TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0


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1 Ficha 0 Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, llamadas parte literal. El grado es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal. ab c Coeficiente: Parte literal: ab c Grado: 6. Rellena la tabla siguiente: Monomio Coeficiente Parte literal Grado 5x 6x y 8xy Valor numérico para e x y 5 xy 9 7 x y 8 Las expresiones algebraicas que tienen la misma parte literal, son semejantes. Sólo se pueden sumar o restar monomios que sean semejantes. o Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes y se pone la misma parte literal. Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que sean semejantes. o El producto de monomios es otro monomio, cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y cuya parte literal, es el producto de las partes literales. Análogamente ocurre con el cociente.. Haz las siguientes sumas y restas de monomios: () xy xy 8xy () 8a b a b a b () 6 50 x 8 x 8 x () 8 x y x y x y 5 (5) xy xy xy (6) ab ab ab 6

2 . Haz los siguientes productos de monomios: () x x ( x) () 8xy 5 x y xy () 5 x y xy () x x 5 x (5) a 5 a (6) xy 8x y. Realiza los siguientes cocientes de monomios, si es posible: () 6x 5 :( 9x ) () a : 5a 7 () -7y : y () x : 6x 5. Completa los espacios vacíos, para que se verifiquen las siguientes igualdades: () 6x 8x () 6x x () 6x x () a 5a a 7 (5) a a 6a (6) 5ab 0a b 6. Calcula: 5 () -x () 6a b 5 () -x y 7. Resuelve estas operaciones con monomios. Se obtiene siempre un monomio? () 5 6ab a c ( b c ) () -6x +7x - 5 x 5 () x y- x xy () 5 a b c a bc a b 6

3 Ficha Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o la diferencia de dos o más monomios. Se llama término del polinomio a cada uno de los monomios que lo forman. El término de grado cero de un polinomio se llama término independiente. Los polinomios que tienen dos términos se llaman binomios, y los que tienen tres, se llaman trinomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Los distintos términos de un polinomio se ordenan según su grado. Lo normal es ordenarlos de mayor a menor grado (orden decreciente). El valor numérico de un polinomio, es el número que se obtiene cuando se sustituyen las distintas letras por unos valores concretos, realizando las operaciones que se indican en la expresión. Un polinomio se dice que es completo, cuando todos los coeficientes de los términos que lo forman son distintos de cero.. Dados los siguientes polinomios, ordenarlos en orden decreciente, indicar cuál es su grado, decir cuántos términos tiene, señalar cuál es el término independiente, calcular su valor numérico para x = y comprobar si es completo o no: 5 6 a) x 7x 5x x 9x x b) 5x 8x x 8x 5x 5 6 La suma y diferencia de polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando o restando los términos semejantes de los diferentes polinomios.. Haz las siguientes sumas y restas de polinomios: 5 5 () ( x 5x 8x 9x 7x ) (x 6x 8x 7x x ) 5 () ( x 5x x ) (9 x x) ( x 0 x 6x ) () x 8x 7x 8x x 6 x 7x x x x 8 8x 8 5 x x 8 x 5x x x 5 5 ()

4 Ficha El producto de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene multiplicando cada término del primero de ellos, por todos y cada uno de los términos del segundo, y sumando a continuación los que resulten semejantes.. Haz los siguientes productos entre polinomios: () (x ) (x ) x( 5x) (x) (5x ) 7 x 5) 8x x 5x 5 () () x 5 x (x ) (6x) xx Sacar factor común en un polinomio, es descomponerlo en producto de otros dos: uno, el factor común que aparece en todos los términos del polinomio y el otro, lo que queda cuando desaparece ese factor común de cada término.. Saca factor común en los siguientes polinomios: 8 () x 6x x x x 5 () a ba b ab 5a b 7a b () 5x(x ) 5(x ) 5(x )(x ) 0x (x ) () 8x 8x 50x x (5) a a a a 5 7 Para elevar un polinomio a una potencia, se multiplica el polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente.. Calcula las siguientes potencias de polinomios: () (x x ) () (x ) () (x ) (x x )

