4) Si el menor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la cuarta parte del otro ángulo agudo Cuál es la medida de cada uno de ellos?


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "4) Si el menor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la cuarta parte del otro ángulo agudo Cuál es la medida de cada uno de ellos?"

Transcripción

1 ) La suma de los dígitos de un número de cifras es. Si las cifras del número se invierten, el número resultante es 9 unidades menor que el número original. Cuál es el número original? ) El gerente de un teatro sabe que vendió 40 boletos para una función. Si cada boleto de adulto costo $ 0.00 y cada boleto de niño costó $ y en total recaudó $ 4,00.00 cuál fue el número de boletos de adulto y cual el de niños que vendió?. 4) Si el menor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la cuarta parte del otro ángulo agudo Cuál es la medida de cada uno de ellos? ) Al final de las ventas del día un comerciante encontró que tenía $.00 en monedas de $.00 y $.00, si en total fueron 9 monedas Cuántas tiene de cada denominación? UNIDAD. ECUACIONES CUADRÁTICAS Al finalizar esta unidad: - Utilizarás los métodos de factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable. - Determinarás cuando una ecuación cuadrática no tiene solución real. - Analizarás las condiciones y relaciones que se establecen en un enunciado verbal de un problema que por su naturaleza da lugar a ecuaciones cuadráticas. - Resolverás problemas que involucren en su solución ecuaciones de segundo grado con una variable. Solución de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Para resolver las ecuaciones cuadrática o de segundo grado con una variable, tendrás primero que recordar que tienen la forma: a + b + c = 0 donde a, b y c son números reales cualesquiera, tales que a 0. Para resolver una ecuación de segundo grado es necesario simplificarla y el primer paso es presentar el modelo cuadrático como modelo de primer grado, lo que nos lleva a la necesidad de factorizar. Solución por factorización Para resolver factorizando una ecuación cuadrática debes recordar que la factorización depende de la estructura algebraica. Así: Ejemplo. Si tienes la ecuación de segundo grado + = 0 Ecuación cuya estructura corresponde a un trinomio cuadrático que resulta de la multiplicación de dos binomios con un término común y que para encontrarlos se buscan dos números cuyo producto sea que es el término independiente y su suma sea que es el término independiente. 8

2 Tales números son y, por lo que la ecuación queda epresada como: ( )( ) = 0 Al factorizarla, la ecuación epresa la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero, proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son iguales con cero, generando las ecuaciones = 0 ó = 0 que al despejar a la variable de las ecuaciones generadas nos lleva a obtener las raíces de la ecuación cuadrática, es decir: si = 0 = y si = 0 = por lo que se tiene que y son las raíces de la ecuación + = 0. Ejemplo. Si tienes una ecuación de segundo grado como: 6 = 0 Ecuación cuya estructura corresponde a la de una diferencia de cuadrados la cual se obtiene de la multiplicación de dos binomios conjugados y que para encontrarlos se etrae la raíz cuadrada de y la raíz cuadrada de 6. Tales raíces cuadradas son y 4, por lo que la ecuación queda factorizada como: ( 4)( + 4) = 0 que se cumple si 4 = 0 ó + 4 = 0 y que al despejar a la variable, se obtiene: 4 = 4 = por lo que se tiene que 4 y 4 son las raíces de la ecuación Ejemplo. Si tienes una ecuación de segundo grado como: 6 = = 0 Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio cuadrado perfecto el cual resulta de la multiplicación de un binomio por si mismo o al cuadrado que para encontrarlo se etrae la raíz cuadrada de 4 y la raíz cuadrada de 9. Tales raíces cuadradas son y y como el signo del coeficiente del término lineal es negativo, por lo que la ecuación queda factorizada como: ( )( ) = 0 9

3 que se cumple si = 0 ó = 0 y que al despejar la variable se obtiene: = = como te podrás dar cuenta las dos raíces son iguales por lo que podemos afirmar que es la raíz de multiplicidad de la ecuación =. Ejemplo 4. Si tienes una ecuación de segundo grado como: = 0 Ecuación cuya estructura corresponde a la de un polinomio con un término común y que se factoriza determinando el monomio factor común y dividiendo cada término del polinomio entre él para obtener que el otro factor es +, quedando la ecuación factorizada como: ( + ) = 0 que se cumple si = 0 ó + = 0 y que al despejar la variable, se obtiene: por lo que se tiene que 0 y = 0 + = 0 = son las raíces de la ecuación Ejemplo. Si tienes una ecuación de segundo grado como: =. + = 0 Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio de segundo grado, el cual resulta de la multiplicación de dos binomios y que para encontrarlos se puede multiplicar al coeficiente del término cuadrático por el término independiente cuyo producto es 6 y se buscan dos números cuyo producto sea 6 y su suma sea que es el coeficiente del término lineal. Tales números son 7 y 9 y con ellos se epresa al término lineal utilizando estos números como coeficientes de dos términos lineales que generan el polinomio de cuatro términos: este último se factoriza por agrupación, quedando la ecuación factorizada como sigue: 60

