Tema 2. Polinomios y fracciones algebraicas


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1 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Polinomios.... Definiciones.... Operaciones con polinomios.... Factorización de un polinomio.... Teorema del resto. Criterio de divisibilidad por -a.... Propiedades de la divisibilidad Polinomios irreducibles Número de raíces y divisores de primer grado de un polinomio..... Descomposición factorial de un polinomio.... Máimo común divisor y mínimo común múltiplo Máimo común divisor Mínimo común múltiplo Fracciones algebraicas.... Definición.... Simplificación.... Reducción a común denominador.... Operaciones..... Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones simples...

2 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Polinomios. Definiciones Definición: se llama polinomio de variable a la epresión algebraica que resulta de sumar o más monomios de variable siendo del tipo: Pa n n a a a 0 Donde: - a 0 a a n R y son los coeficientes y a 0 término independiente - n es el grado del polinomio el grado mayor de los monomios - a n n a a 0 son los términos del polinomio P- - es un polinomio de variable de grado con coeficientes a - a a 0 a - a y a0. Siendo el término independiente. Observa las siguientes epresiones que no son polinomios: ; ; -y Otras definiciones: - polinomio de grado cero: son los números reales - polinomio nulo: es el cero 00 - polinomio completo: es aquel donde todos los coeficientes desde el de mayor grado al término independiente son distintos de cero. P- - Valor numérico de un polinomio: resulta de sustituir una variable por un número obteniendo el correspondiente valor numérico. P - - P - -- ; P Raíz de un polinomio P: es todo número real a R tal que su valor numérico es cero es decir Pa0 P7 - el - es una raíz de P P En siguientes apartados veremos cuantas y como calcular las raíces polinomios. de los. Operaciones con polinomios Suma y diferencia: se suman y restan los monomios semejantes P - - y Q - - PQ P-Q Definición: polinomios opuestos son los que sumados el resultado es el polinomio nulo. El opuesto de P se denota como P. P - -P- - Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

3 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Multiplicación: la multiplicación de dos polinomios resulta de multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo Potencia de polinomios: la potencia n-esima de un polinomio P se denota como P n y resulta de multiplicar P n veces por si mismo: P n P P P n-veces P P Identidades notables: Cuadrado de la suma de monomios: ab a abb. Demostración: ab ab aba abbab a abb 09 - Cuadrado de la diferencia de monomios: a-b a -abb. Demostración: a-b a-b a-ba -ab-bab a -abb Suma por diferencia: ab a-ba -b Demostración: ab a-ba -abba-b a -b Ejercicio calcular a 9 b a / a a/ c d a b a -b a -b e Sacar factor común: cuando todos los términos del polinomio P son múltiplos de un monomio m podemos sacarlo factor común Ejercicio sacar factor común: a b / -/0 // -/ Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

4 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas División de polinomios: veamos cómo se divide a partir de un ejemplo P X resto 0 R Q 7 C cociente PQ CR Si la división es eacta se cumple R0 PQ C luego P múltiplo de Q y C o estos divisores de P. Ejercicio: decir si - -- es múltiplo de B y C Dividiendo tenemos que la división entre la división no es eacta no múltiplo La división entre la división es eacta es múltiplo. Factorización de un polinomio. Teorema del resto. Criterio de divisibilidad por -a Un polinomio P será múltiplo del polinomio de primer grado de la forma -a con a R si se cumple que la división P:-a es eacta es decir el resto es cero. Eisten diversos teoremas que nos facilitan saber si -a es divisor de P sin necesidad de realizar la división. Veámoslos Teorema : Sea Pa n n a a a 0 con coeficientes enteros a n a a 0 Z para que -a con a Z sea divisor de P es necesario que el término independientea 0 sea múltiplo de a. Esta condición es necesaria pero no suficiente es decir a puede ser divisor de a 0 y en cambio -a no ser divisor. Sea el polinomio P - - los posibles divisores de la forma -a con a nº entero son los siguientes compruébalo dividiendo: - a - si dividimos la división es eacta - divisor de P - a - si dividimos la división es eacta - divisor de P - a - si dividimos la división no es eacta resto - a- si dividimos la división no es eacta resto - a- si dividimos la división es eacta divisor de P - a- si dividimos la división no es eacta resto-0 Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

