OPERACIONES CON POLINOMIOS


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "OPERACIONES CON POLINOMIOS"

Transcripción

1 4. 1 UNIDAD 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Objetivos específicos: 1. Diferenciarás monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.. Identificarás y determinarás el grado de un monomio y el de un polinomio. 3. Reducirás términos semejantes en un polinomio. 4. Determinarás cuándo dos polinomios son iguales. 5. Recordarás el procedimiento general para sumar y restar polinomios. 6. Recordarás la multiplicación de monomios. 7. Recordarás la regla para la multiplicación de un polinomio por un monomio. 8. Recordarás el procedimiento general para la multiplicación de polinomios. 9. Recordarás la división entre monomios. 10. Recordarás la regla para la división de un polinomio entre un monomio. 11. Recordarás el procedimiento general para la división de polinomios. 1. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de ejercicios algebraicos. 13. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de problemas de casos reales.

2 4. Objetivo 1. Diferenciarás monomios, binomios, trinomios y polinomios en general. Un polinomio es una suma de términos en los cuales cada uno es el producto de un coeficiente y una o más variables. Todas las variables tienen exponentes enteros, no negativos, y ninguna variable aparece en el denominador. Es conveniente recordar que lo enteros no negativos son los números del conjunto entonces el término se reduce a una constante. 0,1,,3,.... En el caso de que el exponente de las variables sea cero, Por ejemplo, las siguientes expresiones son polinomios: 1.) 3a b a b 4ab 4 3.) xy 5x y 4x y ) 3xy 6 x y 4.) 4x y 3xy 5 5.) a b c 4a b c 5a b c ) 3 3 y z 3y z x porque, aunque la variable x aparece en el denominador, su exponente es negativo y de acuerdo a lo establecido en la Unidad, al simplificar, la expresión queda como 3 3 x y z 3x y z Mientras que las siguientes expresiones no son polinomios: 1.) 3 3 3a b a b 4ab, puesto que en el primer término la variable b tiene exponente negativo..) 5x -xy 4 y 5 x y, 7 porque en el segundo término la variable y está en el denominador.

3 ) a b 3 a b + 5ab a b, porque en el último término la variable a tiene un exponente fraccionario. Un polinomio en el que todos sus términos son de la forma n an x, donde n a es alguna constante (es decir, en los que aparece solamente una variable) se llama polinomio en x y se representa como P x, Q x, f x, etc. Los siguientes son ejemplos de polinomios en x: 1.) P x 5 x Q x 6x x 4.) 1 1 f x x x 7x ) 4 3 Por el contrario, los siguientes ejemplos no son polinomios: R x x 1.) 1/, puesto que el exponente es fraccionario. g x x 3x x, porque en el tercer término el exponente es negativo..) 1 Un polinomio con un solo término es un monomio. Un binomio es un polinomio con dos términos y un trinomio es un polinomio con tres términos. Lo polinomios con más de tres términos no tienen un nombre especial. Poli es un prefijo griego que significa muchos. De acuerdo con lo anterior, un polinomio es una suma de monomios.

4 4. 4 Monomios Binomios Trinomios 4 x 4 x x 1 6x x 6x 6x 3xy y xyz x y y 3 6 x y x y 1 Objetivo. polinomio. Identificarás y determinarás el grado de un monomio y el de un El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él. 1.) El monomio: 3 3x y z, es de grado 6, puesto que ) El monomio: 4 3 5a b c, es de grado 9, puesto que Un monomio que consiste solamente en una constante diferente de cero, es de grado cero. 1.) El monomio: 8, es de grado cero..) El monomio: 1 5, es de grado cero. El grado de un polinomio es igual al del término (es decir del monomio incluido en él) con coeficiente diferente de cero que posee el grado más alto. P x x 3x 4 es un polinomio de grado. 1.)

5 4. 5.) R x 3 es un polinomio de grado 0. S x 0x x 9x 1 es un polinomio de grado 4, puesto que el coeficiente de 3.) x es nulo. 4. M x 0 es un polinomio nulo. Su grado es indeterminado puesto que no tiene ningún término con coeficiente diferente de cero ) En el polinomio: 3a b c a b c a b c 3a b c sus monomios son, respectivamente, de grados: 8, 7, 1 y 9, por lo cual el polinomio es de grado 1. 6.) En el polinomio: xy z 3x y z 6x y z 4x yz sus monomios son, respectivamente, de grados: 6, 7, 5 y 6, por lo cual el polinomio es de grado 7. Objetivo 3. Reducirás términos semejantes en un polinomio. Se llaman términos semejantes en un polinomio a los monomios que tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias. En los polinomios de una sola variable, los términos semejantes son los del mismo grado. 1.) En el polinomio: a b a b ab b a ab, los términos: y 3 4 a b y 4 3 3b a son términos semejantes, y los términos: 5ab y 4ab también lo son. Q x 3x 4x x x x 3x 4x, los términos:.) En el polinomio: x son semejantes, y también lo son los términos: 3 x y 3 4x. 3x y

6 4. 6 Reducir términos semejantes en un polinomio significa agrupar en un sólo monomio a los que sean semejantes, efectuando la suma algebraica de sus coeficientes de acuerdo con las reglas de los signos para la suma. En los ejemplos anteriores, los términos semejantes se reducen de la siguiente manera: 1.) a b a b ab b a ab Se reducen: a b 3b a 5a b y también: 5ab 4ab ab. 3 4 El polinomio reducido queda: 5a b 3a b ab. Q x 3x 4x x x x 3x 4x..) Se reducen: 3x x x, y también: x 4x x. Q x x 4x x x 3x. El polinomio reducido queda: Objetivo 4. Determinarás cuándo dos polinomios son iguales. Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y si todos y cada uno de los términos de uno de ellos tienen un término semejante, con exactamente el mismo coeficiente, en el otro. En particular, en los polinomios de una sola variable, dos polinomios son iguales si los coeficientes de sus términos de igual grado, son iguales. 1.) El polinomio: xy xy xz yz xyz y el polinomio: z x 3xy xyz yz y x son iguales. M x 3x 6x x x 7x 3x 3x.) El polinomio: R x x 3x 3x 7x x y el polinomio: son iguales puesto que, al reducir términos semejantes, M x queda: M x 3x 3x x x 7 x.