4 ( 7) + ( 7) = 0 ( 7)( + ) = 0 que se cumple si 7 = 0 ó + = 0 y que al despejar la variable, se obtiene: 7 = = por lo que se tiene que 7 y son las raíces de la ecuación + = 0. Ejercicios Contesta cada una de las siguientes preguntas ) Qué es una ecuación cuadrática? ) Cuándo se considera una ecuación cuadrática completa? ) Cuándo se considera incompleta? 4) Aparte de factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas, Qué otras formas para resolverlas conoces? ) Cuál es el número de raíces que tiene una ecuación cuadrática? Elige la opción que corresponde a la de la respuesta correcta: 6) La factorización de y 6y + 9 = 0 es: ( ) a) y y + = 0 b) y 9 ( y + ) = 0 c) y y + 9 = 0 d) ( y )( y ) = 0 7) La factorización de = 0 es: ( + ) = a) 7 0 b) = 0 c) = 0 d ) ( 7) = 0 6

5 8) La factorización de 7y 6 8y = es: ( + y) = a) b) 4 + 9y 4 9y = 0 c) 4 + y 4 + 7y = 0 d y ) (4 9 ) = 0 9) La factorización de = 0 es: ( + ) + = a) 0 (0 ) 0 b) = 0 c) = 0 d)(0 )(0 ) = 0 0) La factorización de 0 + = 0 es: a) + = 0 b) + 0 = 0 c) = 0 d) ( + 0)( ) = 0 ) La factorización de + = 0 es: a) + + = 0 b) = 0 c) + = 0 d) ( + )( ) = 0 ) La factorización de = 0 es: a) = 0 b) = 0 c) + + = 0 d) ( + )( + 4) = 0 6

6 ) Las raíces de la ecuación 6 = 0, son: a) y 6 b) y 6 c) y d) y 4) Las raíces de la ecuación 9 = 0, son: a) y 9 b) 0 y 9 c) y d) 9 y ) Las raíces de la ecuación a) 7 y b) y c) y d) y = 0, son: 6) Las raíces de la ecuación a) y 4 b) y 4 c) y 0 d) 0 y 7) Las raíces de la ecuación 4a a 0 0 y + =, son: + y + =, son: a) 9 y 6 b) 6 y c) de multiplicidad d) de multiplicidad 6

7 8) Las raíces de la ecuación 4m 4m 0 + =, son: a) 4 y b) 4 y c) de multiplicidad d) de multiplicidad 9) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 9 y 7, la ecuación factorizada es: a) = 0 b) 7 9 = 0 c) = 0 d) ( + 7) ( + 9) = 0 0) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son y, la ecuación factorizada es: a) ( + ) = 0 b) ( ) + = 0 c) ( ) = 0 d) + ( ) = 0 ) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 0 y 4, la ecuación factorizada es: ( ) ( ) ( ) a) + 4 = 0 b) 4 = 0 c) 0 ( 4) = 0 d) 4( 0) = 0 ) Si las raíces de una ecuación de segundo grado son y 4, la ecuación es: a ) = 0 b ) 7 + = 0 c ) 4 + = 0 d ) = 0 64

8 ) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son y, la ecuación es: a ) = 0 ) + = 0 b ) + = 0 c ) + = 0 d 4) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son y 7, la ecuación es: a) + 7 = 0 ) 7 0 b c + = ) + + = 0 d ) + = 0 ) Si las raíces de la ecuación de segundo grado son y, la ecuación es: a + + = b + = ) 0 ) 0 c + = ) 0 d + + = ) 0 Solución completando el trinomio cuadrado perfecto En ocasiones la ecuación de segundo grado no es fácil factorizarla por alguno de los procedimientos mostrados en los ejemplos anteriores, por lo que hay que buscar otra forma de factorizarla, lo cual se logra completando un trinomio cuadrado perfecto que es el producto de un binomio por sí mismo, es decir, de elevar al cuadrado un binomio. Ejemplo 6: Si tienes una ecuación de segundo grado como: 6 = 0 primero divides toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es 6, quedando: = 0 6 enseguida completas el trinomio cuadrado perfecto para el binomio sacando mitad 6 al coeficiente del término lineal, que en este caso es, lo elevas al cuadrado y lo sumas 6 y restas para obtener: + =

9 ahora ya tienes la certeza de que + es un trinomio cuadrado perfecto, el cual 6 44 puedes factorizar como y al reducir los término independientes como 44 6, se tiene que la ecuación de segundo grado queda epresada como: 44 6 = 0 44 que es una diferencia de cuadrados y que al factorizarla deja a la ecuación epresada como: que se cumple si obtiene: = = 0 ó + = 0 y que al despejar la variable se = 0 = + = 0 = por lo que se tiene que y son las raíces de la ecuación 6 0 =. Ejercicios: ) Al resolver la ecuación paso correcto al completarlo es: a ) b ) 0 0 ) = 0 c d + = + = ) = = 0 completando el trinomio cuadrado perfecto, el 66

10 ) Al resolver la ecuación + 0 = 0 completando el trinomio cuadrado perfecto, el paso correcto al completarlo es: a ) = 0 ) = 0 b 9 9 c) = d) = Resuelve las siguientes ecuaciones, completando el trinomio cuadrado perfecto: ) + = 0 4) 4 + = 0 ) = 0 ) = 0 Solución utilizando la fórmula general Como sabes, eiste una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, sin embargo, debes saber que esta fórmula proviene de resolver completando el trinomio cuadrado perfecto y factorizando la ecuación completa general a + b + c = 0, proceso que puedes consultar en algún teto de álgebra, consultar con algún profesor o hacerlo siguiendo los pasos descritos en el ejemplo anterior. Así, para la ecuación a b c + + = 0, se tiene: ± = b b 4ac a donde fácilmente puedes observar que: a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término independiente. Ejemplo 7. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo : + = 0 si la resuelves aplicando la fórmula general, primero identificas los parámetros a, b y c de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = b = c = enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando: 67