5 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Teorema del resto: el resto de dividir P entre -a es igual al valor numérico de Pa restopa. comprobémoslo en el polinomio anterior P - - y los factores anteriores: - a - restop0 - a - restop0 - a - restop - a- restop- - a- restop-0 - a- restop--0 partir del teorema del resto podemos saber si un polinomio es múltiplo de P de -a sin necesidad de dividir simplemente calculando Pa: a Si Pa0 entonces -a divisor de P pues el resto es 0 b Si Pa 0 entonces -a no es divisor de P pues el resto no es cero. Relación entre raíces de un polinomio soluciones ecuación y divisibilidad por -a: Recordemos todos los teoremas y definiciones vistas anteriormente para relacionarlas entre si sea P a n n a a a 0 a es raíz si Pa0 a solución a la ecuación a n n a a a 0 -a divisor de P pues el resto de la división rpa0. Luego todas las siguientes afirmaciones son equivalentes: - a es raíz del polinomio P - a solución de la ecuación a n n a a a a divisor de P Teorema fundamental del álgebra: sea un polinomio de P de grado n el número máimo de raíces es n y por tanto el número máimo de polinomios de la forma -a divisores y de soluciones a la ecuación a n n a a a 0 0 Ejercicio: Sean el polinomio P -- Q - -9 calcular a Los posibles polinomios -a con a Z divisores de P b El número máimo de ellos que puede ser divisores de P c Cuales son los divisores d Calcular las soluciones de la ecuación de --0 Solución: P -- a Pueden ser a -; a -; a- ; a- b Como mucho sólo pueden ser divisores de P Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

6 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas c No hace falta dividir simplemente calcular el resto es decir Pa: - - rp--0 divisor - - rp-- no divisor - rp---0 divisor - rp---0 divisor d El número máimo de soluciones de la ecuación es de son - - Q - -9 a Pueden ser a -; a -; a -; a9-9; a -: -; a- ; a- ; a- ; a-9 9; - ; - b Como mucho sólo pueden ser divisores de P c No hace falta dividir simplemente calcular el resto es decir Pa: - - rp no divisor - - rp0 divisor - - rp0 divisor - -9 rp9 no divisor - - rp0 no divisor - - rp00 no divisor - rp- no divisor - rp-0 divisor - rp--0 no divisor - 9 rp-9-00 no divisor - rp-0 no divisor - rp no divisor d El número máimo de soluciones de la ecuación es de son - Soluciones cuando a no es un número entero: hasta ahora sólo hemos considerado las raíces enteras habiendo visto que estas deben de ser divisores del término independiente. Pero estás no son las únicas que pueden ser raíces veamos algún ejemplo: Ejemplos: a P - Las únicas raíces enteras pueden ser a y a- pero estas no son raíces P y P- entonces - y no son divisores de P. entonces no tiene raíces ni divisores?. Veamos como si. Las raíces de P serán también soluciones de -0 que como bien sabemos podemos calcular a partir de las soluciones de ecuaciones de segundo grado. Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

7 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas ± ± Luego / y -/ son divisores de P pues P-/0 y P/0. b P -- Las únicas raíces enteras pueden ser a y a- a y a- pero estas no son raíces P 0 P- 0 P 0 y P- 0 entonces - - y - no son divisores de P. entonces no tiene raíces ni divisores?. Veamos como si. Las raíces de P serán también soluciones de --0 que como bien sabemos podemos calcular a partir de las soluciones de ecuaciones de segundo grado. ± 9 ± Luego - y - y P 0. son divisores de P pues P 0 Regla de Ruffini: cuando dividimos un polinomio P entre un binomio de la forma -a podemos aplicar la regla de Ruffini que es más sencillo que la división Ejemplos: - -: 0 C - r :-/ 0 C - r 9 9. Propiedades de la divisibilidad. Polinomios irreducibles Definición: un polinomio se dice irreducible cuando no tiene ningún otro polinomio divisor de grado inferior siempre es posible encontrar uno del mismo grado Teorema: los únicos polinomios irreducibles son los de er grado y los de segundo grado con soluciones no reales. Ejemplos: P- Q H I - J Página 7 de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