7 ) El polinomio: x xy xy 3 xy 3 y el polinomio: x xy xy 3 xy 3 no son iguales, puesto que el coeficiente del término en xy es diferente (en el primero es 1 y en el segundo es + 1). 4.) El polinomio: y el polinomio: x y 3x y x y x y x x y 3x y x y x 4 no son iguales, puesto que el término en el segundo. x y del primero no tiene un término semejante Objetivo 5. Recordarás el procedimiento general para sumar y restar polinomios. Dos polinomios se suman reduciendo los términos que sean semejantes en ambos. Ejemplo: 1.) Para sumar el polinomio: xy x y x y xy x y xy con el polinomio: 3 xy 3x y 4xy x y 9xy, se procede así: 3 3 ( 1) ( 3 3) 4 ( 4) ( 5 ) (7 9) xy x y x y xy x y xy 3 3 3xy 4x y 6xy 7x y xy Para realizar la suma cuando los polinomios son de una sola variable, la operación se efectúa sumando o restando los coeficientes (según su signo) de los términos de igual grado. Ejemplo: ) Para sumar: P x 3x 5x 7 x con: Q x x x 11x 3, se procede así: 4 3 P x Q x (3x 5x 7 x) ( x x 11x 3)

8 x x ( 5 ) x (7 11) x x x 3x 4x 3. Para sumar varios polinomios, en la práctica, se acostumbra colocar unos debajo de los otros de manera que los términos semejantes queden en la misma columna. A continuación se reducen los términos semejantes separando unos de otros con sus signos correspondientes. 1.) Sumar: 3 4x x y 3xy, con: 3 6x y xy 4x, y con: 3 x 7x y 6xy. Para efectuar la suma se tiene: 3 4x x y 3 xy, 4x 6x y xy 3 x 7x y 6xy 3 x x y 5xy ) Sumar: P x 3x 3x 5x 7, con: R x 3x x x 4x 5. Q x x x x x x 3, y con: Para efectuar la suma se tiene: 4 3x 3x 5x x x x x x x x x 4x x x x x x Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus términos. Ejemplo: P x x 3x 4 1.) Para el polinomio: P x x 3x 4. su opuesto es el polinomio:

9 4. 9 Se llama resta o diferencia de dos polinomios, P Q, a la suma de P con el opuesto de Q. Al polinomio P se le llama minuendo y al polinomio Q se le llama sustraendo. Así, para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo: P x 3x 5x 7x, 1.) Para restar del polinomio: 4 Q x x x 11x 3, se procede así: el polinomio: P x Q x x x x x x x 3x 4 5x 7x x 3 x 11x x x 5 x 7 11 x x x 7x 18x 3. En forma parecida al caso de la suma, para restar dos polinomios puede resultar cómodo escribir el opuesto del sustraendo debajo del minuendo de manera que los términos semejantes queden en la misma columna y, a continuación, se reducen los términos semejantes. Ejemplo: ) Restar: 4x x y 5 x y, de 8x 5x y 3x y. Solución: Se escribe el sustraendo con los signos cambiados (para tener su opuesto) debajo del minuendo, ordenándolos ambos en orden descendente con respecto a la variable x, y se suma: 8x 5x y 3x y 4 3 4x x y 5x y 4 3 4x 3x y x y 4 3 Objetivo 6. Recordarás la multiplicación de monomios.

10 4. 10 Para multiplicar monomios se aplican las reglas de los signos y las reglas de los exponentes que se presentan en las Unidades 1 y (Reglas de los signos y Exponentes y radicales). El grado del monomio resultante es igual a la suma de los grados de los monomios que se multiplican. 1.) Para multiplicar 4xy 6xy 4 4xy por 6xy : x x y y x y 4x y. 4.) Para multiplicar a 4 b 7 por 3a 8 b 3 c a b a b c a a b b c a b c a b c ) Para multiplicar: 3x y z por 5x yz 3x y z 5x yz 3 ( 5) x x y y z z x y z 15x y z Objetivo 7. monomio. Recordarás la regla para la multiplicación de polinomios por un Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio. El resultado es un polinomio con el mismo número de términos que el original y cuyo grado es igual a la suma del grado del polinomio original y el grado del monomio por el que se multiplica. 1.) Para multiplicar el polinomio: xy x y x y x y xy, por el monomio: 3 3x y, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio:

11 xy x y 4x y 3x y xy3x y xy 3x y x y3x y 4x y 3x y 3x y3x y 3 xy3x y 6x y 3x y 1x y 9x y 6x y ) Para multiplicar el polinomio: 3z z 4z 4z z 3 por el monomio: multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio: z z 4z 4z z 3z 3z z z z 3 4z z 4z z zz 3z 6z 4z 8z 8z z 6z z, se En muchas ocasiones, para efectuar la multiplicación resulta conveniente escribir los dos factores con el polinomio arriba y el monomio abajo, y anotar en un tercer renglón el resultado de la multiplicación del segundo por todos los términos del primero. 1.) Multiplicar:3a 3 5a 4 3a 3 3a 5a 4 3a a a a.) Multiplicar: ( x 3 3x y 3 xy y 3 ) xy x 3x y 3xy y 3 3 xy x y 6x y 6x y xy Objetivo 8. polinomios por polinomios. Recordarás el procedimiento general para la multiplicación de

12 4. 1 Para multiplicar dos polinomios, es decir para obtener su producto, se multiplican, término a término, cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los términos semejantes. 3 1.) Multiplicar: P x 5x 11, por Q x x x 4 3 P( x) Q( x) 5x 11 x x 4 5x x 3 x 4 11 x 3 x x x 5xx 5x4 11 x 11 x x 10x 0x 11x x 44 5x x 3 0x x x 1x x 0x 44 3.) Multiplicar: 3a b ab ab 4ab, por ab 3a b 3 3a b ab ab 4ab ab 3a b 3a bab 3a b abab 3a b ab ab 3a b 3 4ab ab 3a b 3a bab 3a b 3a b abab ab3a b ab ab ab 3a b 3 3 4ab ab 4ab 3a b 3a b 9a b a b a b a b 3a b 4a b 1a b

