LECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN


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1 Tenemos un cuadrado cuyos lados miden ( + + ) = + por lo que el área sería: Largo. ancho = ( + ).( + ) = ( + ) Pero ya se conoce el área total que es 9 unidades cuadradas Entonces: ( + ) = 9 donde despejando el cuadrado nos queda: + = 9 + = 7 = 7 = En conclusión, si volvemos al problema original, el área del cuadrado de lado es igual a:. = 9 unidades cuadradas LECTURA Nº : MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Tomado con fines instruccionales de: Ochoa, A. (007). Métodos de Factorización. Unefa. Artículo no publicado (pp.-6). Caracas. Venezuela. La operación de descomponer en factores los productos notables, también se llama Factorización. Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables. Para factorizar polinomios eisten varios métodos: FACTOR COMÚN Consiste en transformar la epresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la epresión original entre el factor común. Ejemplo : +. + Descomponemos el número en dos factores y observamos que el es común en los dos términos. Multiplicamos y dividimos toda la epresión por el factor común (.. + )=... + =. ( +)= Esta es la epresión ya factorizada Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máimo común divisor de dichos coeficientes. 9

2 Ejemplo : Factorizar el polinomio Ordenamos y calculamos el máimo común divisor entre los coeficientes de cada término, mcd(6,,8) = ( ) Como la variable es común en los tres términos, multiplicamos el mcd por la elevada a la menor potencia que aparezca. En este caso es elevada a la (6) Multiplicamos y dividimos toda la epresión por este factor común Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común ( ) Resolviendo cada cociente: - Se dividen los coeficientes, y - Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base (se copia la base y se restan los eponentes) y así se obtiene la epresión factorizada por factor común Ahora etraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos. Ejemplo : Factorizar 6y + 8y ( 6y) + ( 8y) ( 6y) + ( 8y) 6y 8y +. y + y ( ) ( ) ( y) [. ( y) + ( y) ] ( y). ( ) ( y) ( y) ( ) ( ) y + y y ( y)( + ) Formamos dos grupos considerando que los dos primeros términos son divisibles entre y los dos últimos entre Multiplicamos y dividimos las dos epresiones por estos factores comunes Simplificando Observa que surgió un nuevo factor común entre los dos términos. Se procede a multiplicar y dividir por el nuevo factor común Simplificando Obtenemos la epresión ya factorizada DIFERENCIA DE CUADRADOS Este caso se basa en la fórmula: Ejemplo : Factorizar 9 9 = 9 = +. ( )( ) a b = (a + b). (a b) Epresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable y como ( a + b)(. a b) = a b 9

3 Ejemplo 5: Factorizar 6 ( ) ( + )(. ) 6 = 6 = 6 = ( + )(. + )(. ) Epresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable: ( a + b)(. a b) = a b Como el segundo factor también es una diferencia de cuadrados, se procede a factorizarlo: = TRINOMIO Se pueden conseguir tres casos: Trinomio de la forma + a + b: La fórmula general viene dada por: + a + b Ejemplo 6: 7 + y al factorizarlo queda epresada como ( + n).( + m) donde n.m = b y n + m = a - - = - 7 (-).(-) = 7 + = + ( ) + ( ).( ) ( )(. ) Buscamos dos cantidades, tales que su producto sea, éstas deben tener el mismo signo para que el producto sea positivo, y para que la suma sea -7, deben ser los dos negativos. Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación = Aplicando la fórmula general. Ejemplo 7: : = 0 6. = = ( ) ( 6.) ( + 6 )(. + ) Buscamos dos cantidades, tales que la suma sea 0 y su producto sea. Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación = Aplicando la fórmula general. Ejemplo 8: (-5) = 5 0. (-5) = -00 Buscamos dos cantidades tales que la suma sea 5 y su producto sea -00. Para que el producto sea negativo deben tener signos diferentes. + ( 0. 5 ) Se sustituyen los coeficientes, uno por una adición y el otro por una multiplicación. ( 0 + ( 5) ) ( ) = + ( + 0 )(. 5) = Aplicando la fórmula general 9

