TEMA: FACTORIZACIÓN MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS


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1 TEMA: FACTORIZACIÓN Aspectos históricos del algebra: Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del algebra. A finales del SVIII floreció la escuela de Bagdad (SIX al XII), a la que pertenecían Al Juarismi, Al Batani y Omar Kayan. Al Juarismi, Persa del S IX, escribió el primer libro de algebra y quien le dio el nombre de Aljabr. El desarrollo moderno de la factorización se inicia en el Renacimiento Italiano, hacia el 1545, con la publicación de Ars Magna de Girolamo de Cardamo ( ) en la cual se muestran las soluciones para la ecuación cúbica y cuadrática, desarrolladas por Nicolo Fontana Tartaglia ( ) y Ludovico Ferrari ( ). DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Y MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Se realizara la siguiente pregunta: Qué es un número primo? Cómo se descompone un número en factores primos? DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Descomponer un número en factores primos es escribir dicha cantidad como productos o factores y que estos sean primos, como lo muestra la descomposición en factores primos de 60: FACORIZAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES EXPRESARLA COMO EL PRODUCTO DE DOS O MÁS POLINOMIOS POR MEDIO DE SU DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS EJ: 45= MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El MCD de dos o más números enteros es el factor o divisor común más grande que es factor de todos los enteros dados. El Máximo Común Divisor de un conjunto de expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenido en cada una de ellas. Máximo Común Divisor en Monomios: El MCD de dos o más monomios está compuesto por el máximo divisor de los coeficientes y la variable o variables comunes con el menor grado. Para ello se debe tener presente: 1º Buscamos el MCD de los coeficientes, descomponiéndolo en factores primos, tomando los factores comunes con el menor exponente. 2º Buscamos entre las variables el mayor factor común, es decir, aquel con las variables comunes y con el menor exponente. 3º Se obtiene el MCD Ej: Hallar el MCD de: 1) Solución: Primero hallamos el MCD de los coeficientes Segundo hallamos el MCD de las variables MCD= 34

2 CASOS DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN Y POR AGRUPACIÓN El factor común de una expresión algebraica es el monomio o polinomio que corresponde al máximo común divisor de los términos de los monomios o polinomios de la expresión algebraica. Para expresar el factor común (FC) diremos que: ( ) [ ] Ej: ( ) Ej: ( ) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Algunas veces no todos los términos poseen un mismo factor común, pero asociados y factorizados por separado tienen monomios o polinomios completos que son factores comunes. Ej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) EJ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Se propondrá el siguiente taller para trabajar en clase. I) FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS II) ENCUENTRE EL FACTOR COMÚN Y FACTORIZA CADA EXPRESIÓN

3 III) FACTORIZAR APLICANDO FACTOR COMÚN OBSERVA EL EJEMPLO Y EXPRESA EN FORMA POLINOMICA LAS ÁREAS DE LAS FIGURAS QUE CONFORMAN CADA RECTÁNGULO Y COMPRUEBA POR FACTORIZACIÓN QUE LAS ÁREAS SON EQUIVALENTES FACTORIZACIÓN APLICACIÓN ÁREAS SOMBREADAS Ej: Determine el área sombreada de : Solución: Por definición de áreas tenemos: donde Luego despejando el área sombreada Reemplazando los valores de cada área tenemos ( ) Por lo tanto expresando el resultado en forma factorizada tenemos: ( )

4 TALLER Factorizar aplicando factor común 1) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) 4) 5) 5 6) 7) 8) 9) 10) Determine el área sombreada y exprese su resultado en forma factorizada 11) Hallar el área total de la figura en forma factorizada LECCIÓN ESCRITA FACTORIZAR: 1) ( ) ( ) 2) 3) 4) ( ) ( ) ( ) 5) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Recordemos que los números cuadrados perfectos son aquellos que tienen raíz cuadrada exacta Un TCP equivale a un BINOMIO AL CUADRADO. Se identifica de la siguiente forma: 1º Tanto el primero como el tercer término son positivos y tienen raíz cuadrada exacta 2º El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término. EJ: ( ) EJ: ( ) TALLER 1) Encuentre la factorización de los trinomios cuadrados perfectos asociando las columnas de números con la columna de letras

