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1 Centro Regional Universitario De Bocas del Toro Nociones Fundamentales del Álgebra El Álgebra es una rama de la matemática que se ocupa de las cantidades más generales y para representarla utiliza letras, números y signos. Su progreso dentro de la historia de la matemática suele dividirse en dos períodos: Álgebra Retórica: sin abreviaturas, ni símbolos matemáticos especiales, emplea el propio lenguaje. Se remonta a la época paleo babilónica. Álgebra Sincopada: nombre dado por Nesselman, en Utiliza algunos términos técnicos y abreviaturas. Por ejemplo, la aritmética de Diofanto. Álgebra Simbólica: XVI y XVII. se utiliza símbolos muy similares a los usados actualmente, siglos

2 Definición: El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo, generalmente es una letra. Definición: Una Variable es una entidad que representa valores desconocidos. Usualmente se emplean las letras minúsculas del alfabeto para indicar a las variables. Ejemplos: x, p, w Por ejemplo, veamos algunas expresiones que empleamos en el lenguaje cotidiano y de qué forma se puede traducir en el lenguaje algebraico. Lenguaje Cotidiano Lenguaje Algebraico El doble de la edad desconocida de Carlos menos cinco. 2x 5 La semi suma de las tres calificaciones obtenidas en matemática. m + n + p 2 La media geométrica de dos cantidades desconocidas. xy Distancia dividida entre tiempo d t Definición: Un término algebraico contiene: Un factor numérico llamado coeficiente. Signo algebraico: Puede ser de relación (>, >, =), operación (*, -, x,, a n n, a), de agrupación tales como la llave, corchete y el paréntesis circular ( ) Variables o incógnitas, generalmente se expresan mediante letras. Grado en relación a la variable: es el exponente de esa letra. Ejemplos. Dados los términos algebraicos, identifique sus elementos básicos. Término Grado en relación a Grado en relación a Coeficiente Signo Variable (s) Algebraico la variable p la variable m 6m 6 - m 0 1 m p m, p p 5 - p 0 2 ap m a, p, m - -1

3 Definición: Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades. Clasificación de las expresiones algebraicas: 1. Monomios: poseen un solo término algebraico. Ejemplo: -mn Polinomios: poseen más de dos términos algebraicos. Ejemplo: x 8ty v p 5 Existen polinomios que reciben nombres especiales: Binomio: posee exactamente 2 términos algebraicos. Ejemplo: 7xp 2 12xyz Trinomio: posee exactamente términos algebraicos. Ejemplo: xp 2 8yz + 5 Orden de un polinomio: a) Ascendente: se ordena el polinomio en orden alfabético de la variable de menor a mayor exponente. Ejemplo. Dado el polinomio 8c 6 5x c + 2xc 4 + c 2 Ordenamos el polinomio en relación a la letra c de menor a mayor exponente, así: 5cx + c 2 + 2c 4 x + 8c 6 b) Descendente: se ordena el polinomio en orden alfabético de la variable de mayor a menor exponente. Ejemplo. Dado el polinomio 11p 7 + 5p p + 7p 5 2p 9 Ordenamos el polinomio en relación a la letra c de mayor a menor exponente, así: 5p 11 2p p 7 + 7p 5 + 9p Antes de avanzar, daremos en breve repaso de una operación fundamental, la Potenciación. Definición: La potenciación es una operación en la cual se multiplica un mismo factor un número de veces dado. Elementos de la potenciación: 1. Base: Factor que se multiplica. 2. Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base.. Potencia: Resultado de la operación potenciación. Ejemplos: Base Exponente Potencia

4 2 5 = = ( 0,5) 4 = 0,5 0,5 0,5 0,5 = 0, ,5 4 0, ( 4 ) = = Regla de los Signos de la Potenciación: 1. Si la base es positiva o negativa y el exponente es par, la potencia resulta positiva. 2. Si la base es positiva y el exponente es impar, la potencia es positiva.. Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. Propiedades Básicas de la Potenciación: Nombre de la Propiedad Exponente uno. Exponente cero. Producto de potencia de igual base. División de potencia de igual base. Potencia de una potencia. Potencia de un producto. Potencia de un cociente Regla enunciada Toda base elevada al exponente uno resulta como potencia la misma base. Toda base, distinta de cero, elevada al exponente cero resulta uno como potencia. Al multiplicar potencias de igual base se escribe la misma base y se adicionan los exponentes. Al dividir potencias de igual base se escribe la misma base y se restan los exponentes. Toda base elevada a un exponente y a su vez está elevada a otro exponente, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. Al multiplicar dos potencias de bases distintas pero de igual exponente se debe multiplicar las bases y se escribe el mismo exponente. Al dividir dos potencias de bases distintas pero de igual exponente se debe dividir las bases y se escribe el mismo exponente. Escritura simbólica Ejemplo Práctico a 1 = a ( 5) 1 = 5 a 0 = 1 ( 5) 0 = 1 a m a n = a m+n a m a n = a m n (a m ) n = (a) m n a m b m = (a b) m a m b m = (a b) m ( 5) 2 ( 5) 4 = ( 5) 6 = ( 5) 12 ( 5) 8 = ( 5) 12 8 = ( 5) 4 = 625 ( 5 2 ) 4 = ( 5) 8 = = (2 ) 4 = 6 4 = = (15 5) = = 27

