Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5


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1 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio entre otro monomio de grado igual o menor es un nuevo monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los polinomios que intervienen: m a a mn n b b Ejemplos:[1] [] [] DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un cociente y un resto (El grado del resto es menor que el grado del divisor). La relación entre D(), d(), C() y R() es: D() R() D() = d().c() + R(), o bien, C() d() d() Cuando el resto es cero, R() = 0, la división es eacta y se cumple: D() D() = d().c(), o bien, C() d() Ejemplos: [1] ( ) : ( 4 + ) = [] ( ) : ( + ) = + DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR a. REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por a. Las operaciones (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división. Ejemplo: ( ) : ( ) = ( ) : ( ) =

2 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. APLICACIONES DE LA REGLA DE RUFFINI 4º UN CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR a Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar epresiones a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente. Ejemplo: Encontrar algún divisor a del polinomio P() = Los posibles divisores son divisores de 160: Aplicando Ruffini a cada uno de estos números 1, -1,, -,. El primero que da resto cero es el. Por tanto un divisor es. VALOR DE UN POLINOMIO PARA = a El valor numérico de un polinomio, P(), para = a, es el número que se obtiene al sustituir la por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). Ejemplo: Calcular el valor del polinomio para = 4 P(4) = = 44 TEOREMA DEL RESTO El valor que toma un polinomio, P(), cuando hacemos = a, coincide con el resto de la división P() : ( a). Es decir, P(a) = r Ejemplo: Hallar el resto de la división ( 4 + ) : ( + 1) Modo 1: Aplicando la regla de Ruffini Modo : Aplicando el teorema del resto: P(-1)=(-1) - 4.(-1) + = = 6

3 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: Sacar factor común Recordar los productos notables Si es un polinomio de grado > : Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P() = ( a).c() Si es un polinomio de grado = : Se resuelve la ecuación de segundo grado: soluciones distintas a.( - 1).( - ) a + b + c = 0 1solución doble a.( - 1) No tiene solución a b c RAÍCES DE UN POLINOMIO Un número a se llama raíz de un polinomio P(), si P(a) = 0. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P() = 0. Método para calcular las raíces de un polinomio: Se factoriza el polinomio Se iguala cada uno de los factores a cero. Ejemplos: Factorizar y hallar las raíces de los siguientes polinomios: [1] P() = Sacamos factor común: ( ) Es un cuadrado perfecto: = ( ) Solución: Factorización: P() =.( ) Raíces: P() =.( ) = 0 = 0 (raíz triple), = / (raíz doble) [] P() = + 6 No se puede sacar factor común. Como es de grado, aplicamos la regla de Ruffini con los divisores de 6 (1,,, 6) Con 1, -1 y no sale resto cero. Con - Obtenemos un polinomio de segundo grado: +. Calculamos sus raíces resolviendo la ecuación: + = = No tiene soluciones. Solución: Factorización: ( + ).( + ) Raíces: = -

4 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 4 [] P() = No podemos sacar factor común. Como es de grado 4, aplicamos la regla de Ruffini con los divisores de 4: (1,, 4) Con 1 y -1 no sale resto cero. Probamos con (Nota: una vez que hemos obtenido el, volvemos a probar con el. Como no sale resto cero, pasamos a probar con el -) Obtenemos un polinomio de grado : 10 1 Calculamos sus raíces resolviendo la ecuación: 10-1= / 0 1/ = / 0 1/ Solución: Factorización: 10.( ).( + ).( ½).( + 1/) Raíces: =, = -, = ½, = -1/ DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 4º MÚLTIPLOS Y DIVISORES Un polinomio, D(), es divisor de otro, P(), si la división P() : D() es eacta. En tal caso, se dice también que P() es múltiplo de D(), ya que P() = D().C() POLINOMIOS IRREDUCIBLES Un polinomio se llama irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS POLINOMIOS. Un polinomio, D(), es el máimo común divisor de dos polinomios, P(), Q(), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D() = M.C.D.[P(),Q()] Método para calcularlo: Se factorizan los dos polinomios: P() y Q() Se toman los factores comunes al menor eponente Un polinomio, M(), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(), Q(), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M() = m.c.m.[p(),q()] Método para calcularlo: Se factorizan los dos polinomios: P() y Q() Se toman los factores comunes y no comunes al mayor eponente

5 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. Ejemplos: Calcular el m.c.d y el m.c.m de los siguientes pares de polinomios [1] 1; ( + 1) Los factorizamos: 1 = ( 1).( + 1) ( + 1) = ( + 1) m.c.d = + 1 m.c.m = ( 1).( + 1) [] + 1, Los factorizamos: + 1: Resolvemos la ecuación + 1 = 0 No tiene solución +1 : Ya está factorizado m.c.d. = 1 m.c.m. =.( + 1) FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIÓN Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios. P() Q() SIMPLIFICACIÓN Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente. Ejemplo: 17 ( 6 1).( ) 1 ( 4 / )( ) FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones algebraicas son equivalentes si: - Una de ellas se obtiene simplificando la otra. - O bien, ambas, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción. 4 Ejemplo: Comprobar si son equivalentes:, ( )( 4) Son equivalentes 1 1 ( )( / ) REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores

6 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 6 Ejemplo: Reducir a común denominador, 1 Factorizamos los denominadores: +1 = = ( 1).( + 1) m.c.m = ( -1).( + 1) ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 1 Suma y resta: Para sumar o restar fracciones algebraicas, estas se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Después se simplifica la fracción resultante. Producto : El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus denominadores. Fracción inversa de otra : La fracción inversa de P() Q() es Q(). P() Cociente : El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por la inversa de la segunda (Producto cruzado de términos). Ejemplos: Opera: [1].( ) [] : ( )( )

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