13 a 3 b 3 9a 4 b a b 3 6a b a b 4a b 1a b a b 9a b a b a b a b 4a b 1a b Como en el caso anterior, es conveniente para efectuar la multiplicación de dos polinomios, escribir los dos factores uno abajo del otro, y anotar en renglones sucesivos el resultado de la multiplicación de cada monomio del segundo por todos los términos del primero, para luego efectuar la reducción de términos semejantes como en una suma. Ejemplo: 1.) Multiplicar: (a 3 3a b 4ab b 3 ) 3a 4ab 5b Se multiplica el primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo, tomados de izquierda a derecha, y cada producto se escribe en un renglón: a 3a b 4ab b 3 3 3a 4ab 5b 6a 9a b 1a b 6a b a b 1a b 16a b 8ab a b 15a b 0ab 10b a a b 10a b 5a b 8ab 10b El mismo resultado se obtiene si se multiplica el primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo, tomados de derecha a izquierda: a 3a b 4ab b 3a 4ab 5b 10a b 15a b 0ab 10b 8a b 1a b 16a b 8ab 6a 9a b 1a b 6a b 6a a b 10a b 5a b 8ab 10b

14 4. 14 Objetivo 9. Recordarás la división entre monomios. Al igual que sucede con los números, en el caso de los monomios y de los polinomios, una fracción significa una división. A la expresión en que se presenta una división entre monomios o polinomios se le llama fracción algebraica. Al término correspondiente al numerador se le conoce como dividendo, y al del denominador como divisor. El resultado de la división es el cociente. En la fracción P M, el dividendo es P, y el divisor es M. Al obtener P M = Q, el cociente es Q. Para dividir monomios se aplican las reglas de los signos y las reglas de los exponentes que se han expuesto en las Unidades 1 y. El grado del monomio resultante es igual a la diferencia del grado del monomio dividendo menos el grado del monomio divisor. 1.).) 3.) a b 4 a b 4 a b a b b a b a x yz x z x y z 6 x y z x y z 3yz. y 4 4 x x x 3 3 4x x. 4 x Cuando el grado del divisor es mayor que el grado del dividendo, el resultado de la división no es un monomio, puesto que la diferencia de grados resulta ser un número negativo y, como se ha señalado, en los polinomios (y los monomios son polinomios con un solo término) los exponentes deben ser números enteros no negativos. 1.).) 3a b a, el resultado no es un monomio. a b a 4 6x 3x x 7 3 x 3, el resultado no es un monomio.

15 4. 15 Objetivo 10. monomio. Recordarás la regla para la división de un polinomio entre un En general, cuando se trata de dividir un polinomio entre un monomio, se puede establecer la siguiente regla: Dados un polinomio P y un monomio M, siempre es posible encontrar otros dos polinomios Q y R tales que: P MQ R En términos de fracciones algebraicas, la expresión anterior dice que: P R = Q + M M. En ambas expresiones, P es el dividendo, M es el divisor, Q es el cociente y R es el residuo. El grado de Q es igual a la diferencia del grado de P menos el grado de M, y el grado de R es menor que el de Q, o bien R 0, en cuyo caso la división es exacta. Si la división es exacta, el resultado (el cociente) es un polinomio con el mismo número de términos que el original y cuyo grado es igual a la diferencia del grado del polinomio dividendo menos el grado del monomio divisor. En la práctica, para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio. 1.) Dividir: 4x y x y 4x y 6x y xy Para efectuar la división, se divide cada término del numerador entre el denominador:.

16 x y x y 4x y 6x y 4x y x y 4x y 6x y xy xy xy xy xy x y x x 3xy.) Dividir: 8y y 8y 4y y y y 8y 4y 8y y 8y 4y y y y y y y y 4y Si al dividir cada uno de los términos del dividendo entre el monomio divisor se encuentra que en algún caso el resultado tendría un exponente negativo, entonces la división no es exacta y el resultado se expresa dando el cociente obtenido con todos los términos en que resulten exponentes no negativos, y los términos restantes del dividendo constituyen el residuo de la división. 1.) Dividir: x x 8x 4x 3x 1. x x x 8x 4x 3x 1 8x x 8x 4x 3x 1 x x x x x x x 3 4x x 4x con un residuo igual a 3x 1, puesto que en los dos últimos términos de la división el exponente hubiera resultado negativo..) Dividir: 4a b a b 4a b ab 6a b ab a b a b 4a b ab 6a b ab a b a b 4a b ab 6a b ab ab ab ab ab

17 4. 17 a b a a 3ab con un residuo igual a ab, puesto que en el penúltimo término de la división el exponente de b hubiera resultado negativo. Otra manera de expresar el resultado cuando la división no es exacta, es en la forma que se llama de cocientes mixtos. En este caso, el resultado se da con el cociente obtenido con todos los términos en que resulten exponentes no negativos, más una fracción en que se expresa al residuo entre el divisor. Para los mismos ejemplos anteriores se tiene: 1.) x x 8x 4x 3x 1 3 3x 1 4x x 4x. x x.) a b a b 4 a b ab 6 a b a b a a 3ab ab ab ab a b a a 3ab ab ab P R La forma de cocientes mixtos corresponde a la expresión = Q + M M.. Objetivo 11. polinomios entre polinomios. Recordarás el procedimiento general para la división de La regla para dividir dos polinomios es similar a la de la división de un polinomio entre un monomio: Dados dos polinomios P y F, siempre es posible encontrar otros dos polinomios, Q y R, tales que: P FQ R Como antes, en términos de fracciones algebraicas, la expresión anterior dice que: P R = Q + M M.

18 4. 18 P es el dividendo, F es el divisor, Q es el cociente y R es el residuo. El grado de Q es igual a la diferencia del grado de P menos el grado de F, y el grado de R es menor que el de Q, o bien R 0 en cuyo caso la división es exacta. El procedimiento práctico para dividir dos polinomios es el siguiente, que se ilustrará directamente con un ejemplo, en el que se utiliza la siguiente notación: cociente divisor dividendo...(operaciones)... residuo Ejemplo: Dividir el polinomio 4ab 8a b 6a b 3 entre el polinomio b ab. Antes que otra cosa, se ordenan los términos tanto del polinomio dividendo como del polinomio divisor por las potencias descendientes de una misma variable. En el Ejemplo: Se ordenan los dos polinomios de acuerdo con las potencias de a (también podrían ordenarse según las potencias de b) y se tiene: Dividendo: Divisor: ab b a b a b ab A continuación se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. El resultado es el primer término del cociente. En el Ejemplo: Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