5 Nombre de la Propiedad Exponente negativo Exponente fraccionario. Regla enunciada Toda base, distinta de cero, elevada a un exponente negativo se debe invertir la base y en exponente cambia a positivo. Toda base elevada a un exponente fraccionario se convierte en una radicación. Escritura simbólica Ejemplo Práctico a m = 1 a m 5 = 1 5 = a m n n = a m 2 2 = 2 2 = 4 Factorización y Producto Notable Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de la variable. Por ejemplo, la identidad trigonométrica senθ = tanθ, se cumple para cualquier valor del ángulo. cosθ Una ecuación es una igualdad que se satisface para ciertos valores de la variable. Por ejemplo, la expresión x 2 4 = 0, se cumple para x = 2; x = +2 Producto Notable Un producto notable es una multiplicación que se puede resolver por simple inspección. Caso 1. Cuadrado de un Binomio A través de una representación gráfica obtendremos el cuadrado de un binomio. Sea ABCD un cuadrado de lados x + y x y Área del Cuadrado ABCD = Suma de las áreas (x + y) 2 = xx + xy + yx + yy x 2 xy x (x + y) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 y yx y 2 Regla: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

6 A) (2x 2 y) 2 (2x 2 y) 2 = (2x 2 ) 2 + 2(2x 2 )( y) + ( y) 2 (2x 2 y) 2 = 4x 4 12x 2 y + 9y 2 (2x 2 y) 2 = 4x x 2 y + 9y 2 B) (x x 2 4xy) 2 (x x 2 4xy) 2 = [(x 4xy) x 2 ] 2 = (x 4xy) 2 + 2(x 4xy)( x 2 ) + ( x 2 ) 2 [(x 4xy) x 2 ] 2 = (x 2 + 2( 4xy)(x) + ( 4xy) 2 ) 6x 2 (x 4xy) + 9y 4 [(x 4xy) x 2 ] 2 = x 2 8x 2 y + 16x 2 y 2 6x + 24x y + 9y 4 C) ( 2 2) 2 ( 2 2) 2 = ( ) 2 + 2( )( 2 2) + ( 2 2) 2 ( 2 2) 2 = 4( )( 2) + ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2 2) 2 = (2) ( 2 2) 2 = ( 2 2) 2 = Caso 2. Cubo de un Binomio El cubo de un binomio se representa gráficamente en tercera dimensión, es decir en R, de la forma: (a + b) = a + a 2 b + ab 2 + a 2 b + ab 2 + a 2 b + ab 2 + b (a + b) = a + a 2 b + ab 2 + b A) (2x 2 y) (2x 2 y) = (2x 2 ) + (2x 2 ) 2 ( y) + (2x 2 )( y) 2 + ( y) (2x 2 y) = 8x 6 9(4x 4 )y + 54x 2 y 2 27y (2x 2 y) = 8x 6 6x 4 y + 54x 2 y 2 27y

7 B)(2 + 2) (2 + 2) = (2 ) + (2 ) 2 ( 2) + (2 )( 2) 2 + ( 2) (2 + 2) = 8( ) 2 ( ) + (2 ) 2 ( 2) + (2 )( 2) 2 + ( 2) (2 + 2) = 8() + (2) 2 ( ) 2 ( 2) + 6( )(2) + ( 2) 2 ( 2) (2 + 2) = 24 + (4)() (2 + 2) = (2 + 2) = Caso. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad. Veamos su representación gráfica: (a-b) 2 ab a 2 b 2 ab a b A) (2x 5)(2x + 5) = 4x 2 25 B) ( 7x c )( 7x + c ) = 7x 2 c 6 C) (0,2 + 2y 2 )(0,2x 2y 2 ) = 0,1024 4y 4 D) ( 4 mx 1 ) ( 4 mx + 1 ) = 9 16 m6x 1 9 Caso 4. Producto de la forma (x+a)(x+b) El producto de la forma (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab 2 x b x x 2 bx 1 a ax ab

