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1 UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 015 Lic. Manuel de Jesús Campos Boc SEXTA UNIDAD FACTORIZACION Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. FACTORIZARCIÓN 4 = = = 4. 4 = = 1. MULTIPLICACIÓN Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b) (a + b). 1

2 -Factor Común: para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón. 4 x + 4 y = 4 ( x + Y ) 5 a - 10 b = 5 ( a - b ) 4 x + x = x ( x + 3) 3 a - a b = 3 a ( a - b) Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: a ( b + c ) = a b + a c Cuando se factoriza tenemos: a b + a c a ( b + c ) En pocas palabras factorizar es el problema inverso de los factores de un producto dado (la multiplicación). Para factorizar, debemos hallar un factor (en este caso) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, ax n. como hacerlo: Aquí tenemos -Máximo factor común (MFC): el término ax n, es el MFC de un polinomio sí: 1.- a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes de la expresión..- n es el mínimo exponente de x en todos los términos de la expresión. De este modo para factorizar x x. Aquí el mayor entero que divide a 18 y es, y el mínimo exponente de x en todos los términos es x. De esta manera la factorización completa es x x = x (x + 3). Donde x es el MFC.

3 Por Ejemplo: a.- 8 x + 4 = 8 ( x + 3 ) b.- - y + 1 = - ( y - ) c.- x + 4 x + 8 x = x ( 1 + x + 4 x d.- 3 x - 1 x + 5 = 1 ( 3 x - x + 5 ) PASO No.1 = Factor comun = 1 4 PASO No. = Efectuar la división = 3 1 = 1 = = 3 = 3 x ) PASO No. 3 = Efectuar la división = 5 1 = 0 = 10 = 5 = Diferencia de cuadrados Aquí tenemos un producto notable (A + B) (A B) = A B, podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A B = (A + B) (A B) a.- x - 4 = x - = ( x + ) ( x - ) b.- 4 x - 5 = x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 5 ) c.- 9 a b - 49 = 3 a b - ( 7 ) = 4 4 ( 3 a b + 7 ) ( 3 a b - 7 ) 3

4 -Trinomio Cuadrado Perfectos: es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Características que debe cumplir un trinomio cuadrado perfecto. a.- Debe de tener tres términos. b.- El primero y tercer término deben de tener raíz cuadrada exacta. c.- El primero y tercer término deben ser positivos. d.- El segundo término debe ser dos veces el producto de las raíces del primer y tercer término. Por ejemplo: a - 4 a b + 4 b a (a) (b) b Si es un TCP 3 x - 18 x y + 4 y x - (x) (y) + y No es un TCP ya que el término central no es igual a 4xy. -Regla para Factorarlo: se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio, separando estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, se encierra en un paréntesis y se eleva al cuadrado. Por ejemplo: a.- m + m + 1 = ( m + 1 ) b.- x + b x + b = ( x + b ) 4 4 c a x + 4 a x = ( 1-8 a x ) 4

5 -Trinomio de la forma x + bx + c Características que debe cumplir: a. Debe tener tres términos. b. El coeficiente del primer término es 1. c. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. d. El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera ya sea positiva o negativa. e. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una cantidad cualquiera ya sea positiva o negativa. Regla para Factorarlo: El trinomio se descompone en dos factores representados por paréntesis, contenidos cada uno de ellos un binomio. El primer término de cada binomio es la raíz cuadrada del primer término o sea x. En el primer paréntesis, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo paréntesis después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término, ambos del trinomio. Para los segundos términos de los binomios contenidos en los paréntesis, se busca dos números que multiplicados reproduzcan el valor del tercer término del trinomio y cuya suma algebraica reproduzca el valor coeficiente del segundo término del trinomio. Por ejemplo: a.- m - 11 m - 1 = 1 1 ( m - 1 ) ( m + 1 ) 1 X 1 = (-1) = 11 b.- b - 13 b + 40 = 8 5 ( b - 8 ) ( b - 5 ) 8 X 5 = 40 (-8) + (-5) = 13 5

6 c.- x - 5 x - 14 = 7 ( x - 7 ) ( x + ) 7 X = = 5 d.- y + y - 15 = 5 3 ( y + 5 ) ( y - 3 ) 5 X 3 = = 4 e.- x - 5 x - 50 = 10 5 ( x - 10 ) ( x + 5 ) 10 X 5 = = 5 3 f x + 7 x - 44 = ( x + 11 ) ( x - 4 ) 11 X 4 = = 7 -Trinomio de la forma ax + bx + c -Características que debe cumplir: a. El coeficiente del primer término es diferente a 1. b. El primer término está afectado por una letra cualquiera elevada al cuadrado. c. El segundo término tiene la misma letra que afecta el primero, con exponente uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera ya sea positiva o negativa. d. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una cantidad cualquiera ya sea positiva o negativa.

7 Regla para Factorarlo: El coeficiente del primer término se multiplica por el coeficiente del último término, a la vez de dividirlo todo el trinomio por la misma cantidad para no alterar el valor de la expresión. El trinomio se descompone en dos factores representados por paréntesis, contenido cada uno de ellos un binomio. El primer término de cada binomio es el coeficiente del primero del primer término del trinomio y la raíz cuadrada de la literal de dicho primer término, o sea x. En el primer paréntesis, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo paréntesis después de x se escribe el signo que resulte de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término, ambos del trinomio. Para el segundo de los binomios contenidos en los paréntesis, se busca dos números que multiplicados reproduzcan el valor del tercero del trinomio y cuya suma algebraica reproduzca el valor del coeficiente del segundo término del trinomio. Finalmente para el eliminar el denominador creado en el primer paso, se efectúa Factor Común en el numerador lo que permite cancelar factores comunes a numerador y denominador. Por ejemplo: a.- x - 7 x - 3 PASO No.1 PASO No. Multiplicar el primer término por el últino término y dividir todo la expresión por la misma cantidad x - 7 x - 18 ( x 3 = 18 ) ( x - ) ( x + ) 7

8 PASO No.3 ( x - 9 ) ( x + ) 9 9 X = 18-9 = 7 18 = PASO No.4 Factor Común 3 ( x - 3 ) ( 3 x + 1 ) PASO No.5 Cancelar factores comunes a numerador y denominador 3 ( x - 3 ) ( 3 x + 1 ) ( 3 X = ) EL RESULTADO ES: ( x - 3 ) ( 3 x + 1 ) 8

9 b.- 18 a - 13 a a - 13 a - 90 ( 18 x 5 = 90 ) 18 ( 18 a - 18 ) ( 18 a + 5 ) X 5 = = ( a - 1 ) ( 18 a + 5 ) 18 ( a - 1 ) ( 18 a + 5 ) 9

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