Factorización - Álgebra


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1 Factorización - Álgebra Ana María Beltrán Docente Matemáticas Febrero 4 de Qué es factorizar? Definición 1. Factorizar un polinomio es representarlo mediante el producto de otros polinomios de menor grado. Cuando un polinomio no se puede factorizar, es irreducible. Ejemplo 1. Determinemos los factores primos de 54x 2 y 3 54x 2 y 3 = x x y y y 18x 3 y 18x 3 y = x x x y 2 Casos de factorización 2.1 Factor común Para hallar el factor común de los términos de un polinomio calculamos el máximo común divisor de los coeficientes y el máximo común divisor de la parte literal. El producto de los resultados obtenidos es el factor común. El polinomio se puede escribir como el producto del factor común por la expresión que se obtiene al dividir cada término del polinomio original por el factor común. Ejemplo 2. Factoricemos 6x 2 y 15x Como el MCD(6,15) = 3 y MCD(x 2 y,x) = x, entonces el factor común es 3x. Ahora, 6x 2 y 3x = 2xy y 15x 3x = 5 Luego la expresión que se obtiene al dividir cada término de 6x 2 y 15x entre 3x es 2xy 5. El polinomio se puede factorizar así: 6x 2 y 15x = 3x(2xy 5) No necesariamente siempre debe quedar como factor común un monomio; analice e siguiente ejemplo 3x 2 (x 5)+4x 3 (x 5) = (x 5)(3x 2 +4x 3 ) 1

2 Ejercicio 1. Factorice los siguientes polinomios por factor común 1. 8x 4 y 3 +10x 4 y x 2 y(3x 2) 5xy(3x 2) 3. 15x 4 +20x 3 35x 2 +45x 4. 5p p 4 40p m 2 24m 5 +12m Factor común por agrupación de términos Para factorizar un polinomio agrupando términos se siguen estos pasos: 1. Se asocian los términos de tal manera que cada grupo tenga un monomio como factor común. 2. Se factoriza nuevamente teniendo en cuenta que el factor común ahora es un polinomio. Ejemplo 3. Factoricemos 4ab 8a+6b 12 En este caso, los dos primeros términos tienen factor común 2a y los dos últimos, 3; por tanto, agrupamos así: 4ab 8a+6b 12 = (4ab 8a)+(6b 12) Hallamos el factor común de cada grupo: (4ab 8a)+(6b 12) = 2a(2b 4)+3(2b 4) Observemos que el binomio (2b 4) es el polinomio factor común; así que: 4ab 8a+6b 12 = (2b 4)(2a+3) Ejercicio 2. Factorice usando factor común por agrupación de términos 1. 6ax+9x+10a x 2 15x 2 y 10+25y 3. 15by 5y +18b 6 4. xy +12+4x+3y 5. 2am+4an+6bm+12bn+2cm+4cn 2.3 Factorización de trinomios cuadrados perfectos Cuando vimos productos notables, analizamos un caso en el cual encontramos el cuadrado de un binomio. Al resultado de este cuadrado se le llama trinomio cuadrado perfecto. Para factorizar este tipo de trinomios, solamente debemos realizar el proceso inverso. Los términos de los extremos deben ser cuadrados: a 2 y b 2. a 2 y b 2 no tienen signo negativo. 2

3 El término del centro es el doble del producto de las raíces cuadradas de los otros dos términos: 2ab, o su opuesto aditivo: 2ab En general: a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 y a 2 2ab+b 2 = (a b) 2 Ejemplo 4. Determinemos cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos: 16x 4 40x 2 y 3 25y 6 No es trinomio cuadrado perfecto, ya que b 2 = 25y 6 tiene signo negativo. 16x 4 20x 2 y 3 +25y 6 Tampoco lo es, porque el término del centro no es el doble del producto de las raíces cuadradas de 16x 4 y 25y 6 : 16x 4 = 4x 2, 25y 6 = 5y 3 y el doble de su producto: 2(4x 2 5y 3 ) = 40x 2 y 3 y 40x 2 y 3 20x 2 y 3 16x 4 40x 2 y 3 +25y 6 Sí es un trinomio cuadrado perfecto, ya que cumple con todas las condiciones dadas: 16x 4 = 4x 2 y 25y 6 = 5y 3 y 2(4x 2 )(5y 3 ) = 40x 2 y 3 y se factoriza: 16x 4 40x 2 y 3 +25y 6 = (4x 2 5y 3 ) 2 Ejercicio 3. Determine si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos o no y factorícelos si es posible n+16n 2 2. m 4 m 2 n 2 + n x 4 182x x 2 3xy +9y x 2 12xy +9y Factorización de trinomios de la forma x 2 +bx+c Expresiones como: x 2 +6x+8, x 2 5x+6; x 2 +3x 4 son trinomios de la forma x 2 +bx+c. Cuando c es un cuadrado, tenemos el caso anterior, y cuando no, es posible que el trinomio sea el producto de dos binomios diferentes. Recordemos el product notable (x+m)(x+n) = x 2 +(m+n)x+(m n) = x 2 +bx+c Por tanto, el trinomio x 2 +bx + c se factoriza encontrando dos números m, n tales que su suma se igual a b y su producto sea igual a c. Si c es positivo, los factores tienen el mismo signo. Si c es negativo, los factores tienen signos diferentes. Si estos números no existen, entonces se dice que el trinomio no es factorizable por este método. x 2 +bx+c = (x+m)(x+n) siempre que existan m y n enteros, tales que m+n = b y mn = c 3

