Ayudantía 6 - Soluciones 2da Ley de la Termodinámica y Condiciones de Equilibrio


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1 Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Termodinámica y Teoría Cinética: Fiz 02 Ayudantía 6 - Soluciones 2da Ley de la Termodinámica y Condiciones de Equilibrio Profesor: Miguel Kiwi Ayudante: Daniel Narrias Problema Dos sistemas particulares poseen las siguientes ecuaciones de estado T = 3 2 RN U = 5 2 RN 2 en donde R es la constante de los gases. El número de moles del primer sistema vale N = 2, mientras el del segundo vale N 2 = 3. Si dichos subsistemas se encuentran separados por una pared diatérmica y la energía total del sistema vale 2,5 0 3 J, se pide determinar la energía de cada subsistema en equilibrio. Tenemos que dn i, dv i, por lo que podemos considerar la entropía de cada sistema como función sólo de la energía interna, esto es S i = S i U i. Como S =, U T tenemos que ds du = 3 2 RN U ds 2 d = 5 2 RN 2 = S = 3 2 RN lnu S 2 = 5 2 RN 2ln Tenemos además que U + = 2,5 0 3 J = du + d Además, sabemos que ds en el equilibrio, por lo que

2 S = S + S 2 = ds = ds + ds 2 = 3 2 RN du + 5 U 2 RN 2 d U 2 3 = 2 RN 5 U 2 RN 2 du = 0 = 3 2 RN 5 U 2 RN 2 = 3N = 5N 2 U 6 = 5U Así, junto con la ecuación U + = 2,5 0 3 J, encontramos que en equilibrio U = 74,28J = 785,7 Problema 2 Tres cilindros de áreas de secciones rectas idénticas y con pistones, poseen en su interior gases de composiciones químicas cualesquiera. Se conectan los pistones utilizando una barra rígida que puede rotar alrededor del punto P indicado. Las distancias entre cada pistón y el punto P, a lo largo de la barra, están en la proporción :2:3. Los cilindros se encuentran sobre una supercie conductora de calor de masa despreciable, cuyo único rol es asegurar que los tres cilindros estén en contacto térmico entre sí. El sistema completo se encuentra aislado y no existen presiones externas sobre las paredes externas de los pistones. Se pide encontrar una relación para las presión y otra para las temperaturas. Viendo la gura, tenemos que senα = h 3 3d = h 2 2d = h d 2

3 por lo que dh 3 = 3dh, dh 2 = 2dh. Por tanto, Ahora, tenemos además que dv = Adh dv 2 = 2Adh dv 3 = 3Adh U + + U 3 = cte = du = d du 3 En el equilibrio, sabemos que ds, por lo que S = 3 i= = ds = i= S i 3 du i + P i dv i T i T i = du + P dv + d + P 2 dv 2 + du 3 + P 3 dv 3 T T T 3 = d + du 3 + A T T P T + 2 P 2 3 P 3 dh donde usamos además que dn i. Es necesario que los paréntesis se anulen pues las diferenciales son arbitrarias, por lo que obtenemos en el equilibrio T T P T +2 P 2 3 P 3 = T = = P +2P 2 = 3P 3 Problema 3 Tres cilindros están conectados por medio de cuatro pistones de la forma que se muestra en la gura. La relación entre las áreas de los pistones es A : A 2 : A 3 = : 2 : 3. Los cilindros se encuentra sobre una supercie conductora de calor de masa despreciable, cuyo único rol es permitir que los cilindros entren en contacto térmico. El sistema completa se encuentra aislado y no existen presiones externas sobre las pistones. Encuentre 3

4 la razón entre las presiones y las temperaturas de los tres cilindros en el equilibrio. De la relación A : A 2 : A 3 = : 2 : 3 tenemos que A = k, A 2 /2 = k = A 2 = 2A y A 3 /3 = k = A 3 = 3A. Dados que las barras de los pistones son rígidas, vemos que si por ejemplo el volumen de 2 aumenta, el volumen de 3 disminuye en la misma cantidad. Así, denamos el cambio dx como el desplazamiento longitudinal innitesimal en el sentido de aumento de V 2 y dy como el desplazamiento longitudinal innitesimal en el sentido de aumento de V. Así, tenemos que dv = A dy dv 3 = 3A dy + 3A dx dv 2 = 2A dx Además, por conservación de energía, U + + U 3 = cte = du = d du 3. En el equilibrio, tenemos que ds, por lo que ds = du + P dv + d + P 2 dv 2 + du 3 + P 3 dv 3 T T T 3 = d + P du 3 + A 3 P 3 T T T dy + A 2 P 2 3 P 3 donde usamos además que dn i. Es necesario que los paréntesis se anulen pues las diferenciales son arbitrarias, por lo que obtenemos en el equilibrio dx T T 2 P 2 3 P 3 P T 3 P 3 = T = = P = 3P 3 2P 2 = 3P 3 Por tanto, la razón entre las temperaturas es T : : = : : y la razón entre las presiones es P 3 : P 2 : P = : 3/2 : 3. Problema 4 Considere una pompa de jabón esférica hecha de una supercie de jabón de tensión supercial σ constante y llena de aire asuma que se comporta como un gas ideal. Sean P 0 la presión ambiental externa y T 0 la temperatura. a Encuentre una relación entre el radio de equilibrio r de la pompa de jabón y la masa de aire m dentro de ella. b Transforme la relación encontrada en a para el radio r en el límite en que la pompa es muy grande. Precise matemáticamente qué signica grande. 4

5 Hint: En la diferencial de la energía interna du, la contribución de la tensión supercial es +σds, donde ds es la diferencial de supercie. a Sean P, P 0 las presiones dentro y fuera de la pompa y µ, µ 0 sus potenciales químicos correspondientes potenciales químicos del aire. Tenemos que du = T 0 ds P 0 dv 0 P dv + µdn + µ 0 dn 0 + σds Por conservación, tenemos que dv +V 0 = dv 0 = dv, dn +N 0. En el equilibrio además du = ds y µ = µ 0. Notése que no imponemos P = P 0 pues la diferencia de presión interna-externa permite la existencia de la pompa de jabón. Por tanto, tenemos que Además, du = T 0 ds P 0 dv 0 P dv + µdn + µ 0 dn 0 + σds 0 = dv P 0 P + σds = P P 0 = σ ds dv V = 4π 3 r3 = dv = 4πr 2 dr S = 4πr 2 = ds = 8πrdr = ds dv = 2 r donde r es el radio de la pompa de jabón en el equilibrio. Por tanto, P P 0 = 2σ r También tenemos que, gracias a que el aire se comporta como un gas ideal, P V = m M RT = P = m M 5 RT V

6 donde m es la masa de aire dentro de la pompa y M es la masa por unidad de mol del aire. Por tanto, m RT M V P = P 0 + 2σ r = P 0 + 2σ r b Tenemos que m = 4π 3 M RT P 0 + 2σ r = m = V M P 0 + 2σ RT r mr = 4π M P 0 + 2σ 3 RT r r 3 = 4π 3 r 3 MP 0 RT r3 + 2σ 4π rp 0 3 MP 0 r 3 RT donde 2σ << = 2σ << r rp 0 P 0 6

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