19 4. 19 Como 3 8a b 4 ab a b, se tiene: 4 a b ab b a b a b ab Ahora, este primer término del cociente se multiplica por todo el polinomio divisor y el producto se resta del dividendo. Para hacer esta operación de manera sencilla, se acostumbra cambiar el signo del producto y escribir cada uno de sus términos debajo de su semejante del dividendo. Si algún término del producto no tiene semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con el orden que se ha establecido. En el Ejemplo: Se efectúa el producto y se resta: 4 a b ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab Una vez hecha la resta, se divide el primer término de su resultado (que se llamará segundo dividendo) entre el primer término del divisor. El resultado es el segundo término del cociente. En el Ejemplo: Ahora se divide el primer término del resultado de la resta entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente. Como 10a b ab 5ab, que será el segundo término del cociente:

20 4. 0 4a b 5 ab ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab Luego, este segundo término del cociente se multiplica por todo el polinomio divisor y el producto se resta del segundo dividendo. Al resultado de la resta le llamará tercer dividendo. En el Ejemplo: Se hace el producto de este nuevo término del cociente por el divisor y se vuelve a restar: 4a b 5 ab ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab 10a b 5ab 4ab 5ab Se repite el procedimiento, dividiendo el primer término de este tercer dividendo entre el primer término del divisor para obtener el tercer término del cociente y multiplicando éste por todo el divisor, para restar el producto del tercer dividendo y obtener el cuarto, y así sucesivamente. En el Ejemplo: Se repite el procedimiento dividiendo de nuevo al primer término del resultado de la resta entre el primer término del divisor. Como 4 ab ab, se obtiene el tercer término del cociente:

21 4. 1 4a b 5ab ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab 10a b 5ab 4ab 5ab y se vuelve a restar el producto de este último término por el divisor: 4a b 5ab ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab 10a b 5ab 4ab 5ab 4ab b 5ab b Se repite otra vez el procedimiento para obtener el siguiente término del cociente. 5ab 5 b ab, y queda: 5 a b ab b ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab 10a b 5ab 4ab 5ab 4ab b 5ab b

22 4. y se vuelve a restar el producto de este último término obtenido por el divisor: 5 a b ab b ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab 10a b 5ab 4ab 5ab 4ab b 5ab 5ab b 5 b 5 b b El procedimiento termina cuando sucede una de dos cosas: a) El resultado de la resta es cero, lo que indica que la división es exacta; o bien b) En el primer término del resultado de la resta el exponente de alguna variable es menor que el exponente de la misma variable en el primer término del divisor. Como esto haría que al obtener el siguiente término del cociente éste ya no fuera un polinomio (pues aparecería un exponente negativo), ya no es posible continuar. En este caso el resultado de la última resta es el residuo de la división. En el Ejemplo: Obsérvese el último paso del proceso que se ha venido desarrollando, el cual se repite aquí:

23 a b ab b ab b a b a b ab 8a b 4a b 3 10a b 4 ab 10a b 5ab 4ab 5ab 4ab b 5ab 5ab b 5 b 5 b b Como en el primer término del último resultado de la resta se encuentra que no aparece la variable a (es decir que a aparece elevada a la potencia cero) y en el primer término del divisor a está elevada a la primera potencia, al intentar obtener el siguiente término del cociente se tendría: b 1 a ab a 1 Por eso, el proceso termina aquí y la división no es exacta. El cociente es: 4a b 5ab b, 5 El residuo es: 5 b b. En términos de un cociente mixto, la operación se expresa así: 5 b b 4a b 5ab b. ab b ab b 3 8a b 6a b 4ab 5

24 ) Dividir el polinomio 4 P( x) x 9x 3 x entre el polinomio F x x 3. Se efectuará el procedimiento por pasos, empezando por ordenar los polinomios de acuerdo con las potencias de su única variable, que es la x: P x x x x 4 ( ) 9 3, F x x 3 Se obtiene el primer término del cociente: x 3 x x x x Se efectúa el producto y se resta: x 3 x x x x x 3x x 9x x 3 Se obtiene el segundo término del cociente: x 3x 3 x x x x x 3x x 9x x 3 Se efectúa el nuevo producto y se vuelve a restar: x 3x 1 3 x x x x x 3x x 9x x 3 3x 9x 3 x 3

25 4. 5 Se obtiene el tercer término del cociente: x 3x 1 3 x x x x x 3x x 9x x 3 3x 9x 3 x 3 Se efectúa el nuevo producto y se vuelve a restar: x 3x 1 3 x x x x x 3x x 9x x 3 3x 9x 3 x 3 x 3 0 La división es exacta y el cociente es: 3 Q( x) x 3x 1..) Dividir el polinomio P( x) x 5 1x 3 x 4 entre el polinomio F( x) 1 3 x x Se efectuará el procedimiento completo. x 6x 13 4 x x x x x x 6x x x 5x 1x x x x 13x 18x 5 13x 39x 13 1x 8

26 4. 6 La división no es exacta. El cociente es Q( x) x 6x 13 y el residuo es R( x) 1x 8 Como cociente mixto la operación se expresa así: 4 x 3 x 1 x x 6x 13 x x 3x 1 x 3x 1. Objetivo 1. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de ejercicios algebraicos. Para aplicar las operaciones con polinomios en la solución de problemas, se sigue el orden acostumbrado para evaluar expresiones matemáticas, como se indicó en la Unidad 1. Primero se evalúan las expresiones dentro de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), después se evalúan los términos que correspondan a potencias o raíces, luego las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y restas, recordando que en una fracción, la barra que separa al numerador del denominador funciona también como signo de agrupación. 1.) Para evaluar: 3a b 3 6a b 9ab 3 a b ab 3 6a 5 b 4 6a 5 b 3 6a 4 b 4 a 3 b 5. 3ab a b Primero se evalúa el producto en el primer término: 3a b 6a b 9ab 3 3 a b ab 6a b 1a b 18a b 3a b 6a b 9a b 3a b 6a b 6a b 3a b 18a b luego se efectúan las dos divisiones:

27 4. 7 y: 3a b 6a b 6a b 3a b 18a b 3ab a b 6a b 6a b a b a b a b a b a b a b 6ab a b 3a b 3a b ab finalmente se hace la suma: a b a b a b a b 6ab a b 3a b 3a b ab a b 5a b a b a b 5ab De modo que: a b 6a b 9ab a b ab 6a b 6a b 6a b a b 3ab a b a b 5a b a b a b 5 ab..) Para evaluar: x 5x 11x 15x x 3x 3 x 3x 1 x x Primero se obtienen el producto y el cociente indicados en cada término: x 3x x x 1 3 x x 6x 3 x 3x x x x x x x 3 5 x x.