8 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Nota: darse cuenta que es divisible por pero este polinomio es del mismo grado. Ejercicio decir cuales de los siguientes polinomios son irreducibles: - 7-/ - ± 9 ± - divisores No al ser de tercer grado divisores raíz - ± no sol Irreducible no raíces ni divisores - 7-/ es irreducible al ser de primer grado Proposición: desde el punto de vista de la divisibilidad todos dos polinomios son equivalentes si son proporcionales P equivalente a Q si PK Q Ejemplos: 9 Nota: de todos los polinomios equivalentes se toma el que tiene el coeficiente de mayor grado igual a la unidad. Ejemplos: / ; - -. Número de raíces y divisores de primer grado de un polinomio. Teorema: un polinomio P tiene a lo sumo n raíces y por tanto n divisores de primer grado siendo n el grado del polinomio. Demostración: supongamos que P n a a 0 tiene n raíces a a a n entonces P se puede poner como P-a -a n y sería entonces de grado n y no degrado n. Definición: una raíz a de un polinomio P tiene multiplicidad si P es divisible por -a multiplicidad si es divisible por -a etc. Ejemplos: P luego a- es raíz doble Q - -- luego a es raíz triple. Nota: a la hora de contar el número de raíces las raíces dobles cuentan como raíces triples como etc. De esta forma un polinomio de grado no podrá tener raíces dobles pues sería como raíces. Descomposición factorial de un polinomio Definición: la descomposición factorial de un polinomio consiste en epresarlo como producto de polinomios irreducibles de er grado y de º sin soluciones. Diferentes métodos de sacar factorizar a Sacar factor común: cuando el término independiente es nulo pudiendo sacar factor común m siendo m el grado del monomio de menor grado. De esta forma a0 es raíz de multiplicidad m. P a0 es raíz doble. Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

9 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas b Buscar divisores de la forma -a por Ruffini: por Ruffini sólo buscaremos divisores donde la raíz a es entera. Recordar que entonces a debe de ser divisor del término independiente. Q P Q-- Luego el polinomio P del ejemplo anterior es P -- c partir soluciones de ecuación de º grado: cuando las raíces no son enteras no es fácil encontrarlas a partir de Ruffini. Si tenemos una ecuación de º grado podemos obtener las raíces a partir de sus soluciones. P P ± ± -- - P- - - Ejercicio factorizar: a P P raíz - b Q -- Q - raíz ± c H 0 H / raíz - y -/ d I -- I - raíz - y - e J J raíz 0 f K - K- raíz g L L raíz 0 y - doble h M - - M - - raíz 0- partir de los teoremas visto hasta ahora decir si están bien o mal factorizadas los siguientes polinomios. Decir por que. a P - - Falso y no son divisores de b Q - - Falso raíces dos de multiplicidad doble y grado c H Verdadero raíces HH-H0 d I 0 - Falso. I e S. Falso falta multiplicar por. Página 9 de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

10 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Decir el polinomio que cumple las siguientes propiedades a El polinomio P cumple: i Solo tiene dos raices: El - es una raiz simple multiplicidad El es una raiz doble multiplicidad ii Es de grado iii El coeficiente de mayor grado es b El polinomio Q cumple. i Solo tiene dos raices: El es una raiz simple multiplicidad El - es una raiz simple multiplicidad ii Es divisible por iiiel coeficiente de mayor grado es iv De todos los posibles es el de menor grado P - Q- Decir el valor de a para que a sea divisible por P--- a0 a. Máimo común divisor y mínimo común múltiplo. Máimo común divisor Definición: el máimo común divisor de o más polinomios es otro polinomio que cumple: a es divisor de todos ellos b de todos ellos es el de mayor grado con coeficiente de mayor grado la unidad. Veamos como calcular el máimo común divisor: descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible el máimo común divisor es el polinomio cuya descomposición factorial esta formada por los polinomios irreducibles comunes a todos los polinomios con menor eponente. mcd Mínimo común múltiplo Definición: mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es otro polinomio que cumple: a es un polinomio múltiplo de todos los polinomios b de todos los polinomios múltiplos es aquel que tiene menor grado con coeficiente de mayor grado unidad. Página 0 de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