5 Ficha Las igualdades notables son productos y potencias de binomios, que por su utilidad e interés, se estudian de forma específica e individual. - Suma por diferencia de dos monomios (a b) (a b) a b - Cuadrado de una suma de dos monomios (a b) a b ab - Cuadrado de una diferencia de dos monomios (a b) a b ab Aplicando en sentido contrario las fórmulas anteriores, se puede descomponer en producto de binomios una diferencia de cuadrados, o también algunos trinomios.. Aplicar las fórmulas de las igualdades notables a las siguientes expresiones: () (x y) () (5a b) (5) ( 5a b) (6). Hacer las siguientes operaciones: x y 5 () (x y) (x y) () (x y) (7) ( a b) ( a b) () (x y) (x y) (x y) () (a b) (a b) (a b) () (a b) ab 9b () (5x y) (5x y) (x 5y) (x 5y). Rellenar los huecos que quedan en las siguientes expresiones: () ( ) x x () ( ) ( ) x 9 () ( ) a b ab () ( ) ( ) x 5 (5) ( ) x 9y 6xy (6) ( ) ( ) 6 a (7) ( ) 6a 9y 8ab (8) ( ) ( ) a 5

6 Ficha Al dividir dos polinomios: D(x) (dividendo), entre otro d(x) (divisor), se obtienen otro dos polinomios, C(x) (cociente) y R(x) (resto), que verifican la siguiente igualdad: D(x) d(x) C(x) R(x) El proceso de división entre dos polinomios es el siguiente:. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente.. Se dejan en el dividendo espacios en blanco de los términos que faltan.. Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado de esta división, es el primer término del cociente, que se multiplica por todo el divisor, colocándose debajo del polinomio dividendo. Se restan a continuación los términos que son semejantes.. Se baja el término siguiente del dividendo y se repite el proceso hasta que el grado del polinomio, que va quedando de resto, sea menor que el grado del divisor. - Si R(x) 0, se dice que el polinomio dividendo D(x), es divisible entre el polinomio divisor d(x). La división se dice que es exacta. - Si R(x) 0, se dice que la división es entera.. Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios: () ( x 7x 5x 0):(x ) () (9x 6x 7x ):(x) 5 () (7x x 7x 75):(x 5) () (x 5x x 5x ):(x x) 5 (5) (5x x 5x 7x ):(x x ) (6) (7 7x x 6x):( x x) La regla de Ruffini es un método que permite realizar de forma rápida la división de un polinomio entre un binomio del tipo (x a) o (x a), siendo a un número real.. Aplicando la regla de Ruffini, calcular el polinomio cociente y el resto de las siguientes divisiones: 5 () ( x x x ):(x ) () (x 7x x ):(x ) () (5x x x 6x ):(x ) () (x 9x 5x ):(x ) 6

7 Ficha 5 Si se divide un polinomio cualquiera D(x) entre el binomio (x a) (a es un número real cualquiera), se obtendrá un polinomio cociente C(x) y un resto R. Como ya sabemos, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. D(x) (x a) C(x) R Para calcular el resto R de la división, no es necesario hacer toda la división, basta con sustituir el valor de a en el polinomio es decir sustituir la x por la a.. Calcular el resto de los siguientes cocientes de polinomios, sin hacer la división: () x x 5x : x () x 5x 0x 8: x () x x x 5x 7: x () x x 5x 0: x (5) x x 5x 6: x (6) x 5x 5x x 6: x (7) 5x x 7x 5: x (8) x x x 05x: x 5 Cuando el resto de la división de un polinomio D(x) entre el binomio (x a), es cero R 0, el valor de la a por el que se ha sustituido la x del polinomio, se llama solución, cero o raíz del polinomio.. Comprobar, si los siguientes valores de x, son raíces o soluciones de los respectivos polinomios: () x y x del polinomio P(x) x 5x () x y x del polinomio P (x) x x x6 Los ceros o raíces enteras de un polinomio, se encuentran entre los divisores de su término independiente.. Estudiar cuáles pueden ser las raíces enteras de cada uno de los siguientes polinomios: () P(x) x 6x 5x () P (x) x 7x 7x 5 () P (x) x 0x 9 7

8 Ficha 6 Para descomponer un polinomio en producto de factores aplicando la regla de Ruffini, se dan los pasos siguientes:. Se ordena el polinomio en orden decreciente de su variable y se escriben en fila sus coeficientes, poniendo un cero cuando falte un término.. Se hallan los divisores del término independiente.. Se divide el polinomio entre (x a), siendo a el primero de los divisores del término independiente y se comprueba, que sea una raíz. En el caso de que no lo sea, se prueba con el segundo de los divisores y así sucesivamente, hasta que se encuentre el primero de ellos que sea una raíz, es decir que de cero de resto.. Se repite el proceso anterior, pero con el polinomio cociente obtenido de la división, probándose inicialmente con la primera de las raíces obtenidas, ya que puede ser una raíz doble, e incluso triple. 5. Se repite todo el proceso hasta que se llegue a un polinomio cociente de primer grado, o bien, que ya no exista ningún divisor que sea raíz del polinomio.. Estudiar cuáles pueden ser las raíces enteras de cada uno de los siguientes polinomios: () P(x) x x 5x 8 () P (x) x 5x 6 x () P (x) x x 0 5x () P (x) x x 6x. Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios, aplicando la regla de Ruffini: () x x 9x 9 () x x 8x () x 5x x 0 () x 0x 9 (5) x x x (6) x 6x x x (7) x 6x x 0 (8) x x x x 8

