1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES


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1 MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Álgebra 1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b y 5a 2 b son semejantes. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b + 5a2b = 3a 2 b 10x 2 z 3 22x 2 z 3 = -12x 2 z 3 Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: La operación 12a 2 b + 13ab 2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes. 1.2 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: (1) Si aparece un signo + delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. (2) Si aparece un signo - delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. 2ab (a + ab) + (3a 4ab) = Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 2ab a ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes: -2ab + 2a - ab 1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de monomios:

2 se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. 2x 2 y 3 z 4x 4 y 2 = 8x 6 y 5 z Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: el monomio multiplica a todos los términos del polinomio. 2ab (3a - ab 2 + 4b 2 c 2 ) = 2ab 3a - 2ab ab 2 + 2ab 4b 2 c 2 = 6a 2 b 2a 2 b 3 + 8ab 3 c 2 Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio. (2a - 3b2c) (4a2+ 5ab3) = 2a 4a 2 + 2a 5ab 3 3b 2 c 4a 2 3b 2 c 5ab 3 = 8a ab 3 12 a 2 b 2 c 15 ab 5 c Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo. (2x 3y + 4z 2 ). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x 5x + 2x 2xy + 2x 4xz 2 3y 5x 3y 2xy 3y 4xz 2 + 4z 2 5x + 4z 2 2xy + 4z 2 4xz 2 = 10x 2 + 4x 2 y + 8x 2 z 2 15xy 6xy 2 12xyz xz 2 + 8xyz xz PRODUCTOS NOTABLES Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente. Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a 2 b 2 Cuadrado de binomio: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Multiplicación de binomios con término común: (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac

3 Cubo de binomio: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Para un estudio de productos notables, puedes visitar la siguiente página: PHPSESSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab FACTORIZACIÓN Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: Factor común Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. 15x 2 y 2 z 3 5xy 3 z x 4 y 4 z 3 Aquí el factor común es: 5xy 2 z 2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 15x 2 y 2 z 3 5xy 3 z x 4 y 4 z 3 = 5xy 2 z 2 (3xz y + 2x 3 y 2 z), lo que corresponde a su factorización. Diferencia de cuadrados Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases. a 2 b 2 = (a + b) (a b) 25a 2 16b 4 Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b 2 Por lo tanto: (5a) 2 (4b 2 ) 2 = (5a + 4b 2 ) (5a - 4b 2 ) Factorización de trinomio cuadrático perfecto Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 16x 2 24xy + 9y 2 En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x 2 = (4x) 2 y 9y 2 = (3y) 2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

4 (4x - 3y) 2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto En este caso hay dos subcasos: Caso en que el coeficiente cuadrático es 1 Utilizando el producto notable producto de binomios con término común : (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x 2 + px + q x 2 10x + 24 El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto: x 2 10x + 24 = (x 4)(x - 6) Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1 2x 2 + 7x 15 Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático: El numerador se puede factorizar de la forma, donde y son números tales que y. Estos números son: 10 y -3:

5 Diferencia de cubos: La expresión es el cubo de y es el cubo de, por lo tanto: Ocupando que y en la expresión dada, tenemos que: 2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de realizar las operaciones y reducir términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es uno. Para resolver una ecuación de primer grado se deben transponer los términos, esto es: traspasarlos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro. Cada vez que transponemos un término cambia de signo, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: Primero desarrollamos todas las operaciones: ; dividiendo por 6: ; simplificando por 2 se obtiene que

6 2.1 Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales además de la incógnita, y que no son incógnitas, sino que deben considerarse como valores constantes. Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos una ecuación en concreto: Tal como en el caso anterior efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y transponemos términos: : Por lo tanto: 2.2 Planteo de ecuaciones de primer grado Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas trasformar un enunciado en una expresión algebraica. A continuación te entregaremos una lista de trasformaciones: El doble de a 2a El triple de b.3b El cuádruplo de c 4c El cubo de e...e 3 El antecesor del n entero f..f 1 El sucesor de n entero g. g + 1 El cuadrado del doble de h. (2h) 2 El doble del cuadrado de i.. 2i 2 Un número par.. 2x Un número impar..2x+1 Dos números consecutivos.. x; x+1

7 Dos números pares consecutivos.2x; 2(x+1) Dos números impares consecutivos 2x+1; 2x+3 La mitad de x. La tercera parte de y

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