 4xy 2 ] [ 8x 2 + y 4 + 4xy 2 ] [ 8x 2 4xy 2 + y 4 ] [ 8x 2 + 4xy 2 + y 4 ] Caso VI: Trinomio de la forma x 2 + bx + c x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) Cómo Reconocer: Tiene la forma x 2 + bx + c Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, colocar la raíz cuadrada del primero en cada paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del segundo término y en el segundo paréntesis poner la multiplicación de los signos de segundo y tercer término. Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos números que sumados den el segundo y multiplicado den el tercer término. Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar dos números que restados den el segundo y multiplicados den el tercer término. El número mayor se anota en el primer paréntesis. x 2 7x + 6 = (x - 6)(x - 1) x 2 3x 10 = (x 5)(x + 2) x 2 + x 20 = (x + 5)(x - 4) Caso VI Especial x 4 y 6 2x 2 y 3 15 = (x 2 y 3-5)(x 2 y 3 + 3) x 2 + 7ax + 12a 2 = (x + 4a)(x + 3a) (5x) 2 + 4(5x) 12 = (5x + 6)(5x -2) - x 2 + 3x + 28 = -(x 2 3x 28) -(x - 7)(x + 4) (7 x)(x + 4)

3 Caso VII: Trinomio de la Forma ax 2 + bx + c Cómo Reconocer: Tiene la forma ax 2 + bx + c Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus resultados, si la suma da el segundo término, entonces poner cada fila entre paréntesis. Ejemplos 10 x 2 9 x + 2 = (5x 2) (2x 1) 5x -2 = -4x 2x -1 = -5x. -9x Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el denominador. Multiplicar el primer término con el tercero y proseguir como el caso VI, luego simplificar el denominador con los coeficientes de un paréntesis, si sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con el otro paréntesis. 3x 2 +5 x / x + 3/ 3 x + 2 = 3/ 1 6x 2 7x / x 9/ 6/ x + 2/ = 6/ 2/ 1 6 ( x + 3)( 3x + 2) ( 2x 3)( 3x + 1) Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio a a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 18 Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos positivos o intercalados (+, -, +, - ) y el primer y cuarto término tienen raíz cúbica. Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término, asociar entre paréntesis y elevar al cubo. X 3 3 x 2 y + 3xy 2 y 3 = (x - y) a a 4 + a 6 = (2 + a 2 ) 3 prueba 3(2)2 (a 2 ) = 12a 2 3(2)(a 2 ) 2 = 6a a a 2 b + 60 ab 2 8b 3 = (5a 2b) 3 prueba 3(5a)2 (2b) = 150a 2 b 3(5a)(2b) 2 = 60ab 2 Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 xy + y 2 ) Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz cúbica Cómo Factorizar: Cuando es una suma (x 3 + y 3 ): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. Cuando es una resta (x 3 - y 3 ): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. a 3 - b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 8x = (2x 5)[(2x) 2 + (2x)(5) + (5) 2 ] = (2x - 5)(4x x + 25) Caso IX Especial x 3 + (x - 1) 3 = [x + (x - 1)][x 2 x(x-1) + (x-1) 2 ] = (x + x - 1)(x 2 x 2 +x + x 2 2x + 1) =(2x - 1)(x 2 x +1) (5x - 1) 3 (2x + 3) 3 =[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1) 2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3) 2 ] =[5x -1-2x -3][25x 2 10x+1+10x 2 +15x 2x 3+4x 2 +12x+9] =(3x - 4)(39x x + 7) Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales x 5 + y 5 = (x + y)(x 4 x 3 y + x 2 y 2 xy 3 + y 4 ) Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos. a 7 b 7 =(a - b)(a 6 +a 5 b+a 4 b 2 +a 3 b 3 +a 2 b 4 +ab 5 +b 6 ) x 5 1 = (x - 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) 1 + x 7 =(1 + x)(1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + x 6 ) x 5 32 =(x - 2)(x 4 + x x x ) =(x 2)(x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x+ 16)

4 Productos Notables Ejercicios de productos y cocientes notables José de Jesús Angel Angel MathCon c

5 Contenido 1. Introducción 2 2. El cuadrado de una suma (a + b) El cuadrado de una diferencia (a b) Producto de la forma (a + b)(a b) 8 5. Cubo de un binomio (a ± b) Producto de la forma (mx + a)(nx + b) Cocientes de la forma a2 b 2 a ± b Cocientes de la forma a3 ± b 3 a ± b Cocientes de la forma a3 + b 3 a + b Cocientes de la forma a3 b 3 a b

6 Introducción 1 Al efectuar algunos productos de polinomios, existen varios que son comúnmente usados, a estos productos se les conoce como productos notables. Algunos productos y cocientes notables. 1. El cuadrado de una suma (a + b) El cuadrado de una diferencia (a b) El producto de una suma por una diferencia (a + b)(a b). 4. El cubo de un binomio (a ± b) El producto de la forma (mx + a)(nx + b). 6. El cociente de la forma a2 b 2 a ± b. 7. El cociente de la forma a3 ± b 3 a ± b.