4 . Trinomio cuadrado perfecto Se basa en las siguientes fórmulas: ( a + b) = a + ab + b y ( a b) = a ab + b Analizamos el procedimiento mediante el ejemplo Nº 9: Verificamos si dos de los términos se pueden X ya está en forma de cuadrado epresar en forma de cuadrado. 5 = 5 0 = (.5) También verificamos si el término restante se puede epresar como el doble producto de las bases de los cuadrados = ( + 5 ) Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlo según la fórmula. Ejemplo 9: : + 9 = + 9 = Verificamos si dos de los términos se = ( ) pueden epresar en forma de cuadrado. 9 = ( ) =. ( )(. ) También verificamos si el término restante se puede epresar como el doble producto de las bases de los cuadrados. + 9 = ( ) +. (. ( ) ) + Epresamos el trinomio en cuadrados y productos. + 9 = Factorizamos aplicando la fórmula. ( ) Trinomio de segundo grado ( a + b + c ) Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores. En este caso, se procede de la siguiente manera: a + b + c = 0 Se iguala toda la epresión a cero (0). b ± b ac Se calculan los dos valores de, utilizando la = ecuación cuadrática. a a ( )(. ) + b + c = a Se aplica la fórmula general. Ejemplo 0: Factorizar el polinomio + 5 9

5 + 5 = 0 a = b = 5 c = - 5 ± = ± 5 + =. ( ) Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c. Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática Resolvemos lo que está dentro de la raíz: 5 = (-) = -8. (-) = + 5 ± 9 =. 5 ± 7 = = = = 5 7 = = = + 5 =. + ( ) Etraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto. Obtenemos dos valores de la uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos: = = Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que -(-) = + Regla de Ruffini Se aplica para cualquier polinomio que tiene raíces enteras; es decir, encontrar valores de (números enteros) que al sustituirlos en el polinomio nos da cero. Por ejemplo, si un polinomio de cuarto grado a + b + c + d + e, tiene cuatro raíces enteras,,, y se factoriza así: a + b + c + d + e = a ( )( )( )( ) Pero cómo se aplica la regla de Ruffini para obtener las raíces? Ejemplo Nº : Factorizar + 6 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, (en este caso de,) o sea que se prueba con, -,, -,, -,, -, 6, -6, y 95

6 Probemos con uno () Se copian los coeficientes del polinomio. Escribimos el número seleccionado a la derecha (a este lo llamaremos raíz). Se copia el primer coeficiente debajo de él mismo Se multiplica la raíz por el primer coeficiente que se bajó y el producto se copia en la segunda fila debajo del segundo coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto. Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia en la segunda fila debajo del tercer coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto. Se vuelve a multiplicar y sumar el producto con el siguiente coeficiente ( ). ( + Se efectúa el último producto y la última suma. Como el resultado final es cero (o), esto nos indica que el sí es una raíz del polinomio y nos sirve para factorizar. ) Hasta ahora tenemos un producto como se observa al utilizar los nuevos coeficientes obtenidos. Si el resultado hubiese sido distinto de cero, habría que seguir probando los demás divisores de. De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado debemos intentar seguir factorizándolo. Probando ahora por y aplicando otra vez la regla queda: Así hemos conseguido la segunda raíz, por lo que el polinomio va quedando factorizado de la siguiente manera:

7 ( )(. )(. 6) Ahora seguimos aplicando la regla para encontrar las otras raíces La nueva raíz en - y el último cociente se toma con la raíz - La factorización final es: + 6 = ( )( )( + )( ) Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales. RESUMIENDO: Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, es decir, en primer lugar se puede etraer el factor común, y luego se pueden seguir aplicando otros de los métodos. Ejercicios propuestos: Factoriza: a + a m + m y y a b Calcula el valor de k en: P = k si P 8- ( ) ( ) = 5 P = + + k si P 8- ( ) 8 = 5 97

8 85- Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la fórmula: V = Cuáles podrían ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)? 86- Para qué valor de n se cumple que = ( ) n? 87- De cuántas maneras podemos factorizar el número 6? 98

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