8 A) (6m 1)(6m + 4) = 6m 2 + ( 1 + 4)(6)m + ( 1)(4) = 6m 2 54m 52 B) ( 5x + 9)( 5x + 6) = 5x 2 + (9 + 6) 5x + (9)(6) = 5x x + 54 C) ( 7 9 n + 2m2 ) ( 7 9 n m2 ) = n2 + (2 ) ( 7 9 ) m2 n + (2)( )m 4 = n2 7 9 m2 n 6m 4 Caso 5. Producto de la forma (mx+a)(nx+b) El producto de la forma (mx + a)(nx + b) = mnx 2 + (an + bm)x + ab A) (6x + 5)(x + 7) = (6)()x 2 + [(5)() + (6)(7)]x + (5)(7) = 18m x + 5 B) ( 5x + 2)( x ) = ( 5)( )x 2 + [(2)( ) + ( 5)( )]x + (2)( ) = 15x 2 + (2 5)x 6 C) (2m 2 + 1)(m 2 + 4) = (2)()m 4 + [(1)() + (2)(4)]m 2 + (1)(4) = 6m 4 + [ + 8]m = 6m m Es un proceso matemático que permite determinar los factores (multiplicando y multiplicador) de un polinomio. Factor Monomio Caso Cómo se resuelve? Ejemplo Común Factor Común Polinomio. Factor Común por Agrupación. Se determina el factor común monomio y se divide cada término del polinomio entre este factor. Se determina el factor común polinomio y se divide cada término del polinomio dado entre este factor. Se agrupan los términos algebraicos, se determina el factor común y se divide cada término de la expresión dada entre el factor común. 12m 2 n + 24m n 2 6m 4 n 40m 5 n 4 Factor común monomio es: 2m 2 n Se divide todo el polinomio entre este factor común. 2m 2 n(6 + 12m 2 n 18m 2 n 2 20m n ) 12m(x + y 1) 7x 7y m(x + y 1) 7(x + y 1) Factor común polinomio es: x + y 1 Se divide todo el polinomio entre este factor común. (x + y 1)(12m 7) n 2 x 5a 2 y 2 n 2 y 2 + 5a 2 x Asociamos el primer y tercer término y además el segundo y el cuarto término. (n 2 x n 2 y 2 ) + ( 5a 2 y 2 + 5a 2 x) n 2 (x y 2 ) + 5a 2 ( y 2 + x) n 2 (x y 2 ) + 5a 2 (x y 2 ) (n 2 + 5a 2 )(x y 2 )

9 Trinomio Cuadrado Perfecto. Caso Cómo se resuelve? Ejemplo Trinomio de la forma x 2 + bx + x Trinomio de la forma ax 2 + bx + x Diferencia Cuadrados Perfectos b 2 de x 2 Se ordena el polinomio dado, se extraen las raíces del primer y tercer término del trinomio y se verifica que es TCP al duplicar esas raíces halladas. Para factorizar el trinomio, se eleva al cuadrado el binomio que resulta de las raíces halladas anteriormente. Se extrae la raíz del primer término del trinomio ya ordenado. Por tanteo, se buscan dos números a y b que adicionados resulten el coeficiente del segundo término del trinomio y esos mismos números multiplicados resulten el tercer término del trinomio. Los factores son tales que (x+a)(x+b) Se ordena el trinomio dado y se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primero, excepto el término del medio. Se determina la raíz cuadrada del primer término. Se buscan dos números a y b tales que adicionados resulten el coeficiente del segundo término pero que multiplicados resulten el tercer término del trinomio. Se divide los factores (mx+a)(mx+b) por los divisores del primer término del trinomio dado. Se determinan las raíces cuadradas de ambos términos del binomio dado. Al factorizar el binomio dado, se expresa el producto de la suma por la diferencia de esas raíces halladas anteriormente. 1 2y 2 + y 4 Ordenamos el trinomio y 4 2y y 4 = y 2 1 = 1 2(y 2 )(1) = 2y 2 La factorización resulta: (y 2 1) 2 z 2 + 8z 180 z 2 = z = 8 18(10) = 180 Al factorizar resulta: (z + 18)(z 10) 4(c + d) 2 7(c + d) 15 El coeficiente del primer término es 4, se multiplica 4 al primer y tercer término, para el segundo término se deja expresado el producto. 4(4)(c + d) 2 7(4)(c + d) 15(4) 16(c + d) 2 7(4)(c + d) 60 16(c + d) 2 = 4(c + d) 12 5 = 7 12(5) = 60 Se expresa el producto como: [4(c + d) 12][4(c + d) + 5] Se divide este producto anterior por los divisores de 4 que son 4 y 1. [4(c + d) 12] [4(c + d) 12] 4 1 [(c + d) ][4(c + d) + 5] Al factorizar resulta: (c + d )(4c + 4d + 5) 9m 2 p 6w 169 Se extraen las raíces cuadradas de cada término: 9m 2 p 6w = mp w 169 = 1