5 2) Factorice los siguientes trinomios 3) Encuentre en cada caso la expresión que cumpla las condiciones dadas DIFERENCIA DE CUADRADOS Es uno de los casos más utilizados. Consiste en el proceso inverso para encontrar la suma por diferencia de dos cantidades. Recordando el producto notable. Por lo tanto tenemos: ( )( ) Ej: ( )( ) Ej: ( )( ) TALLER 1) Factorizar 2) Factorice las diferencias de cuadrados compuestos

6 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN En ocasiones encontramos trinomios que no son cuadrados perfectos y que por medio de la adición y sustracción de los términos adecuadamente se pueden transformar en TCP. - Se verifica que el trinomio este ordenado - Se extraen las raíces cuadradas de los términos 1º y 3º - Agregamos y restamos la cantidad que hace que 2º termino sea el doble producto de las raíces del 1º y 3º termino - Factorizamos el TCP encontrado - Factorizamos la diferencia de cuadrados generada por el término que se resta - Por lo tanto encontramos la expresión inicial factorizada

7 TALLER Aplica la factorización por adición y sustracción Al finalizar la semana se evaluaran los siguientes temas: Factor común, Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados EVALUACIÓN 1) Completar la factorización de la expresión 5X Y 4XY Paso 1: Paso 2: 5(X - 3) + 4Y (3 X) Paso 3: Paso 4: (X 3) (5 4Y) 2) El área del rectángulo de la grafica está representada por la expresión 4X² - 9Y². El largo y el ancho del rectángulo se pueden representar por los binomios 2 3) Factorizar ( r 1) ( r 1) 4) Exprese las dimensiones de la figura en forma factorizadas 5) Halle el perímetro en forma factorizada

8 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Se continuará con el trabajo del tema y se aclararan las dudas que surjan en los estudiantes acerca del taller propuesto anteriormente. Luego se efectuara la siguiente evaluación escrita del tema EVALUACION 1) Factorizar 2) Complete la factorización del trinomio por adición sustracción 3) Identifique en la gráfica el trinomio y Factorice 4) Factorizar 5) Factorizar 6) Factorice

9 SUMA DE DOS CUADRADOS ( CASO ESPECIAL) En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no hay raíz cuadrada exacta, pero hay sumas de cuadrados que sumándole y restándole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior de adición sustracción de trinomios y descomponerse. Ej: Factorizar Solución: Hallamos la raíz cuadrada de cada termino:, Luego buscamos que la expresión inicial sea un TCP, entonces hallamos el doble producto de las raíces, Asi: ( )( ) Luego adicionamos y restamos una misma cantidad para que la expresión inicial se convierta en TCP, de la siguiente forma: Finalmente ordenamos la expresión factorizada Se propondrán los siguientes ejercicios para trabajar en clase: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Factorizar 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Determine el área sombreada en forma factorizada EVALUACIÓN

10 TRINOMIO DE LA FORMA En este tipo de trinomios verificamos: 1. No debe ser TCP 2. El coeficiente del primer término es 1 3. La literal del primer término esta elevada al cuadrado 3. El segundo término tiene la misma literal del primero con exponente 1. (el coeficiente puede ser cualquier cantidad entera, positiva o negativa) 4. El tercer término es independiente (cantidad entera positiva o negativa) Factorización 1. El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio inicial. 2. En el primer factor después de escribir el resultado del paso anterior se escribe el signo del 2º término del trinomio y en el segundo factor se escribe el signo que surge de multiplicar los signos del 2º y 3º termino del trinomio inicial. 3. Se descompone en factores primos el tercer término y con los valores obtenidos se buscan dos números que multiplicados den el 3er termino del trinomio y que sumados o restados den el 2º termino del trinomio inicial. 4. Ubicamos en el primer factor el mayor de los números obtenidos en el paso anterior y en el segundo factor el menor número obtenido en el paso anterior. Analizaremos los siguientes ejemplos: 1.) 2.) 3.) Factorizar los siguientes trinomios de la forma TALLER