28 x x 5x x 3x x 5x 11x 15x x 3x 5 4 x 11x 15x 4 3 x 6x 4 3 5x 15x 3 5x 15x 3 0 y luego se hace la resta, sumando al resultado del producto del primer término el opuesto del cociente del segundo término: x x x x x x x 5x x x x x x 3 10 Así: x 5x 11x 15x x 3x 3 x 3x 1 x x x x x x x ) a b a b a b ab a a b 4ab b a b ab a b Primero se efectúan las dos divisiones:

29 4. 9 a ab b a b ab a b a b a b ab a b a b 4 3 a b a b ab a b a b 3 3 a b a b ab 3 4 ab a b a b a a b 4ab b 3 3 a 4 a b ab b a b b 0 y luego el producto de los dos cocientes: a ab b 3 3 a b a b ab b a 4a b ab a 3a b b 3 3 De modo que: a b a b a b ab a a b 4ab b a 3a b b a b ab a b x 4x x 6x 3 4.) x x 1 x x 4 x 3 Primero se efectúan las operaciones agrupadas en el corchete, empezando por la división:

30 x x x 4 3 x 3 x 4x x 6x x 3x 4 3 x 3 x x 6x 3x 3 x 6 x 6 x x 0 luego la resta: x 3 x x x x x 3 x x x x x x 4 1 y, después, este resultado se multiplica por el otro factor: 3 x x 4 3 4x 16x 4 4 x 4x x x 8x x x 9x 6x 4x 17x 4 x 3 4x 1 Entonces: 4 3 x 4x x 6x x 3 3 x x 1 x x x 9x 6x 4x 17x 4

1 MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS

1 MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS 1 MÓDULO INSTRUCCIONAL DE MATEMÁTICAS II TRIMESTRE - UNIDAD DE APRENDIZAJE # (EXPRESIONES ALGEBRAICAS) PROFESOR: AQUILINO MIRANDA (COLEGIO DANIEL O CRESPO) LOGROS DE APRENDIZAJE Conoce el concepto de expresión

Más detalles

TERMINOS HOMOGENEOS: Son los que tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

TERMINOS HOMOGENEOS: Son los que tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto. TERMINOS HOMOGENEOS: Son los que tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto. 4xy y 6xy. Hallando la suma de los exponentes: 4 + 1 = 5 2 + 3 = 5 TERMINOS HETEROGENEOS:

Más detalles

FICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma.

FICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma. FICHAS REPASO º ESO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto

Más detalles

Titulo: MULTIPLICACION Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS Año escolar: 3ER: año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo

Más detalles

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tales como, 2X 2 3X + 4 ax + b Se obtienen a partir de variables como X, Y y Z, constantes como -2, 3, a, b, c, d y cobinadas utilizando la suma, resta, multiplicación, división

Más detalles

Fundamentos de la Matemática UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA GUÍA DE ESTUDIO CON FINES INSTRUCCIONALES

Fundamentos de la Matemática UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA GUÍA DE ESTUDIO CON FINES INSTRUCCIONALES UNIDAD I: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. El ÁLGEBRA es la rama de las Matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más generalizado posible, siendo los árabes los primeros en desarrollarla. En Álgebra

Más detalles

El simbolismo del lenguaje algebraico ha ido modificándose al paso del tiempo. Sus orígenes se remontan a Babilonia, Egipto, Grecia y Arabia.

El simbolismo del lenguaje algebraico ha ido modificándose al paso del tiempo. Sus orígenes se remontan a Babilonia, Egipto, Grecia y Arabia. SUMA Y RESTA ALGEBRAICA El álgebra es una rama de la Matemáticas, que se caracteriza por el empleo de letras para representar números, con ellas y con los símbolos que se han utilizado para indicar operaciones

Más detalles

MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES ALGEBRA

MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES ALGEBRA MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES ALGEBRA ALGEBRA: es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas.

Más detalles

Descomposición factorial. Suma o diferencia de cubos perfectos. P r o c e d i m i e n t o

Descomposición factorial. Suma o diferencia de cubos perfectos. P r o c e d i m i e n t o 103 Descomposición factorial Suma o diferencia de cubos perfectos P r o c e d i m i e n t o 1. Se abren dos paréntesis 2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las

Más detalles

Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO. Nombre: Curso: Fecha: F Cómo es el polinomio, completo o incompleto?

Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO. Nombre: Curso: Fecha: F Cómo es el polinomio, completo o incompleto? REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 3 RECONOCER EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los

Más detalles

ALGEBRA. a b. abc. Álgebra. Rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar Cálculos y resolver problemas.

ALGEBRA. a b. abc. Álgebra. Rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar Cálculos y resolver problemas. ALGEBRA Álgebra. Rama de las matemáticas que generaliza los métodos procedimientos para efectuar Cálculos resolver problemas. Área del círculo.= r Volumen del cilindro = r h LENGUAJE ALGEBRAICO El lenguaje

Más detalles

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 015 Lic. Manuel

Más detalles

M.E.M. RAMSES ANTONIO BARBERI ROSAS

M.E.M. RAMSES ANTONIO BARBERI ROSAS MATEMÁTICAS I Chic@s les mando el cuadernillo el cual esta explicado de una manera muy sencilla y práctica, la solución de ejercicios y problemas los vamos a revisar continuamente en fechas que por whatsapp

Más detalles

MATEMÁTICAS I MOMENTO 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES)

MATEMÁTICAS I MOMENTO 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES) 1 MATEMÁTICAS I MOMENTO 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES) Introducción: El alumno comprenderá qué estudia el álgebra, así como algunas definiciones importantes como son: expresión

Más detalles

DESARROLLO D) 4. para a = 1 y b = 2 (a 2 + b 2 )(2a 3b 2 ) es:

DESARROLLO D) 4. para a = 1 y b = 2 (a 2 + b 2 )(2a 3b 2 ) es: ENCUENTRO # 10 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. Multiplicación de polinomios. 2. Productos notables. DESARROLLO Ejercicio Reto x 2 1. Al racionalizar el denominador de la fracción 3 + se

Más detalles

CURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA

CURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 201 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA 1 Operaciones entre Quebrados (Fracciones) Sumar quebrados o fracciones: se calcula el común denominador,

Más detalles

Operaciones de enteros. Prof. Yaritza González Adaptado por: Yuitza T. Humarán Departamento de Matemáticas UPRA