10 Caso Cómo se resuelve? Ejemplo Los factores son la suma por la diferencia de esas raíces cuadradas: (mp w + 1)(mp w 1) Primero se verifica que sea un cubo Cubo Perfecto de un binomio. Suma Diferencia Cubos Perfectos. o de perfecto: El primero y cuarto término deben tener raíces cúbicas. Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo. Que el tercer término sea el triplo del producto de la raíz cúbica del primero por el cuadrado de la raíz cúbica del segundo. Al factorizar, se expresa como el cubo de la suma o diferencia de las raíces cúbicas del primer y cuarto término del polinomio dado. Se extrae las raíces cúbicas del binomio dado. La suma o diferencia de estas raíces constituyen el primer factor. El segundo factor será igual al cuadrado de la primera raíz cúbica menos o más el producto de las raíces cúbicas anteriores más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. 64x 9 125y x 6 y x y 8 Ordenamos el polinomio 64x 9 240x 6 y x y 8 125y 12 Extraemos las raíces cúbicas del 1 y 4 término del polinomio 64x 9 = 4x 125y 12 = 5y 4 Verificamos que: (4x ) 2 (5y 4 ) = 240x 6 y 4 (4x )(5y 4 ) 2 = 00x y 8 Se trata de un cubo perfecto Al factorizar resulta: (4x 5y 4 ) Veamos una diferencia de cubos: 216m Extraemos las raíces cúbicas de cada término: 216m 9 = 6m 125 = 5 Al factorizar: (6m 5)[(6m ) 2 + (6m )(5) ] (6m 5)(6m 6 + 0m + 25) Veamos una suma de cubos perfectos: m n Extraemos las raíces cúbicas de cada término: m15 = 5 2 m n = 4 n Al factorizar:

11 Caso Cómo se resuelve? Ejemplo ( 5 2 m5 + 4 n) [(5 2 m5 ) 2 + ( 4 n) 2] + ( 5 2 m5 ) ( 4 n) ( 5 2 m5 + n) [ m m5 n n2 ]. PRÁCTICA DE REFUERZO A. Escriba la expresión algebraica que corresponda a cada situación presentada. Lenguaje Cotidiano El triple del producto de dos números desconocidos más la media geométrica de esos mismos números. (*) El cubo de un número desconocidos entre el cuádruplo de la diferencia de otros números desconocidos. (*) La edad desconocida Platón elevada a la sexta potencia más un quinto esa misma edad. La ganancia menos la pérdida dividido entre siete. La semi suma de dos cantidades desconocidas más un tercio la diferencia de esas cantidades. (*) La raíz cuarta, del cuadrado un número desconocido añadido a su mitad. Lenguaje algebraico B. Escriba un enunciado de la vida cotidiana que corresponda a la expresión algebraica dada. Lenguaje algebraico 2x 5y 4 (*) x y (*) (a b) 5(a + b + c) (*) x + y + z a + b a b Lenguaje Cotidiano

12 C. Identifique los elementos de cada término algebraico. Término algebraico Signo Coeficiente 5m n 4 x m 7 (*) (amb) (*) 2 x mx Variable (es) Grado en relación a la variable m D. Diga si la expresión dada corresponde ser monomio o polinomio. Especifique si el polinomio es trinomio o binomio. Expresión algebraico 2x 5y (*) 4 x y + z 7m 8mn 9n 7 11 (*) 5(a + b + c) 9 m 2 Tipología E. Ordene el polinomio dado. Siga la nomenclatura: Ascendente (A), Descendente (D) Lenguaje algebraico ( )c 1 m 4 c 5 + m 6 c 9 m 2 c + m 7 c 11 A: 9m 5 c 7 y a + y 2a y 2a + y a + y a + y a D: w + 7w 10 2 w7 2 5 w2 + w w D: ( )p x 1 p x+2 4p x+ + p x p x+4 p x 2 A: + p x+1 9p x x 6 x 4 y 4 + x y 10 x 5 y 8 + x 2 y 6 9y 12 A: Tipo de ordenamiento F. Resuelva los productos notables. 1. ( )[( x + 1) x] 2 2. [(x + 1) ( x) + x] 2. (5 x) 4. ( 1 2 xy2 2 x2 y) ( 1 2 xy2 + 2 x2 y) 5. (2x + z)(2x + 7z) 6. ( )( 7x + 2)( 7x ) 7. (1 (x + y))((x + y) + 4) 8. [x x y][x x + y]