11 Aplicaciones del TRINOMIO DE LA FORMA Factorizar Se realizara la siguiente valoración del tema NOTA: Las evaluaciones son de carácter acumulativo, con el fin que el estudiante mantenga en retroalimentación constante de la temática tratada 1) Calcular el área sombreada en forma factorizada EVALUACIÓN Factorizar 2) 3) 4) 5) 6) ( ) ( ) 7) 8) ( ) ( ) 9) 10)

12 TRINOMIO DE LA FORMA Este tipo de trinomios se diferencia de los anteriores porque el coeficiente del primer término cuadrada exacta. Para factorizarlo recurrimos a: - verificar que el trinomio no sea cuadrado perfecto, y en ocasiones no posee raíz 1- Multiplicamos y dividimos el trinomio inicial por el coeficiente del primer término. En este caso (a), dejando indicada la multiplicación del segundo término. 2- Descomponemos en factores primos al nuevo tercer término generado y realizamos el mismo procedimiento que se utilizó en los trinomios 3- Hallamos los factores comunes de los coeficientes, si los hay, en cada binomio generado en el paso anterior y se simplifican con el coeficiente con el que se dividió al principio, en este caso (a). Ejemplo: Factorizar 1. Multiplicamos y dividimos por 6 así: ( )= ( ) 2. Descomponemos a 18 en factores primos y buscamos dos números que multiplicados den - 18 y sumados o restados den - 7 ( )( ) 3. Sacamos factor común de los coeficientes ( ) ( ) y simplificamos Por lo tanto tenemos la expresión factorizada ( )( ) Conclusión: ( )( ) FACTORIZAR TALLER

13 Se realizara la siguiente valoración del tema: EVALUACIÓN Factorizar 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) Determine el área sombreada en forma factorizada NOTA: Las evaluaciones son de carácter acumulativo, con el fin que el estudiante mantenga en retroalimentación constante de la temática tratada CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Un polinomio es un binomio al cubo si cumple con las siguientes condiciones: 1. Posee 4 términos 2. El primer y último término de la factorización deben ser cubos perfectos, es decir poseen raíz cúbica exacta 3. El segundo término es tres veces el cuadrado de la primera raíz cúbica, multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4. El tercer término es tres veces el producto de la primer raíz cúbica, por el cuadrado de la segunda raíz cúbica. 5. Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de una suma y si los términos son alternos empezando con el signo positivo, la expresión resultante será el cubo de una diferencia. Ejemplo: ( ) ( ) Se propondrá el siguiente taller para trabajar en clase

14 Factorizar TALLER SUMA DE CUBOS Para factorizar una suma de cubos se debe: 1. Descomponer la expresión inicial en dos factores 2.En el primer factor ubicamos la suma de las raíces cúbicas de los términos 3. En el segundo factor ubicamos el cuadrado de la primer raíz menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. ( )( ) DIFERENCIA DE CUBOS Para factorizar una diferencia de cubos se debe: 1. Descomponer la expresión inicial en dos factores 2.En el primer factor ubicamos la diferencia de las raíces cúbicas de los términos 3. En el segundo factor ubicamos el cuadrado de la primer raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. ( )( ) Factorizar EVALUACIÓN 1) 2) 3)Determine una expresión en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de los cubos 4) 3) 4) 5) Determine el área sombreada en forma factorizada

15 6) 7) 8) 9) 10) 11) SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES Ejemplo: Si queremos factorizar la expresión entonces dividimos por Es decir Por lo tanto la expresión factorizada es: ( ) ( ) Ejemplo: Factorizar ( )( ) OBSERVE: 1) Las expresiones o donde n es impar y múltiplo de 3 se puede factorizar como una suma o una diferencia de cubos. 2) Las expresiones donde n es par se pueden factorizar como una diferencia de cuadrados TALLER Factorizar

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