11 ± = ( ) ( ) 4 ± 9 8 ± ± = = = + = = = = por lo que se tiene que y son las raíces de la ecuación + = 0, valores que coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo, resuelto por factorización. Ejemplo 8. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo : 6 = 0 si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros a, b y c de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = b = 0 c = 6 sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando: ± = ( 6) 0 ± ± 600 ± 40 = = = = = = = 0 0 por lo que se tiene que 4 y 4 son las raíces de la ecuación 6 = 0, valores que coinciden con los obtenidos en el ejemplo, resuelto por factorización. Ejemplo 9. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 4: = 0 si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros a, b y c de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = 0 b = 4 c = 0 sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando: 68

12 ± = 0 4 ± ± 6 4 ± 4 = = = = = = 0 = = = por lo que se tiene que 0 y son las raíces de la ecuación = 0 valores que coinciden con los obtenidos en el ejemplo 4, resuelto por factorización. Ejemplo 0. Si tienes la ecuación cuadrática: 4 7 = 0 si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros a, b y c de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = b = 4 c = 7 sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando: ± = ( 4) ( 4) 4 ( 7) 4 ± ± 44 = = = = + = = como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada no eacta, la cual no tendrá necesidad de etraer ya que al ser un número irracional no tendrás un resultado correcto si la aproimas por lo que se tiene que + y son las raíces de la ecuación 4 7 = 0. Ejemplo. Si tienes la ecuación cuadrática: + = 0 si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros a, b y c de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = b = c = sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando: 69

13 ± = 4 ± 4 8 ± 4 = = como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo la cual no es un número real sino un número imaginario, teniendo entonces: ± 4 8 ± 4 = = ± i = + i i = = + i = = i por lo que se tiene que las raíces de la ecuación no son reales sino complejas, es decir, + i y i son las raíces de la ecuación + = 0. Ejercicios: ) Al resolver la ecuación general a + b + c = 0, si b 4ac > 0, en la fórmula general. a) Las raíces son reales y simétricas. b) Las raíces son imaginarias y simétricas c) Las raíces son reales y diferentes. d) Las raíces son imaginarias y diferentes. ) Al resolver la ecuación general a b c a) Las raíces son reales e iguales. b) Las raíces son reales y diferentes. c) Las raíces son reales y simétricas. d) Las raíces son imaginarias e iguales. + + = 0, si b 4ac =0. ) Al resolver la ecuación general a b c + + = 0, si b 4ac < 0 a) Las raíces son complejas b) Las raíces son reales. c) Las raíces son imaginarias e iguales. d) Las raíces son enteras. 70

14 Resuelve utilizando la fórmula general, las ecuaciones: 4) ) 6) 7) 8) + 0 = = 0 7 = = = 0 Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas A partir del siguiente problema, trata de identificar las relaciones que eisten entre los datos que se te proporcionan y los resultados que debes obtener. Ejemplo. Se construye una calle que cruza en diagonal sobre un terreno rectangular, de tal manera que éste queda dividido en dos partes iguales en forma de triángulo. Si la longitud de la calle es de 00 m., cuáles son las longitudes del ancho y largo del terreno, si ambas suman 700m? Iniciamos la solución usando una figura que simula al problema y donde podrás observar que la calle divide al terreno en dos triángulos rectángulos congruentes donde simboliza el ancho y 700 al largo. 00 m Aplicando el Teorema de Pitágoras. Tenemos: ( ) = = = 0 Simplificando : = 0 Este modelo corresponde a una ecuación de segundo grado, la cual se resuelve fácilmente mediante factorización para lo cual buscamos dos números que multiplicados dan 0000 y sumados 700, quedando: 7

15 ( 00)( 400) = 0 relación que se cumple con : 00 = 0 = 00 y con 400 = 0 = 400 Por lo tanto las medidas de los lados del terreno son: 00 y 400 metros. Ejemplo. Completa lo que se señala: Raúl Márquez quiere instalar un telón rectangular en un teatro. Si sabe que necesita m de tela y que la altura del escenario es 0 metros menos que el doble de su ancho Cuáles son las medidas de la tela que necesita? Incógnitas y datos: Altura: 0 Ancho: Ecuación: ( 0) = 0 = 0 = 0 resuelve la ecuación para lo cual te recomendamos que dividas a la ecuación entre que es el coeficiente del término cuadrático. Después de hacerlo la ecuación queda: Resuélvela y da la solución del problema Resuelve los siguientes problemas cuyo modelo es una ecuación cuadrática. ) Cuáles son los dos números enteros cuya suma es y la suma de sus cuadrados es 77? ) Si el área de un terrero de forma rectangular es de 0 m Cuál es su perímetro si su largo ecede m al doble de su ancho? ) Un auditorio tiene 600 asientos. El número de asientos de cada fila es menor en 0 unidades que el doble del número de filas Cuál es el número de asientos en cada fila? 4) Cuáles son los factores negativos de 89 tales que su diferencia es? ) El perímetro de un terreno rectangular es de 4 m y su área de 60 m. Cuáles son sus dimensiones? 7