13 9. (m 11m 2 y) ( )(m 2x 4n y ) 11. (m a+1 17)(m a+1 1) 12. (xy + yz)(xy yz) (x + y)(x z) 1. ( )(7x 2y)(x + 5y) 1. (1 x) 8 G. Factorice las expresiones algebraicas dadas x 2 11x x 8 81y 2. (*)a(x + y z) 2b(x + y z) cx cy + cz 4. ax 2 + x + x 2 + ax 5. x 2 2 7x x 6a 169y 8b 7. ( )216 8m 9 8. n 2 x 5a 2 y 2 n 2 y 2 + 5a 2 x 9. (x 1)( x y) 5 x + 5 y 10. a 2 b + 6ab 5a b 2 + 8a 2 bx + 4ab 2 m 11. 9m 2 12mn + 15m n 2 24an 12. ( )(75x 2 80y 2 ) + xy 2 x + (x + y) 1. 6(m+n) (m n) ( )225a 2 169b a + 26bc c x + 54x x a + 150a 2 b + 60ab 2 + 8b w 9 27v ( )x 12 y z x x m 21. a 2 d 2 + n 2 c 2 2an 2cd 22. (m + n) 2 21(m + n) x 2 + 1x a 2 x + 7y + 21by 7ay 8a x + 24a 2 bx 25. x y x + y x x ( )49a 2 x 2 9y 2 + 6xy x x 2 y x 4 41x 2 y y 4 0. ( )9u u 2 v 2 126v p 10 40p ( )25jk 15j 2 + 1jh 5hk 2h 2. 10h 2 15hk 4hj + 6jk

14 Asignación No. 1: Desarrolle de las secciones A, B, C, D, E los problemas que tienen asterisco (*). Fecha de entrega: Viernes, 29 de mayo del Asignación No. 2: Desarrolle de las secciones F, G los problemas que tienen asterisco (*). Fecha de entrega: Viernes, 5 de juno del 2015.

15 Criterios de Evaluación de la Asignación No. 1 y 2 Escritura algebraica Ordenamiento Operaciones con Expresiones Algebraicas Productos Notables Lo hizo Aspecto a evaluar correctamente (puntaje) Escribió la expresión algebraica adecuada. El polinomio de acuerdo al orden indicado. Adición Identificó los términos algebraicos semejantes En los radicales, extrajo las cantidades del radical. Lo hizo incorrectamente (puntaje) Eliminó el signo de agrupación. 1 0 Resolvió la operación aplicando las reglas de la adición 2 0 Escribió el total 1 0 Multiplicación Multiplicó los coeficientes y los signos. 1 0 Multiplicó la parte literal. 2 0 Multiplicó todos los términos algebraicos. 2 0 Escribió la respuesta. 1 0 División Ordenó el polinomio, si el caso lo ameritaba. 1 0 Dividió el primer término del dividendo entre el primer término del divisor 1 0 Realizó el producto entre el cociente obtenido y el polinomio divisor. 1 0 Redujo los términos semejantes. 2 0 Expresó el cociente resultante 1 0 Identificó el caso del producto notable. 1 0 Aplicó la regla del producto notable. 2 0 Resolvió las operaciones aritméticas indicadas. 2 0 Expresó la respuesta. 1 0

16 Teorema del Binomio de Newton Cocientes Notables Factorización Aplicó la regla del teorema del binomio de Newton. 1 0 Resolvió las combinaciones C(n, r) 1 0 Resolvió las potencias con las variables. 1 0 Resolvió las operaciones aritméticas indicadas. 2 0 Determinó la respuesta. 1 0 Identificó el caso del cociente notable. 1 0 Aplicó la regla del cociente notable. 1 0 Resolvió las operaciones aritméticas indicadas. 2 0 Expresó la respuesta. 1 0 Identificó el caso de factorización al aplicar la regla apropiada. 2 0 Resolvió las operaciones indicadas. 2 0 Expresó la respuesta. 1 0

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