Factorización de polinomios. Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico


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1 Factorización de polinomios Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico

2 Definición Cuando multiplicamos expresiones polinómicas, cada expresión se conoce como un factor. Ejemplo: (x 2)(x + 2) = x 2 4, por lo que (x 2) y (x + 2) son factores de x 2 4. El proceso de expresar un polinomio como el producto de otros polinomios se conoce como factorización. La factorización es el proceso que invierte la multiplicación.

3 Ejemplo numérico Cuando multiplicamos, obtenemos un único resultado. Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar un número. Ejemplo: Escriba factorizaciones para = (8)(3) 24 = (12)(2) 24 = (6)(4) 24 = (4)(2)(3) 24 = (6)(2)(2) 24 = (2)(2)(2)(3) Esta última es la factorización prima de 24, lo que significa que el número ya no se puede seguir factorizando.

4 Polinomio irreducible Al igual que los números, los polinomios se pueden factorizar de varias formas. Ejemplo: Escriba factorizaciones para 3x x 3x 3x x 12x = 3x(x 3x(x + 4) 4) 3x x = 3 (x 2 + 4x) 3x x = x(3x + 12) 3x x = 1 x(6x + 24) 2 La primera forma se conoce como factorización por factores irreducibles, por que los factores 3x y x+4 no se pueden factorizar más. Decimos que un polinomio está completamente factorizado si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros. todos los polinomios que forman la factorización son irreducibles

5 Factorización de polinomios FACTORIZACION POR FACTOR COMUN

6 Factorización de factor común La factorización más simple se basa en la propiedad distributiva. ab + ac = a(b + c) Este tipo de factorización, remueve el máximo común divisor de todos los términos. Ejemplo: Factorice completamente 3b 3 5b 2 c + 6b 2

7 Máximo común divisor Por el máximo común divisor de dos o más monomios", se compone del máximo común divisor de los coeficientes y la potencia mayor de las variables que son comunes a todos los monomios dados.

8 Ejemplo Determinar mcd(8x 2, 12x 3 ) = Solución: Determinar mcd(24x 5, 40x 3 ) = Solución:

9 Factorice cada polinomio mediante factor común. 22pq 33qr 7xy 14xy x 2 y 20w 3 z 4 25w 4 z 7 15 w 5 z 3

10 Factores binomiales Hay casos en los cuales el factor común no es un monomio, sino que tiene más de un término. Ejemplo: x y (y + 2) En este caso los dos términos comparten un binomio en común (y+2)

11 Factores binomiales Factorice los polinomios: x y (y + 2) 3x(a b) 5(a b)

12 Factores binomiales Ejemplo: Factorice completamente 12xy(x + 5) 15x 2 y(x + 5) + 3xy 2 (x + 5)

13 Factores binomiales caso especial Ejemplo: Factorice el polinomio: 2x(a b) + 5(b a)

14 Factorización por agrupación Técnica que consiste en agrupar dos o más términos del polinomio usando algún criterio; por ejemplo, un criterio puede ser: agrupar dos o más términos que tengan algún factor común. Ejemplo: 2a 6b ac 3bc Note que entre los primeros dos términos hay un factor de 2 en común, mientras que en los últimos dos hay un factor de c en común.

15 Factorización por agrupación Factorice : 2a 6b ac 3bc Primero agrupamos :( 2a 6b) (ac 3bc) Luego,factorizamos : 2(a 3b) c(a 3b) Al examinar, se observa que hay un binomio común a ambos términos: (a 3b) Volvemos a factorizar removiendo el factor común binomial (a 3b) 2(a 3b) + c(a 3b) = ( a 3b)( 2 c )

16 Factorización por agrupación Ejemplo 2: Factorizar el polinomio 3a a 2ab 8b

17 Factorización por agrupación Ejemplo 3: Factorice los polinomios. 4x 3y 12ax + 9ay 3x 2 + 6x 5xy 10y

18 Práctica Ejercicios: 1) y 2 4y + 3yz 12z 2) ab c ac + b 3) 9ab + 9ac b c

19 EJEMPLOS ADICIONALES

20 Teorema fundamental de la aritmética Todo número entero positivo tiene una factorización de números primos única, excepto por el orden.

21 Factorización prima Teorema de factorización única: Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores. 72 = 36 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 6 x 6 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = factorizacion prima

22 Factorización prima La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes. 72 = Primero, ordenamos los factores 72 = Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida. 72 = factorizacion prima en notación exponencial

23 Árbol de factores Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a determinar la factorizacón prima de un número.

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