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 1.- Introducción:.- Propiedades básicas: E.P de Administración y Negocios Internacionales Facultad de Ciencias Empresariales U.A.P 1 3.- Planteamiento de proposiciones

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR GUÍA DE ESTUDIO PARA MATEMÁTICAS II (ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR GUÍA DE ESTUDIO PARA MATEMÁTICAS II (ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA) UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR GUÍA DE ESTUDIO PARA MATEMÁTICAS II (ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA) Elaborada por los profesores: Guadalupe Xochitl Chávez Pérez

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Ecuaciones de Segundo Grado -- página 1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Ejercicio 1: Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones: a) 5 + 8 + b) + + ( )( + ) c) + 1 a) El primer

Más detalles

Proyecto Guao FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

Proyecto Guao FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO Y si tuvieras una expresión trinomial cómo? Cómo factorizas esta expresión? Después de completar esta lección, serás capaz de factorizar trinomios de cuadrados perfectos como

Más detalles

Comprueba que 5 2 es una raíz del polinomio 2x3 9x x 5. EJERCICIO RESUELTO. Entonces: x 3 + 2x x + 3 = ( x + 1) ( x 2 + x + 3)

Comprueba que 5 2 es una raíz del polinomio 2x3 9x x 5. EJERCICIO RESUELTO. Entonces: x 3 + 2x x + 3 = ( x + 1) ( x 2 + x + 3) Polinomios 7. Teorema del resto. Factorización Polinomios Actividades Aprenderás a Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma a como el valor numérico para = a. Aplicar

Más detalles

CURSO PROPEDÉUTICO 2017

CURSO PROPEDÉUTICO 2017 CURSO PROPEDÉUTICO 2017 1 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS OBJETIVO Formar estudiantes altamente capacitados, que cuenten con competencias y conocimientos para construir y utilizar técnicas que contribuyan a

Más detalles

Factorizando : ( x 3)( x 2) 0

Factorizando : ( x 3)( x 2) 0 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto

Más detalles

PRODUCTO NOTABLE. Producto Notable

PRODUCTO NOTABLE. Producto Notable PRODUCTO NOTABLE Producto Notable Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: Un trinomio

Más detalles

SOLUCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS TEMA SOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS POR FACTORIZACIÓN

SOLUCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS TEMA SOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS POR FACTORIZACIÓN CURSO MATE 0066 Verano 009 SOLUCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS TEMA SOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS POR FACTORIZACIÓN 1. Igualando a cero la epresión tenemos una ecuación polinómica de la forma + b + c.

Más detalles

Ecuaciones segundo F H G I K J H G I K J. Cómo se llama al nº que está dentro de la raíz? Despeja x en las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones segundo F H G I K J H G I K J. Cómo se llama al nº que está dentro de la raíz? Despeja x en las siguientes ecuaciones: Ecuaciones segundo 1 Cuadrado Raíz 1 Qué es el cuadrado de un número? Calcula: a)( ) b) 7 c) 16 d) 0 e) 4 f ) 0 g) 4 Cómo se llama al nº que está dentro de la raíz? Despeja en las siguientes ecuaciones:

Más detalles

Materia: Matemática de Octavo Tema: Raíces de un polinomio. Marco teórico

Materia: Matemática de Octavo Tema: Raíces de un polinomio. Marco teórico Materia: Matemática de Octavo Tema: Raíces de un polinomio Y si tuvieras una ecuación polinómica como? Cómo podrías factorizar el polinomio para resolver la ecuación? Después de completar esta lección

Más detalles

Una de las cosas más útiles de la factorización es que podemos resolver ecuaciones polinómicas a través de ella. Ejemplo A

Una de las cosas más útiles de la factorización es que podemos resolver ecuaciones polinómicas a través de ella. Ejemplo A RAÍCES DE UN POLINOMIO Y si tuvieras una ecuación polinómica como? Cómo podrías factorizar el polinomio para resolver la ecuación? Después de completar esta lección serás capaz de resolver ecuaciones polinómicas

Más detalles

Ecuación Función cuadrática

Ecuación Función cuadrática Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función cuadrática - Ecuaciones de segundo grado Traslaciones de función cuadrática y función raíz Nivel: 3 Medio Ecuación Función cuadrática 1. Ecuación cuadrática

Más detalles

IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES

IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO Chía, Mayo de 07 Señores Estudiantes Grados 0,07,0, a continuación encontrarán una serie de ejercicios que han sido bajados

Más detalles

SERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA.

SERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA. SERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA. 1.- REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Recuerde que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos: *7m; 5m

Más detalles

LECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

LECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Tenemos un cuadrado cuyos lados miden ( + + ) = + por lo que el área sería: Largo. ancho = ( + ).( + ) = ( + ) Pero ya se conoce el área total que es 9 unidades cuadradas Entonces: ( + ) = 9 donde despejando

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: 3 B, 3 D, 3 F (todos)

Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: 3 B, 3 D, 3 F (todos) Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: B, D, F (todos) Introducción. En las semanas anteriores nos hemos abocado al estudio de la función cuadrática. Así, has aprendido

Más detalles

Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos. x 2 8x + 15 = 0. x = 8 ± 4 2

Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos. x 2 8x + 15 = 0. x = 8 ± 4 2 Ecuaciones Ecuación cuadrática Ejercicios resueltos 1. Resolver la ecuación: ( 3)( + 4) = 1( ) ( 3)( + 4) = 1( ) + 5 1 = 1 4 8 + 15 = 0 coeficientes de la ec. cuadrática: a = 1, b = 8, c = 15 Discriminante

Más detalles

Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón:

Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón: Instituto Tecnológico de Saltillo. Cuadernillo de Ejercicios de Álgebra. CURSO DE NIVELACIÓN DE ÁLGEBRA 2013 Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón: CONTENIDO DEL CUADERNILLO. UNIDAD NÚMEROS REALES.