Operaciones de enteros. Prof. Yaritza González Adaptado por: Yuitza T. Humarán Departamento de Matemáticas UPRA Operaciones de enteros Prof. Yaritza González Adaptado por: Yuitza T. Humarán Departamento de Matemáticas UPRA Suma de enteros: Reglas Suma de dos enteros negativos o dos enteros positivos El total es

Más detalles

Título: mar 6-1:39 PM (Página 1 de 20)

Título: mar 6-1:39 PM (Página 1 de 20) TEMA 5. ÁLGEBRA El lenguaje algebraico es un lenguaje matemático que combina números y letras unidos mediante operaciones aritméticas (+, -,, :) para expresar la realidad de forma concisa, inequívoca y

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Monomio: Monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 2x

Más detalles

TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco. Manuel González de León. CURSO 2011-2012 Página 1 de 14 Profesor: Manuel González de León Curso

Más detalles

1. Expresiones polinómicas con una indeterminada

1. Expresiones polinómicas con una indeterminada C/ Francisco García Pavón, 16 Tomelloso 1700 (C. Real) Teléfono Fa: 96 51 9 9 Polinomios 1. Epresiones polinómicas con una indeterminada 1.1. Los monomios Un monomio es una epresión algebraica con una

Más detalles

RESUMEN ALGEBRA BÁSICA

RESUMEN ALGEBRA BÁSICA RESUMEN ALGEBRA BÁSICA TERMINO ALGEBRAICO: Es una expresión matemática que consta de un producto (o cociente) de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables). TÉRMINO ALGEBRAICO

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas

Más detalles

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION

INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA Y LUIS LOPEZ TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8 A/B Abril

Más detalles

Partes de un monomio

Partes de un monomio Monomios Un monomio es una epresión algebraica en la que la únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de eponente natural. Son monomios: NO son monomios: 1 yz 1 abc

Más detalles

Tema 2 Algebra. Expresiones algebraicas Índice

Tema 2 Algebra. Expresiones algebraicas Índice Tema 2 Algebra. Expresiones algebraicas Índice 1. Expresiones algebraicas comunes... 2 2. Valor numérico de una expresión algebraica... 2 3. Tipos de expresiones algebraicas... 2 4. Monomios... 2 4.1.

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE I

UNIDAD DE APRENDIZAJE I UNIDAD DE APRENDIZAJE I Saberes procedimentales Interpreta y utiliza correctamente el lenguaje simbólico para el manejo de expresiones algebraicas. 2. Identifica operaciones básicas con expresiones algebraicas.

Más detalles

TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0

TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0 Ficha 0 Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, llamadas parte literal. El grado es la suma

Más detalles

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 3 Las letras y los números: un cóctel perfecto

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 3 Las letras y los números: un cóctel perfecto Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 3 Las letras y los números: un cóctel perfecto En esta unidad vas a comenzar el estudio del álgebra, el lenguaje de las matemáticas. Vas a aprender

Más detalles

RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO

RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO OBJETIVO RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEICIENTES DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles

RESUMEN DE ALGEBRA. CONCEPTO: El pensador principal del algebra es Al-Hwarizmi; es de origen árabe.

RESUMEN DE ALGEBRA. CONCEPTO: El pensador principal del algebra es Al-Hwarizmi; es de origen árabe. RESUMEN DE ALGEBRA CONCEPTO: El pensador principal del algebra es Al-Hwarizmi; es de origen árabe. El álgebra es la rama del conocimiento de la matemática; es decir se desprende de ella. Estudia realidades

Más detalles

Operaciones con monomios y polinomios

Operaciones con monomios y polinomios ESC.SEC.PART. No.308. FEDERICK HERBART.S.C 15PES0797S Profesor(A): Lic. Pedro Vicario Méndez CICLO ESCOLAR 2017-2018 Matemáticas II Bienvenidos queridos alumnos, al fascinante y divertido mundo de las

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA #1 CONTENIDO

UNIDAD DIDÁCTICA #1 CONTENIDO UNIDAD DIDÁCTICA #1 CONTENIDO OPERACIONES CON DECIMALES MULTIPLICACION DE DECIMALES DIVISIÓN DE DECIMALES OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES POTENCIACIÓN DE DECIMALES HOJA DE EVALUACIÓN BIBLIOGRAFÍA

Más detalles

A continuación te proporciono un resumen con los temas que veremos en clases cuando regresemos.

A continuación te proporciono un resumen con los temas que veremos en clases cuando regresemos. A continuación te proporciono un resumen con los temas que veremos en clases cuando regresemos. Su explicación la haremos en su momento INDICACIONES: Este resumen lo debes tener en tu cuaderno no quiero

Más detalles

Capítulo 5. Los números reales y sus representaciones Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-2-1

Capítulo 5. Los números reales y sus representaciones Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-2-1 Capítulo 5 Los números reales y sus representaciones 2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-2-1 Capítulo 5: Los números reales y sus representaciones 5.1 Números reales, orden y valor absoluto 5.2

Más detalles

TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO

TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x

Más detalles

UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263)

UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263) UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263) LENGUAJE ALGEBRAICO Una expresión algebraica es aquella que combina: números, operaciones y letras. Ejemplos de expresiones algebraicas: 3 + x x 2 y x + y x 2 y LENGUAJE

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS Unidad didáctica 5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones

Más detalles

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte)

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) NÚMEROS RACIONALES REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR Para reducir varias fracciones al mismo denominador se siguen los siguientes pasos:

Más detalles

Tema: Expresiones Algebraicas. Subtema: Polinomios

Tema: Expresiones Algebraicas. Subtema: Polinomios Tema: Expresiones Algebraicas Subtema: Polinomios Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que cumple con las siguientes condiciones: Ningún término de la expresión tiene un denominador

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Se dice expresión algebraica aquella que está formada por números y letras unidos mediante signos. 4x 2 + 1 2 3y Observa que existen dos variables x e y. En la siguiente expresión

Más detalles

MONOMIOS Y POLINOMIOS

MONOMIOS Y POLINOMIOS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Más detalles

TEMA 02 ÁLGEBRA Y FRACCIONES ALGEBRAICAS -

TEMA 02 ÁLGEBRA Y FRACCIONES ALGEBRAICAS - TEMA 0 ÁLGEBRA Y FRACCIONES ALGEBRAICAS - 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente

Más detalles

TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS C u r s o : Matemática Material N 15 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 1 EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir

Más detalles

MATE IV Serie Álgebra 2015/01/26 NOMENCLATURA ALGEBRAICA

MATE IV Serie Álgebra 2015/01/26 NOMENCLATURA ALGEBRAICA NOMENCLATURA ALGEBRAICA Definición (Término). Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Por ejemplo a, 3b, xy, son términos.