7 El cuadrado de una suma (a + b) 2 2 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. 1. (m + 5) 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (m + 5) 2 = (m) 2 + 2(m)(5) + (5) 2 (m + 5) 2 = m m (9 + 4m) 2 (9 + 4m) 2 = (9)(4m) + (4m) 2 (9 + 4m) 2 = m + 16m 2 3. (2x + 3y) 2 (2x + 3y) 2 = (2x) 2 + 2(2x)(3y) + (3y) 2

8 2. El cuadrado de una suma (a + b) 2 4 (2x + 3y) 2 = 4x xy + 9y 2 4. (3a 3 + 8b 4 ) 2 (3a 3 + 8b 4 ) 2 = (3a 3 ) 2 + 2(3a 3 )(8b 4 ) + (8b 4 ) 2 (2x + 3y) 2 = 9a 6 + (2)(3)(8)a 3 b b 8 = 9a a 3 b b 8 5. (4m 5 + 5n 6 ) 2 (4m 5 + 5n 6 ) 2 = (4m 5 ) 2 + 2(4m 5 )(5n 6 ) + (5n 6 ) 2 (4m 5 + 5n 6 ) 2 = 16m 10 + (2)(4)(5)m 5 n n 12 = 16m m 5 n n (8x 2 y + 9m 3 ) 2 (8x 2 y + 9m 3 ) 2 = (8x 2 y) 2 + 2(8x 2 y)(9m 3 ) + (9m 3 ) 2 (8x 2 y + 9m 3 ) 2 = 64x 4 y 2 + (2)(8)(9)x y m m 6 = 64x 4 y x y m m 6 7. (a m + a n ) 2 (a m + a n ) 2 = (a m ) 2 + 2(a m )(a n ) + (a n ) 2

9 2. El cuadrado de una suma (a + b) 2 5 (a m + a n ) 2 = a 2m + 2a m+n + a 2n 8. (a m + a n ) 2 (a m + a n ) 2 = (a m ) 2 + 2(a m )(a n ) + (a n ) 2 (a m + a n ) 2 = a 2m + 2a m+n + a 2n

10 El cuadrado de una diferencia (a b) 2 3 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es el cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. 1. (2a 3b) 2 (a + b) 2 = a 2 2ab + b 2 (2a 3b) 2 = (2a) 2 2(2a)(3b) + (3b) 2 (2a 3b) 2 = 4a 2 12ab + 9b 2 2. (3a 4 5b 2 ) 2 (3a 4 5b 2 ) 2 = (3a 4 ) 2 2(3a 4 )(5b 2 ) + (5b 2 ) 2 (3a 4 5b 2 ) 2 = 9a 8 (2)(3)(5)a 4 b b 4 = 9a 8 30a 4 b b 4 3. (10x 3 9xy 5 ) 2 (10x 3 9xy 5 ) 2 = (10x 3 ) 2 2(10x 3 )(9xy 5 ) + (9xy 5 ) 2

11 3. El cuadrado de una diferencia (a b) 2 7 (10x 3 9xy 5 ) 2 = 100x 6 (2)(10)(9)x 4 y x 2 y 10 = 100x 6 180x 4 y x 2 y (x a+1 3x a 2 ) 2 (x a+1 3x a 2 ) 2 = (x a+1 ) 2 2(x a+1 )(3x a 2 ) + (3x a 2 ) 2 (x a+1 3x a 2 ) 2 = x 2a+2 6x a+1+a 2 + 9x 2a 4 = x 2a+2 6x 2a 1 + 9x 2a 4 5. (3m a+b 2n a b ) 2 (3m a+b 2n a b ) 2 = (3m a+b ) 2 + 2(3m a+b )(2n a b ) + (2n a b ) 2 (3m a+b 2n a b ) 2 = 9m 2a+2b 12m a+b n a b + 4n 2a 2b

12 Producto de la forma (a + b)(a b) 4 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el producto de la suma por la diferencia es la diferencia de cuadrados. 1. (x + y + z)(x + y z) (a + b)(a b) = a 2 b 2 (x + y + z)(x + y z) = (x + y) 2 (z) 2 (x + y + z)(x + y z) = x 2 + 2xy + y 2 z 2 2. (x y + z)(x + y z) Paso 1 Reordenando términos. (x y + z)(x + y z) = (x (y z))(x + (y z)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (x y + z)(x + y z) = (x (y z))(x + (y z)) = (x) 2 (y z) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (x y + z)(x + y z) = (x) 2 (y z) 2 = x 2 [y 2 2yz + z 2 ] = x 2 y 2 + 2yz z 2 ]