4 Ejemplo 5. Factoricemos: (a) x 2 10x 6 (b) x 2 +x 6 En ambos casos se requiere que m n = 6. m y n pueden ser: m n m n m+n (a) Ninguna pareja de números suma 10, por tanto, x 2 10x 6 no se puede factorizar por este método. (b) Los números 2 y 3 suman 1, luego: x 2 +x 6 = (x 2)(x+3) Ejercicio 4. Factorice los siguientes trinomios de la forma x 2 +bx+c 1. x 2 2x w 2 +3w t 2 5t+4 4. x 2 +39x s 2 +11s Trinomios de la forma ax 2 +bx+c Para factorizar trinomios de la forma ax 2 +bx+c: Se hallan m y n enteros, tales que m n = a c y m+n = b. Se reemplaza b como m+n. Se agrupa y se factoriza en cada binomio factor común. Se factoriza el binomio factor común. Ejemplo 6. Factoricemos 6x 2 +23x+20 Debemos encontrar m y n, tales que m n = a c = 6 10 = 120 y m+n = 23. Para hallar tales números descomponemos 120 en factores primos así: 120 = }{{} 3 5 }{{}

5 Los números son 8 y 15 6x 2 +23x+20 = 6x 2 +8x+15x+20 = (6x 2 +8x)+(15x+20) = 2x(3x+4)+5(3x+4) = (3x+4)(2x+5) Ejercicio 5. Factorice los siguientes trinomios 1. 4x 2 +3x y 2 23y t 2 40t t 2 +33t y 2 29y Diferencia de cuadrados perfectos Para factorizar una diferencia de cuadrados realizamos el proceso inverso al producto notable x 2 y 2 = (x+y)(x y) Ejemplo 7. Factoricemos 25x 2 49y 6 25x 2 = (5x) 2 49y 6 = (7y 3 ) 2 Luego, 25x 2 49y 6 = (5x+7y 3 )(5x 7y 3 ) Ejercicio 6. Factorice los siguiente binomios 36x 6 81y 8 169x 2 225y a b 16 x 16 y 10 z 8 a 2 b 4 c 6 144m 4 n 4 121m 2 n 2 49x 10 64y 20 a 2 b 8 y 6 (2x 3) 2 (4x+1) Suma y diferencia de cubos Para factorizar una suma o una diferencia de cubos perfectos utilizamos las siguientes expresiones: x 3 +y 3 = (x+y)(x 2 xy +y 2 ) x 3 y 3 = (x y)(x 2 +xy +y 2 Ejemplo 8. Factoricemos (a) 27x 6 +64x 9 (b) 27x 6 64x 9 5

6 (c) (3a 2 b) 3 27x 3 (a) Como 27x 6 = (3x 2 ) 3 y 64x 9 = (4x 3 ) 3, entonces: 27x 6 +64x 9 = (3x 2 +4x 3 ) [ (3x 2 ) 2 (3x 2 )(4x 3 )+(4x 3 ) 2] = (3x 2 +4x 3 )(9x 4 12x 5 +16x 6 ) (b) De igual forma: 27x 6 64x 9 = (3x 2 4x 3 ) [ (3x 2 ) 2 +(3x 2 )(4x 3 )+(4x 3 ) 2] = (3x 2 4x 3 )(9x 4 +12x 5 +16x 6 ) (c) (3a 2 b) 3 27x 3 = (3a 2 b) 3 (3x) 3 = (3a 2 b 3x) [ (3a 2 b) 2 +(3a 2 b)3x+9x 2] = (3a 2 b 3x)(9a 4 6a 2 b+b 2 +9a 2 x 3bx+9x 2 ) Ejercicio 7. Factorice los siguientes binomios 125x 6 +64x x 3 343h h 15 x 192 +y x 3 y b a 3 216x x y 10 6

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