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS UNIDAD 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS PROBLEMAS PROPUESTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y

Más detalles

Álgebra Básica CONALEP 150 TEHUACÁN MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES.

Álgebra Básica CONALEP 150 TEHUACÁN MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES. Álgebra Básica CONALEP 150 TEHUACÁN MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES www.zonaemec.tk Expresión algebraica y sus partes Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos

Más detalles

Es una división de polinomios por el método de coeficientes separados.

Es una división de polinomios por el método de coeficientes separados. Baldor Ejercicio 58 - #13 Dividir por coeficientes separados: entre Es una división de polinomios por el método de coeficientes separados. Procedimiento general para la división de polinomios por el método

Más detalles

(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados

Más detalles

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. ax n + bx n = (a + b)x

Más detalles

CEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas

CEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas TEMA 4. Expresiones algebraicas: 1. Una expresión algebraica es una expresión formada por operadores algebraicos que combinan operandos que pueden ser letras o números. Las letras se llaman variables y

Más detalles

APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -

APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 - APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 - ÁLGEBRA ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. El concepto de la cantidad en Álgebra

Más detalles

Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal

Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal Expresiones algebraicas 1 MONOMIOS Conceptos Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio TRABAJO PRÁCTICO Nº 5. MONOMIOS Y POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por: - una parte numérica, llamada coeficiente, y - una parte literal, formada por

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 =

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Semana 1: Números Reales y sus Operaciones

Semana 1: Números Reales y sus Operaciones Semana 1: Números Reales y sus Operaciones Taller de Preparación para Prueba PLANEA Ing. Jonathan Quiroga Tinoco Conalep Tehuacán P.T.B. en ADMO, SOMA y EMEC UNIDAD 04 Los números enteros y sus operaciones

Más detalles

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 2º E.S.O. (1ª parte)

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 2º E.S.O. (1ª parte) TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE º E.S.O. (ª parte) NÚMEROS ENTEROS.-) Realiza las operaciones siguientes () (0) (-) ( ) (-) ( -) (-) ( -) (-) () - - - -0 - - - ( -) ( ) ( -) ( ) ( ) ( - ) ( - ) (

Más detalles

DESARROLLO. a r a s = ar s

DESARROLLO. a r a s = ar s ENCUENTRO # 11 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. División de polinomios. DESARROLLO Ejercicio Reto 1. El resultado de n 4 n 1 es: A) 1 B) 1 n 1 B)4 n 1 D) 4 E) 1 4 4 4 4 4 n 1 4 2. Si para

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas º ESO 1. Expresiones algebraicas En matemáticas es muy común utilizar letras para expresar un resultado general. Por ejemplo, el área de un b h triángulo es base por altura dividido por dos y se expresa

Más detalles

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones

Más detalles

Cantidades imaginarias - numeros complejos

Cantidades imaginarias - numeros complejos Cantidades imaginarias - numeros complejos Las operaciones directas (Suma, multiplicación y potenciación) no crearon problema de cálculo, por ser siempre realizables. En cambio las operaciones inversas

Más detalles

CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García

CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica

Más detalles

Números Naturales. Cero elemento neutro: = 12 Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número = 9

Números Naturales. Cero elemento neutro: = 12 Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número = 9 Números Naturales Cuando comenzamos a contar los objetos, los años, etc, nos hemos encontrado con los números de forma natural; por eso a este conjunto de números así aprendidos se les denomina números

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados

Más detalles

POLINOMIOS. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

POLINOMIOS. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. RESUMEN Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas

Más detalles

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Sec. 5.1: Polinomios

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Sec. 5.1: Polinomios Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Sec. 5.1: Polinomios Prof. Caroline Rodríguez Martínez Polinomios Un polinomio es un solo término o la suma de dos o más términos se compone

Más detalles

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO I

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO I Fracción Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma: b a denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. numerador, indica

Más detalles

UNIDAD 5: ÁLGEBRA. Nacho Jiménez ANT ÍNDICE SIG

UNIDAD 5: ÁLGEBRA. Nacho Jiménez ANT ÍNDICE SIG UNIDAD 5: ÁLGEBRA Nacho Jiménez 0. Conceptos previos ÍNDICE 1. Para qué sirve el álgebra? 2. Expresiones algebraicas 2.1 Monomios 2.2 Suma y resta de monomios 2.3 Multiplicación de monomios 2.4 División

Más detalles

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Se denomina expresión algebraica a toda combinación de números reales y letras ligadas por las operaciones aritméticas de, adición,

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Epresiones algebraicas Matemáticas I 1 Epresiones algebraicas Epresiones algebraicas. Monomios y polinomios. Monomios y polinomios. Una epresión algebraica es una combinación de letras, números y signos

Más detalles

OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Suma de monomios

OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Suma de monomios OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de

Más detalles

Operaciones algebraicas

Operaciones algebraicas Operaciones algebraicas Por: Oliverio Ramírez Juárez Muchas veces para solucionar problemas cotidianos, éstos se tienen que transformar de lenguaje común a lenguaje algebraico, para así obtener una respuesta

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE II

UNIDAD DE APRENDIZAJE II UNIDAD DE APRENDIZAJE II NÚMEROS RACIONALES Jerarquía de Operaciones En matemáticas una operación es una acción realizada sobre un número (en el caso de la raíz y potencia) o donde se involucran dos números

Más detalles

TEMA 1: NÚMEROS REALES

TEMA 1: NÚMEROS REALES TEMA 1: NÚMEROS REALES 1. INTRODUCCIÓN El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por Con los números reales podemos realizar todas las

Más detalles

POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS: 1.- Suma y resta de polinomios: Sumando o restando los monomios que sean semejantes.

POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS: 1.- Suma y resta de polinomios: Sumando o restando los monomios que sean semejantes. Recordemos previamente algunos conceptos: POLINOMIOS MONOMIO: expresión algebraica de la forma a x n, siendo a un número real y n un número natural. ( a se llama coeficiente, x n es la parte literal y

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Más detalles

1. Simplifica la escritura de los siguientes monomios y señala sus dos partes y el grado. d) 8xy 3... = 3 b) 5 x y... = h) 3 c) 7 x y y...