13 4. Producto de la forma (a + b)(a b) 9 3. (x + y + z)(x y z) Paso 1 Reordenando términos. (x + y + z)(x y z) = (x + (y + z))(x (y + z)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (x + y + z)(x y z) = (x + (y + z))(x (y + z)) = (x) 2 (y + z) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (x y + z)(x + y z) = (x) 2 (y + z) 2 = x 2 [y 2 + 2yz + z 2 ] = x 2 y 2 2yz z 2 ] 4. (m + n + 1)(m + n 1) (m + n + 1)(m + n 1) = (m + n + (1))(m + n (1)) = (m + n) 2 (1) 2 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (m + n + 1)(m + n 1) = (m + n) 2 (1) 2 = m 2 + 2mn + n (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) Paso 1 Reordenando términos. (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) = (n 2 + (2n + 1))(n 2 (2n + 1)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) = (n 2 + (2n + 1))(n 2 (2n + 1)) = (n 2 ) 2 (2n + 1) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) = (n 2 ) 2 (2n + 1) 2 = n 4 [4n 2 + 4n + 1] = n 4 4n 2 4n 1

14 4. Producto de la forma (a + b)(a b) (2a b c)(2a b + c) Paso 1 Reordenando términos. (2a b c)(2a b + c) = ((2a b) (c))((2a b) + (c)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (2a b c)(2a b + c) = ((2a b) (c))((2a b) + (c)) = (2a b) 2 (c) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (2a b c)(2a b + c) = 4a 2 4ab + b 2 c 2 7. (a m + b n )(a m b n ) (a m + b n )(a m b n ) = (a m ) 2 (b n ) 2 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (a m + b n )(a m b n ) = a 2m b 2n 8. (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) = (a x+1 ) 2 (2b x 1 ) 2 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) = a 2x+2 4b 2x 2 9. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) Paso 1 Reordenando términos. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) = ((a 2 + b 2 ) (ab))((a 2 + b 2 ) + (ab)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) = (a 2 + b 2 ) 2 (ab) 2

15 4. Producto de la forma (a + b)(a b) 11 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) = (a 2 + b 2 ) 2 (ab) 2 = a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 a 2 b (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) Paso 1 Reordenando términos. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = ((x 3 ) (x 2 + x))((x 3 ) + (x 2 + x)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = (x 3 ) 2 (x 2 + x) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = x 6 (x 4 + 2x 2 x + x 2 ) = x 6 x 4 2x 3 x 2 )

16 Cubo de un binomio (a ± b) 3 5 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cubo de un binomio es el cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. 1. (m + 3) 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (m + 3) 3 = m 3 + 3(m) 2 (3) + 3(m)(3) 2 + (3) 3 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = x 6 (x 4 + 2x 2 x + x 2 ) = x 6 x 4 2x 3 x 2 ) En el caso del signo negativo, el cubo de un binomio es el cubo del primero menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 1. (1 2n) 3 (1 2n) 3 = 1 3 3(1) 2 (2n) + 3(1)(2n) 2 (2n) 3 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (1 2n) 3 = 1 6n + 12n 2 8n 3

17 Producto de la forma (mx + a)(nx + b) 6 Este tipo de productos siguen una fórmula, pero no es difícil obtenerla, multiplicando lo dos binomios. (mx + a)(nx + b) = (mn)x 2 + (m + n)x + ab 1. (x + 3)(x + 2) (x + 3)(x + 2) = x 2 + (2 + 3)x + 6 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (x + 3)(x + 2) = x 2 + 5x (x 2 1)(x 2 + 3) (x 2 1)(x 2 + 3) = x 4 + (3 1)x 3 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (x 2 1)(x 2 + 3) = x 4 + 2x 3 3. (a x+1 6)(a x+1 5) (a x+1 6)(a x+1 5) = a 2x+2 + ( 6 5)a x Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (a x+1 6)(a x+1 5) = a 2x+2 11a x

18 Cocientes de la forma a2 b 2 a ± b 7 Este tipo de cocientes se puede resolver fácilmente al substituir la diferencia de cuadrados (a 2 b 2 ) por el producto (a + b)(a b). De ahí se siguen las fórmulas siguientes (es necesario que a b): a 2 b 2 a + b a 2 b 2 a b = (a b) = (a + b) 7.1. Cocientes de la forma a3 ± b Cocientes de la forma a3 + b 3 a + b Cocientes de la forma a3 b 3 a ± b a 3 + b 3 a + b = a2 ab + b 2 a b a 3 b 3 a b = a2 + ab + b 2 En las otras combinaciones de signos no es exacta la división.

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