Más detalles

Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría

Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares.

Más detalles

2 x 3y 5 y. Luego el. 5 4x y 5 4x 5 x Así el segundo punto será: (5/4, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: 2x 3y 5

2 x 3y 5 y. Luego el. 5 4x y 5 4x 5 x Así el segundo punto será: (5/4, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: 2x 3y 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, PROBLEMAS DE APLICACIÓN, NUMEROS COMPLEJOS Y ECUACION CUADRATICA. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de ecuaciones

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES.

ECUACIONES E INECUACIONES. CAPÍTULO 3 ECUACIONES E INECUACIONES www.mathspace.jimdo.com mathspace.jimdo@gmail.com 3.1. ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable,

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación

Más detalles

a) Factoriza el monomio común. En este caso 6 se puede dividir de cada término:

a) Factoriza el monomio común. En este caso 6 se puede dividir de cada término: Materia: Matemática de 5to Tema: Factorización y Resolución de ecuaciones 1) Factorización Marco Teórico Decimos que un polinomio está factorizado completamente cuando no podemos factorizarlo más. He aquí

Más detalles

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA DURACION 3

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

UNIDAD DE APRENDIZAJE VI UNIDAD DE APRENDIZAJE VI Saberes procedimentales 1. Interpreta y utiliza correctamente el lenguaje simbólico para el manejo de expresiones algebraicas. 2. Relaciona la ecuación algebraica de segundo grado

Más detalles

Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón:

Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón: Instituto Tecnológico de Saltillo. Cuadernillo de Ejercicios de Álgebra. CURSO DE NIVELACIÓN DE ÁLGEBRA 2011 Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón: CONTENIDO DEL CUADERNILLO. UNIDAD NÚMEROS REALES.

Más detalles

PRODUCTOS NOTABLES. Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.

PRODUCTOS NOTABLES. Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. PRODUCTOS NOTABLES Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo

Más detalles

CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS

CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N : FACTORIZACION

Más detalles

Ejercicios resueltos de factorización

Ejercicios resueltos de factorización Ejercicios resueltos de factorización Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios. a) 3x 3 y 2 + 9x 2 y 2 18xy 2 Solución: Se observa que hay factores comunes entre los términos del

Más detalles

LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008)

Más detalles

Para encontrar el valor de k sustituimos el valor de h en la función inicial.

Para encontrar el valor de k sustituimos el valor de h en la función inicial. .3.4 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS. Ejemplo 1. Construir la gráfica de la siguiente función f()= -4-5, estableciendo su dominio, rango, las coordenadas de su vértice sus raíces (método de

Más detalles

UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN

UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN Factorizar quiere decir descomponer en factores, los factores son divisores de una expresión que, multiplicados entre sí, dan como resultado la primera expresión. FACTOR COMÚN

Más detalles

UNIDAD VII.- ECUACIONES Y DESIGUALDADES. Una ecuación es lineal si el exponente de la variable que aparece en dicha ecuación es uno.

UNIDAD VII.- ECUACIONES Y DESIGUALDADES. Una ecuación es lineal si el exponente de la variable que aparece en dicha ecuación es uno. UNIDAD VII.- ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ecuaciones Lineales Ecuación: Es una epresión algebraica en la que debe aparecer el símbolo de igualdad =, y la cual resolverla, consiste en encontrar los valores

Más detalles

Listo para seguir? Intervención de destrezas

Listo para seguir? Intervención de destrezas Listo para seguir? Intervención de destrezas 8-1 Factores y máximo común divisor Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 8-1 y el Glosario multilingüe. Vocabulario factorización prima máximo

Más detalles

Unidad 4 Lección 4.2. Ceros Complejos y Funciones Racionales

Unidad 4 Lección 4.2. Ceros Complejos y Funciones Racionales Unidad 4 Lección 4. Ceros Complejos y Funciones Racionales 0//07 de 9 Actividades 4. Referencias: Sección 4. Ceros Complejos; Vea Ejemplo, y 4: Problemas impares 5 7, 5-; 5, 7, 49, 50, 55 y 57. Sección

Más detalles

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. -PA-0 FACTORIZACION V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 0 en dos de sus divisores :, es decir 0 = Y

Más detalles

Semana 6. Factorización. Parte I. Semana Productos 7 notables. Parte II. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es...

Semana 6. Factorización. Parte I. Semana Productos 7 notables. Parte II. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Semana Productos 7 notables. Parte II Semana 6 Empecemos! El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factorización, dado que son

Más detalles

Una variable es una cantidad que se simboliza por una literal y que puede tomar diferentes valores.

Una variable es una cantidad que se simboliza por una literal y que puede tomar diferentes valores. MATEMÁTICAS BÁSICAS TEORÍA DE ECUACIONES DEFINICIÓN DE OLINOMIO Y DE ECUACIÓN Una variable es una cantidad que se simboliza por una literal y que puede tomar diferentes valores. Una constante es una magnitud

Más detalles

es una identidad algebraica

es una identidad algebraica MATEMÁTICAS BÁSICAS ECUACIONES CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores y se

Más detalles

EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicio nº.- Epresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados: a El 0% de un número. b El área de un rectángulo de base cm y altura desconocida.