1. Simplifica la escritura de los siguientes monomios y señala sus dos partes y el grado. d) 8xy 3... = 3 b) 5 x y... = h) 3 c) 7 x y y... Tema 5 ALGEBRA º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Página nº 1 Los monomios 1. Simplifica la escritura de los siguientes monomios y señala sus dos partes y el grado.... = 8y... =...= y 5 y... =... =...= 7

Más detalles

REGLAS DE LOS SIGNOS

REGLAS DE LOS SIGNOS 1. 1 UNIDAD 1 REGLAS DE LOS SIGNOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las reglas de los signos. Objetivos específicos: 1. Recordarás las reglas

Más detalles

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas TEMA 6. POLINOMIOS

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas TEMA 6. POLINOMIOS TEMA 6. POLINOMIOS Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números unidos por los signos matemáticos. Las expresiones algebraicas surgen de traducir al lenguaje matemático enunciados en los

Más detalles

1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES

1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Álgebra 1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b y 5a 2 b son

Más detalles

TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS. Objetivos / Criterios de evaluación O.1.1 Realizar correctamente operaciones con fracciones: Suma, resta, producto, cociente, potencia y radicación. O.1.2 Resolver operaciones

Más detalles

GUIA ALGEBRA PARTE I. Ejercicios básicos de aritmética QUEBRADOS

GUIA ALGEBRA PARTE I. Ejercicios básicos de aritmética QUEBRADOS 1 GUIA ALGEBRA PARTE I Ejercicios básicos de aritmética QUEBRADOS Fracciones mixtas ejemplo 3 4/5 Una fracción mixta es un número entero y una fracción combinados, como 1 3 / 4. Fracciones propias ejemplo

Más detalles

A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. C) a5 +b 5

A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. C) a5 +b 5 ENCUENTRO # 6 TEMA: Fracciones algebraicas CONTENIDOS:. Máximo común divisor 2. Mínimo común múltiplo 3. Simplificación de fracciones algebraicas 4. Suma de fracciones algebraicas 5. Resta de fracciones

Más detalles

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Polinomios

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Polinomios Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Polinomios Prof. Glorymill Santiago Labrador Adaptado por: Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez Polinomios Definición: Un

Más detalles

TEMA 2: Potencias y raíces. Tema 2: Potencias y raíces 1

TEMA 2: Potencias y raíces. Tema 2: Potencias y raíces 1 TEMA : Potencias y raíces Tema : Potencias y raíces ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Concepto de potencia..- Potencias de exponente natural..- Potencias de exponente entero negativo..- Operaciones con potencias..-

Más detalles

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Sec. 5.1: Polinomios

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Sec. 5.1: Polinomios Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Sec. 5.1: Polinomios Prof. Caroline Rodríguez Polinomios Un polinomio es un solo término o la suma de dos o más términos que contienen

Más detalles

Guía 4. FRACCIONARIOS: si al menos uno de sus términos contiene letras en su denominador

Guía 4. FRACCIONARIOS: si al menos uno de sus términos contiene letras en su denominador Guía 4 TIPOS DE POLINOMIOS NOTA: término independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no contiene dicha letra. ENTEROS: si cada término del polinomio es entero Ejemplo: mn +

Más detalles

Números enteros. Los números enteros son los formados por los números naturales (1), sus opuestos (2) y el número 0

Números enteros. Los números enteros son los formados por los números naturales (1), sus opuestos (2) y el número 0 Los números enteros son los formados por los números naturales, sus opuestos (2) y el número 0 Números enteros Los números naturales son aquellos que nos permiten contar las cosas. Ej. 2 sillas, 4 patas,

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS TEMA 1. ÁLGEBRA Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. A

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. TEMA 3: POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas

Más detalles

UNA ECUACIÓN es una igualdad de dos expresiones algebraicas.

UNA ECUACIÓN es una igualdad de dos expresiones algebraicas. UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación de números, variables (o símbolos) y operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos. UNA ECUACIÓN es una igualdad

Más detalles

NÚMEROS DECIMALES. Teoría 3 er Ciclo Primaria Colegio Romareda 2011/2012 Página 28

NÚMEROS DECIMALES. Teoría 3 er Ciclo Primaria Colegio Romareda 2011/2012 Página 28 Teoría 3 er Ciclo Primaria Colegio Romareda 20/202 Página 28 NÚMEROS DECIMALES Los números decimales nacen como una forma especial de escritura de las fracciones decimales, de manera que la coma separa

Más detalles

CURSO PROPEDÉUTICO 2017

CURSO PROPEDÉUTICO 2017 CURSO PROPEDÉUTICO 2017 1 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS OBJETIVO Formar estudiantes altamente capacitados, que cuenten con competencias y conocimientos para construir y utilizar técnicas que contribuyan a

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS

MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS MÁS EJEMPLOS DE OPERACIONES ARITMÉTICAS EN DIFERENTES SISTEMAS NUMÉRICOS. AUTOR: JOSÉ ALFREDO JIMÉNEZ MURILLO AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA PÁGINA: 1 de 17 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado: OCTAVO Periodo: SEGUNDO - GUÍA 2 Duración: 15 horas Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR:2 Construyo expresiones algebraicas

Más detalles

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Expresiones Algebraicas y Polinomios

Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Expresiones Algebraicas y Polinomios Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Expresiones Algebraicas y Polinomios Prof. Glorymill Santiago Labrador Editado por: Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez

Más detalles

UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS. Números naturales, Números enteros, Números racionales, números irracionales y números reales. Dr. Daniel Tapia Sánchez

UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS. Números naturales, Números enteros, Números racionales, números irracionales y números reales. Dr. Daniel Tapia Sánchez UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS Números naturales, Números enteros, Números racionales, números irracionales y números reales Dr. Daniel Tapia Sánchez 1.1 Números Naturales (N) 1.1.1 Consecutividad numérica

Más detalles

GUIA ALGEBRA PARTE I. Ejercicios básicos de aritmética EJERCICIOS

GUIA ALGEBRA PARTE I. Ejercicios básicos de aritmética EJERCICIOS 1 GUIA ALGEBRA PARTE I Ejercicios básicos de aritmética QUEBRADOS Fracciones mixtas ejemplo 3 4/5 Una fracción mixta es un número entero y una fracción combinados, como 1 3 / 4. Fracciones propias ejemplo

Más detalles
Sitemap