9 Ficha 7 Si la ecuación de segundo grado ax bx c 0 tiene como soluciones x y x, el trinomio de segundo grado ax bx c, se puede descomponer en producto de factores de la siguiente forma: ax bx c a(x x )(x x ). Descomponer los siguientes polinomios de segundo grado en producto de factores, resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada: () P(x) x x 0 () P (x) x x 7 () P (x) x 5x 6 () P (x) x x 5 (5) P (x) x x56 (6) P (x) 8x x 5 6. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas, descomponiendo previamente su numerador y su denominador en producto de factores: () x x x x 6 () x x x 0 () x 5x x x () x 6x 9 x 9x 8 Para descomponer un polinomio en producto de factores se puede hacer de las formas siguientes:. Sacando factor común.. Utilizando las igualdades notables para reconocer binomios cuadrados perfectos o diferencia de cuadrados.. Hallando las raíces de un polinomio de segundo grado.. Aplicando la regla de Ruffini..- Descomponer en producto de factores los polinomios siguientes: () x x 6x () x 9y 6xy () x x x () x 0x 5 (5) x 8x x 8x (6) 9x 6 (7) x 0x 9 (8) 5x 0x 5x (9) x x x 0 (0) x 9x 0x () 5x y 0xy () x x x x 9

10 Ficha 8 El m.c.m. de varios polinomios, se calcula de la misma manera que se hace con los números reales, es decir, decomponiendo los distintos polinomios en producto de factores y cogiendo tanto los comunes como los no comunes, cada uno de ellos con el mayor exponente. Ejemplo. Hallar el m.c.m de los siguientes polinomios: x x x(x ) x x (x )(x ) (x ) m.c.m. x (x )(x ) x (x )(x ). Calcular el m.c.m. de los siguientes grupos de polinomios: () x x x x x () x 9 x 6x x x () x x x 5x 0x () x x x x x x (5) x x x 9 6x x x (6) x 5 0x 5x 5x x 6x 5 (7) x x x x x x (8) x x x 9x 6x x x 5x 6 (9) x 6x x x x x (0) x x 6x 6x x x x 0

11 Ficha 9 La suma y la diferencia de fracciones algebraicas, se realizan de la misma manera que en el caso de fracciones numéricas:. Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o se restan directamente los numeradores y se pone el mismo denominador.. Si las fracciones tienen distinto denominador, será necesario calcular el m.c.m de los denominadores, para poder reducirlas a fracciones de igual denominador. Ejemplo: 5 (x )(x ) 5x(x ) x(x ) x x x x x x(x ) (x ) x(x ) (x ) (x )(x ) m.c.m. x (x ) (x ) (x ) 5(x x) (x x) x 5x 5x x x 6x 7x x(x ) (x ) x(x ) (x ) x(x ) (x ). Hacer las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas: ) 5 x x x x ) 5 x x x ) 8 x 9 x 9 6x ) x x x x x 5 5) x x x x x 6 6) x x x x x 7) x x x x 5 x 5 x 5 x 8) x x x x x x

12 Ficha 0 El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción, que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. P (x) P (x) P (x) P (x) Q (x) Q (x) Q (x) Q (x) Ejemplo: 5x 5x x x 5x(x ) (x ) 5x(x )(x ) 5(x ) x x x (x )(x ) x(x ) (x )(x )x(x ) (x ) El cociente de dos fracciones algebraicas, se calcula multiplicando la primera de ellas por la inversa de la segunda. P (x) P (x) : Q (x) Q (x) P (x) Q (x) Q (x) P (x) P (x) Q (x) Q (x) P (x). Hacer los siguientes productos y cocientes de fracciones algebraicas: ) x x x x x x x ) 8x 8x x x x x 9 x ) x 9 x x 6 : x x 6 x x ) x x 0x x 5 0x : x x 6x 5 5) x x x x x x 6) x x x x x x 5x 6 7) x x x x x 6 : x 5 x 8x 5 8) x x 5x 5x : x 6 0x 0

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