Más detalles

4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1)

4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1) 4 Operaciones con polinomios 1. Operaciones con polinomios Desarrolla mentalmente: a) ( + 1) 2 b)( 1) 2 c) ( + 1)( 1) P I E N S A Y C A L C U L A a) 2 + 2 + 1 b) 2 2 + 1 c) 2 1 1 Dados los siguientes polinomios:

Más detalles

CEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas

CEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas TEMA 4. Expresiones algebraicas: 1. Una expresión algebraica es una expresión formada por operadores algebraicos que combinan operandos que pueden ser letras o números. Las letras se llaman variables y

Más detalles

Unidad 7. Ecuaciones de segundo grado con una inc ógnita. Parte I. Objetivos:

Unidad 7. Ecuaciones de segundo grado con una inc ógnita. Parte I. Objetivos: En la política es como en las matemáticas: todo lo que no esté totalmente correcto, está mal. Edward Kennedy Unidad 7 Ecuaciones de segundo grado con una inc ógnita Parte I Objetivos: incógnita. ÁLGEBRA

Más detalles

PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES

PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES PREEVALUACIÓN CURSO 0 SOLUCIONES Problema. Dado el número decimal 9, encuentra su representación binaria. Solución. Para encontrar la representación binaria del número, lo pondremos en una columna, en

Más detalles

DESARROLLO. a 2 ± 2ab + b 2. La cual para factorizarla, se deben seguir los siguientes pasos

DESARROLLO. a 2 ± 2ab + b 2. La cual para factorizarla, se deben seguir los siguientes pasos ENCUENTRO # 3 TEMA: Casos de Factorización CONTENIDOS:. Trinomio cuadrado perfecto. 2. Trinomio x 2 + bx + c. 3. Trinomio ax 2 + bx + c. 4. Casos especiales. Ejercicio reto. Una prueba tiene 25 preguntas,

Más detalles

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones

Más detalles

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. Resolución Aprobación de Estudios No. 0-0 de Noviembre de 008 Código DANE No. 7900079 Nit: 8980- GU-PA-0 /07/08-V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto

Más detalles

Mó duló 06: Á lgebra Elemental II

Mó duló 06: Á lgebra Elemental II INTERNADO MATEMÁTICA 016 Guía para el Estudiante Mó duló 06: Á lgebra Elemental II Objetivo: Factorizar expresiones algebraicas y generalizar la operatoria de fracciones por medio del álgebra, que le permita

Más detalles

Polinomios y fracciones

Polinomios y fracciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicios y problemas. Binomio de Newton 6 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) 3 8 3 y + 6y y 3 7 Desarrolla el siguiente binomio

Más detalles

ECUACIONES. Sergio Stive Solano Sabié 1. Julio de 2013 MATEMÁTICA. Sergio Solano. Ecuaciones. Clases de ecuaciones

ECUACIONES. Sergio Stive Solano Sabié 1. Julio de 2013 MATEMÁTICA. Sergio Solano. Ecuaciones. Clases de ecuaciones ECUACIONES Sergio Stive Solano 1 Julio de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com ECUACIONES Sergio Stive Solano 1 Julio de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com Una ecuación

Más detalles

TEMA: FACTORIZACIÓN MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TEMA: FACTORIZACIÓN MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS TEMA: FACTORIZACIÓN Aspectos históricos del algebra: Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del algebra. A finales del SVIII floreció la escuela de Bagdad (SIX al XII), a la que pertenecían

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 2011

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 2011 UNEFA C.I.N.U. Matemáticas 0 ALGUNOS MÉTODOS PARA FACTORIZAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008)

Más detalles

UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS. Como podrás recordar, en fracciones numéricas,, para simplificarlas era muy sencillo, pues por

UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS. Como podrás recordar, en fracciones numéricas,, para simplificarlas era muy sencillo, pues por UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificación de Fracciones Algebraicas 8 Como podrás recordar, en fracciones numéricas,, para simplificarlas era mu sencillo, pues por 5 5 ejemplo para

Más detalles

GUÍA DE APRENDIZAJE. PROCESO: Prestación del Servicio / Educación Superior

GUÍA DE APRENDIZAJE. PROCESO: Prestación del Servicio / Educación Superior GUÍA UNIDAD No. 04 Programa: Procesos Aduaneros Semestre: Primero 2012 Asignatura: Matemáticas Básicas Nombre Unidad: Factorización Subtemas: Casos de factorización Metodología de Formación: Presencial

Más detalles

Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5

Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5 Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio entre otro monomio de grado igual

Más detalles

FUNDAMENTOS NUMÉRICOS

FUNDAMENTOS NUMÉRICOS SEMANA 3 ÍNDICE ECUACIONES... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS... 3 INTRODUCCIÓN... 3 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD... 4 ECUACIONES... 4 ECUACIONES LINEALES... 4 ECUACIONES CUADRÁTICAS... 5 RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Más detalles

OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS

OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICITT Álgebra e iπ + φ φ 0 III Nivel I Eliminatoria Marzo 06 Índice. Presentación. Contenidos 3. Algunos consejos útiles 4. Problemas

Más detalles

La ecuación de segundo grado.