11 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Veamos como calcular el mínimo común múltiplo: descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible el mínimo común múltiplo es el polinomio cuya descomposición factorial esta formada por los polinomios irreducibles comunes y no comunes a todos los polinomios con mayor eponente. mcd Ejercicio: calcular el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: a p - q - p - q- mcmpq- - - mcdpq- - b p - - q - - p - q - - mcmpq mcdpq - -. Fracciones algebraicas. Definición Definición : se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios es decir de P la forma. Q Ejemplos: Las fracciones algebraicas se comportan de forma semejante a las fracciones numéricas como veremos en siguientes apartados. Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

12 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente Simplificación Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se pueden dividir por el mismo polinomio es decir son múltiplos de este polinomio al dividirlos se simplifica la fracción. : Si dividimos numerador y denominador por el máimo común divisor de los dos polinomios se obtiene la fracción irreducible.. Reducción a común denominador l multiplicar numerador y denominador de una fracción por el mismo polinomio se obtiene una fracción equivalente. Si tenemos varias fracciones y queremos obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador tenemos dos opciones poner como denominador el producto de los dos denominadores o el mínimo común múltiplo de ambos. Ejemplos: Operaciones Suma y resta:se reduce a común denominador y se suman o restan los numeradores Producto: el resultado es una fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y su denominador el producto de los denominadores. División: es una fracción algebraica donde el numerador es igual al producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. :

13 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Nota: cuando multiplicamos o dividimos muchas veces al igual que con las fracciones numéricas estas pueden ser simplificables. Para que sea más sencilla la simplificación es mejor factorizar primero los polinomios y luego simplificar antes de multiplicar. Veamos un ejemplo: 7 0 / / Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones simples P Consideraremos dos casos para la descomposición de : Q a Grado [ P] < grado[q] descomponemos Q factorialmente y tenemos casos posibles: a. Raíces del denominador simple Q-a -a -a n : Entonces la fracción algebraica puede ponerse como: P n... Q a a a n Si / Si /7/ Si 000 /0/ 7 / 7 / / b. lguna o algunas raíces son doble. Q-a -a -a n : Entonces la fracción algebraica puede ponerse como: P ' n... Q a a a a ' n ' ' Si - -/ Si 7 7/ Cualquier valor 0 - /7/ -/ Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

14 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente 7 / / / c. l descomponer Q tiene polinomios irreducibles de segundo grado sin soluciones Q bc -a -a n Entonces la fracción algebraica puede ponerse como:... n n a a a c b N M Q P 0 N M 0 N M 0 N M Si Si Si N ----N N Si MN M M 0 b Grado [ P] grado[q] dividimos obteniendo: Q R C Q P donde ahora Grado[R]<grado[Q] y estamos en el caso a

15 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente Ejercicios finales Factorizar los siguientes polinomios: a b 7 d - - f Comprobar si las siguientes fracciones son equivalentes Dos métodos haremos cada apartado por uno. a y si son equivalentes se cumple Si son equivalentes b y factorizamos y simplificamos y No son equivalentes partir de los productos notables simplifica a e 0 h Decir las raíces de los siguientes polinomios a P - 0 -doble y / b Q- c R 0 d S -7 0 doble y 7 Opera y simplifica a 9 : 9 : c : : :

16 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas e 7 El lado de un cuadrado aumenta en a cm. Formándose otro cuadrado. Suma las áreas de los rectángulos y cuadrados de la figura y comprueba que obtienes el área del cuadrado de lado a II IV a I III a Área cuadrado I Área cuadrado IV a Área rectángulo IIa Área rectángulo IIIa Área total aa a Calcula el área del cuadrilátero B C D mediante un polinomio en sabiendo que Bcm BCcm y BB CC DD D D C C B B área B C D areabcd- areabb C - areacc D Página de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente

17 Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página 7 de 7 Tema elaborado por José Luis Lorente Calcula: a b Calcula m para que el polinomio P -m - sea divisible por Si es divisible por entonces- es raíz de P es decir P---m--0 m- Calcular el valor de K si el resto de la división de k -7:- es - RestoPk-- k- k- Escribir los polinomios de segundo grado con siguientes raíces a y - P- - b 0 y P - - c y P- - - d - y P - - Escribir polinomio de segundo grado cuya única raíz sea P- Escribir polinomio de segundo grado sin raíces P 7 Inventa dos polinomios P y Q tal que mcmpq - P - Q - Inventa dos polinomios P y Q tal que mcdpq - P - ; Q -

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