La ecuación de segundo grado. La ecuación de segundo grado. Sean números reales Se denomina ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) en la variable a la ecuación cuya forma canónica es Ejemplos. Son ecuaciones cuadráticas:

Más detalles

MATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde

MATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde MATERIALES: Cuaderno de 00h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde FACTORIZACION - Casos de Factorización - Factor común - Factor común por agrupación

Más detalles

Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior

Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales

Más detalles

Unidad 1: Funciones de Potencia Tema 2: Función cuadráticas Lección 3: Soluciones

Unidad 1: Funciones de Potencia Tema 2: Función cuadráticas Lección 3: Soluciones 1 Unidad 1: Funciones de Potencia Tema : Función cuadráticas Lección 3: Soluciones 10 A.RE.10.4.5 Resuelve ecuaciones e desigualdades cuadráticas con coeficientes reales sobre el conjunto de números reales

Más detalles

Colegio Universitario Boston. Álgebra

Colegio Universitario Boston. Álgebra 1 Factorización de Polinomios En el estudio de la matemática uno de los temas más importantes que encontramos es el de la factorización de polinomios. Este procedimiento nos permite aprender a expresar

Más detalles

Factorización. A 1 A 2 X ancho. f) A T = 352 m 2 largo largo Desarrollo: a) L 1 = 20m b) L 2 = 24m c) A 1 =? d) A 2 =? e) X = ancho 20 cm. 24 cm.

Factorización. A 1 A 2 X ancho. f) A T = 352 m 2 largo largo Desarrollo: a) L 1 = 20m b) L 2 = 24m c) A 1 =? d) A 2 =? e) X = ancho 20 cm. 24 cm. Factorización La Factorización se procede en forma contraria al desarrollo de Productos Notables es decir, nos dan un polinomio que debemos expresar como multiplicación (factores). Presentándosenos los

Más detalles

La asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades:

La asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades: La asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades: Intelectuales, como: El razonamiento lógico y flexible, la imaginación, la inteligencia espacial, el cálculo mental, la creatividad,

Más detalles

USO DE LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO 5.1.3

USO DE LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO 5.1.3 USO DE LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO 5.1.3 El gráfico de una función cuadrática, una parábola, es una curva simétrica. Su punto más alto o más bajo recibe el nombre de vértice. El gráfico de una parábola

Más detalles

PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas

PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas que se resuelven siguiendo Reglas y Fórmulas específicas para cada caso y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir

Más detalles

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma: ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma: ax 2 + bx + c = 0, en donde a, b y c son constantes, con a IR, b IR y c IR, además a 0 y x es la

Más detalles

Respuesta: Resolver la ecuación aplicando completación de cuadrados En donde a=1,b=6,c=8. Para ello se siguen los siguientes pasos.

Respuesta: Resolver la ecuación aplicando completación de cuadrados En donde a=1,b=6,c=8. Para ello se siguen los siguientes pasos. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. INTRODUCCIÓN En el campo laboral tiene utilidad como por ejemplo en química, cinética química para describir la variación en la concentración de reactantes respecto

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS Capítulo 8 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS 8.. 8..4 En el Capítulo 8, los alumnos aprenderán a reescribir epresiones cuadráticas y resolver ecuaciones cuadráticas. Las funciones cuadráticas son

Más detalles

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Qué vas a aprender: Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Al finalizar la sección - asegúrate

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Temario: Definición de epresiones algebraicas y clasificación. Polinomio, grado. Operaciones. Regla de Ruffini. Factorización de Polinomios.

Más detalles

2. Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término. a2 = a

2. Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término. a2 = a ENCUENTRO # 3 TEMA: Casos de Factorización EJERCICIOS RETO:. Una prueba tiene 25 preguntas, y por cada respuesta correcta se dan 4 puntos y se les resta un punto por cada respuesta incorrecta. Si se omite

Más detalles

LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN

LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN Factorizar es transformar un número o una expresión algebraica en un producto. Ejemplos: Transformar en un producto el número 6

Más detalles

UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas

UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas Pág. 1 de 3 I. Sabes operar polinomios con agilidad y obtener el cociente y el resto de una división? 1 Multiplica y simplifica las siguientes epresiones: 4( 4) 2 + 3( 2 2 + 3) 2( 2 + 5) = b) (3y 1)(3y

Más detalles

Resumen anual de Matemática 1ª Convocatoria: jueves 24 de noviembre, 2016 Octavo nivel 2ª Convocatoria: miércoles 1 de febrero, 2017 broyi.jimdo.

Resumen anual de Matemática 1ª Convocatoria: jueves 24 de noviembre, 2016 Octavo nivel 2ª Convocatoria: miércoles 1 de febrero, 2017 broyi.jimdo. Resumen anual de Matemática 1ª Convocatoria: jueves 4 de noviembre, 016 Octavo nivel ª Convocatoria: miércoles 1 de febrero, 017 broyi.jimdo.com Contenidos Los números... Objetivo 1... El conjunto de los

Más detalles

1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES

1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Álgebra 1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b y 5a 2 b son

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Polinomios Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras relacionados por operaciones aritméticas: suma, resta, producto, división y potenciación. Ejemplos

Más detalles

Capítulo 8. Ecuaciones de segundo grado

Capítulo 8. Ecuaciones de segundo grado Capítulo 8 Ecuaciones de segundo grado Conceptos Toda ecuación de la forma ax' + bx + c _ 0, en la que a ;4, es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática. La ecuación de segundo grado, en la

Más detalles

Matemáticas III. Geometría analítica

Matemáticas III. Geometría analítica Matemáticas III. Geometría analítica Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales

Más detalles

Factorización de polinomios: Trinomios cuadráticos. Prof. Luisa Leonardo Suárez Prof. Yuitza T. Humarán Prof. Caroline Rodríguez

Factorización de polinomios: Trinomios cuadráticos. Prof. Luisa Leonardo Suárez Prof. Yuitza T. Humarán Prof. Caroline Rodríguez Factorización de polinomios: Trinomios cuadráticos Prof. Luisa Leonardo Suárez Prof. Yuitza T. Humarán Prof. Caroline Rodríguez Método de tanteo cuando a=1 Cuando los trinomios cuadráticos ax + bx + c

Más detalles

Curso: Octavo grado Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Curso: Octavo grado Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Curso: Octavo grado Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de epresiones algebraicas, a ecepción de la división

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS. Áreas Matemáticas Conocimientos Previos

GUÍA DE EJERCICIOS. Áreas Matemáticas Conocimientos Previos GUÍA DE EJERCICIOS Áreas Matemáticas Conocimientos Previos Resultados de aprendizaje. Identificar y realizar factorizaciones de expresiones algebraicas. Contenidos 1. Factorización de expresiones algebraicas.

Más detalles

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer

Más detalles

BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - 2ª PARTE

BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - 2ª PARTE BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - ª PARTE Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

Nivel Secundario Área: Matemática Grado: 3ero.

Nivel Secundario Área: Matemática Grado: 3ero. Nivel Secundario Área: Matemática Grado: 3ero. Área: Matemática (Numeración, Polinomios) Nivel Secundario Grado: 3ero. fundamental(es): Competencia Ética y Ciudadana Competencia Resolución de Problemas

Más detalles

cada uno de los términos que lo forman:

cada uno de los términos que lo forman: Curso 016-017 Pág. 1 de 11 UNIDAD 5 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 1. MONOMIOS Y POLINOMIOS Actividades de clase 1.1. Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios: a. 6 b.

Más detalles

Matemáticas 3. ax + by + c = 0

Matemáticas 3. ax + by + c = 0 Matemáticas 3 Ecuaciones Lineales Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado con 2 incógnitas cuya forma general es: ax + by + c = 0 a, b, c son constantes reales, X, Y" son variables. Toda ecuación

Más detalles

Para ver una explicación detallada de cada caso, haga Click sobre el nombre del caso:

Para ver una explicación detallada de cada caso, haga Click sobre el nombre del caso: Para ver una explicación detallada de cada caso, haga Click sobre el nombre del caso: 1. Factor común monomio 2. Factor común por agrupación de términos 3. Trinomio de la forma 4. Trinomio de la forma

Más detalles

FACTORIZACIÓN. Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores.

FACTORIZACIÓN. Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores. FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir o representar una epresión algebraica como producto de sus factores. Ejemplo: 5 ( 5)( 5) Una epresión queda completamente factorizada cuando se representa como el producto

Más detalles

FACTORIZACIÓN. De acuerdo con lo anterior, el resultado de una factorización siempre será un producto.

FACTORIZACIÓN. De acuerdo con lo anterior, el resultado de una factorización siempre será un producto. FACTORIZACIÓN. Factorizar consiste como su nombre lo indica, en obtener factores y como factores los elementos de una multiplicación, entonces factorizar es convertir una suma en una multiplicación indicada

Más detalles

MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES. Factorización

MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES. Factorización Factorización En la Factorización se procede en forma contraria al desarrollo de Productos Notales es decir, nos dan un polinomio que deemos expresar como multiplicación (factores). Presentándosenos los

Más detalles

Álgebra 2. Plan de estudios (305 temas)

Álgebra 2. Plan de estudios (305 temas) Álgebra 2 Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales pueden personalizar el

Más detalles

UNIDAD 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

UNIDAD 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES UNIDAD 1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de la unidad, el alumno: Reconoce cuando un sistema de ecuaciones es lineal o no, y cuáles son sus incógnitas. Aplica el método

Más detalles

OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Suma de monomios

OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Suma de monomios OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de

Más detalles

INECUACIONES LINEALES

INECUACIONES LINEALES INECUACIONES POLINÓMICAS EN UNA VARIABLE Las inecuaciones en general, son desigualdades entre epresiones algebraicas en las que intervienen una o más variables. Cuando las epresiones algebraicas de cada

Más detalles

Polinomios II. I. Regla de Ruffini

Polinomios II. I. Regla de Ruffini Polinomios II En las matemáticas se define el polinomio como una expresión que está formada por un número finito de variables (no conocidas) y constantes (coeficientes) siendo muy utilizados en las matemáticas

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE III

UNIDAD DE APRENDIZAJE III MATEMÁTICAS I ALGEBRA Unidad de Aprendizaje III UNIDAD DE APRENDIZAJE III Saberes procedimentales Saberes declarativos Expresa un polinomio en sus factores primos A Concepto de factores primos algebraicos

Más detalles

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA La pendiente es un número que indica lo inclinado (o plano) de una recta, al igual que su dirección (hacia arriba o hacia abajo) de

Más detalles
Sitemap