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1 ENCUENTRO # 10 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. Multiplicación de polinomios. 2. Productos notables. DESARROLLO Ejercicio Reto x 2 1. Al racionalizar el denominador de la fracción 3 + se obtiene: 2x + 5 2x x x 5 3 2x A) B) C) D) El valor numérico de la expresión a2 (a + b 2 )(a 3 b 3 )(a 2 b) para a = 1 y b = 2 (a 2 + b 2 )(2a 3b 2 ) es: A) 27 B) 27 C) 18 C) 18 D) Regla de los signos. (+)(+) = + (+)( ) = ( )(+) = ( )( ) = + Multiplicación de polinomios Ley de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman. a m a n = a m+n Portal de Matemática 1 portaldematematica.com

2 Monomio por monomio Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las partes literales. Ejemplo 1.1. Cuál es el resultado de ( 5x 4 y 5 z)(3x 2 y 6 z). Se multiplican los coeficientes y las bases: ( 5x 4 y 5 z)(3x 2 y 6 z) = ( 5)(3)x 4 x 2 y 5 y 6 zz Se aplican las leyes de los signos y de los exponentes: = 15x 4+2 y 5+6 z 1+1 = 15x 6 y 11 z 2 Ejemplo 1.2. Realiza la siguientes operación:( 5 4 a6 b 5 c 5 )( 2 3 a2 bc 4 ). Se efectúa el producto de las fracciones y se aplica la ley de los exponentes para las partes literales. ( 5 4 a6 b 5 c 5 )( 2 3 a2 bc 4 ) = ( 5 4 )( 2 3 )a6+2 b 5+1 c 5+4 = a8 b 6 c 9 Ejemplo 1.3. Realiza (3x 2n 1 y 3n )( 2x 4n 3 y 2n ) Se aplica el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores, no importa que los exponentes de las partes literales sean expresiones algebraicas. (3x 2n 1 y 3n )( 2x 4n 3 y 2n ) = 6x (2n 1)+(4n 3) y 3n+2n = 6x 6n 4 y 5n Ejercicios propuesto 1. Resuelve las siguientes operaciones: (a) (4x 3 y 5 z)(6x 5 y 4 z) (b) ( 3xyz)( z4 ) (c) ( 10m 6 p)( 5m 2 p 3 ) (d) (9c 5 m 9 p 2 )( 1 3 c6 m) (e) (5a m b n c)( 2a 2 b 3 c) (f) (6m 2x+8 n 4x )( 7m x 6 n 5 ) (g) ( 9x 3m y 2n 1 )(4x 5 y 6 ) (h) ( 7 6 a4x 3 b 2x c 4 )( 3 14 ax+1 bc x ) Portal de Matemática 2 portaldematematica.com

3 (i) ( 1 2 x4n 1 y 2a )(4x 2 3a y 1 2a ) (j) ( 1 3 a3 b 2 c)( 2 5 a4 bc 2 )(6ac)( 10 3 a4 b 2 ) (k) ( 3 4 a6 b)( 2 3 a2 bc)( 1 2 ac)( 2b2 c 2 ) (l) (2a 8x b 6 )( 2m 2x n 3 )( 5a 2 m 3 n 5x ) Polinomio por monomio Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio o viceversa, como lo ilustran los siguientes Ejemplo 1.4. Resuelve (5x 5 y 4 3x 4 y 3 z + 4xz 4 )( 3x 4 y) Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio: (5x 5 y 4 3x 4 y 3 z + 4xz 4 )( 3x 4 y) = (5x 5 y 4 )( 3x 4 y) + ( 3x 4 y 3 z)( 3x 4 y) + (4xz 4 )( 3x 4 y) = 15x 9 y 5 + 9x 8 y 4 z 12x 5 yz 4 Ejemplo 1.5. Realiza el siguiente producto:( 7a x+3 b 1 2x )(4a 3x 1 b 2x 5a 3x 2 b 2x+1 + 3a 3x 3 b 2x+2 ) Se realiza el producto del monomio por cada uno de los elementos del polinomio: ( 7a x+3 b 1 2x )(4a 3x 1 b 2x 5a 3x 2 b 2x+1 + 3a 3x 3 b 2x+2 ) = ( 7a x+3 b 1 2x )(4a 3x 1 b 2x )+( 7a x+3 b 1 2x )( 5a 3x 2 b 2x+1 )+( 7a x+3 b 1 2x )(3a 3x 3 b 2x+2 ) = 28a 4x+2 b + 35a 4x+1 b 2 21a 4x b 3 Ejercicios propuesto 1. Realiza los siguientes productos: (a) ( 3m)(5m 4 3m 3 + 6m 3) (b) ( 3ab)(2a 2 7ab + 8b 2 ) (c) ( 5xy 2 z)(7x 6 y 2 z 3x 5 y 4xz) (d) (5m 3 n 3m 4 p + 6m 2 )(8mp 3 ) (e) ( 2x n 2 )(7x 5 8x 2 + 6x 3 9x + 2) (f) (3a 2x+1 b 4x 7a 2x b 4x+1 4a x b 3x+1 )( 3a x+1 b 1 x ) (g) ( 5x 2m y n+1 )(5x 3m y 2n 2x 3m+1 y 2n+1 4x 3m+2 y 2n+2 ) (h) ( 4 3 x3 y)( 3 4 x2 1 3 y2 + 6xy) (i) ( 2 5 a6 7 2 a4 b a2 b b)( 4 5 ab2 c) Portal de Matemática 3 portaldematematica.com

4 (j) ( 4 5 a6m+1 b 2m 7 2 am+3 c m )( 5a 3 c 4 ) (k) ( 4 5 mx n 4 )( 4 3 m2x+3 n 3a 5 4 m2x+2 n 3a m2x n) Polinomio por polinomio Para multiplicar polinomios por polinomios, se siguen los pasos indicados en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.6. Efectúa la siguiente operación: (5x 2 3x 2)(4x 3x 2 6) Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada (como en las multiplicaciones aritméticas), y se ordenan los polinomios con respecto a los exponentes en forma ascendente o descendente, según se quiera. 5x 2 3x 2 3x 2 4x 6 Se multiplica el primer término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba. 5x 2 3x 2 3x 2 4x 6 15x 4 +9x 3 +6x 2 ( 3x 2 )(5x 2 ) = 15x 4 ( 3x 2 )( 3x) = +9x 3 ( 3x 2 )( 2) = +6x 2 A continuación se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba y los resultados se colocan debajo de sus respectivos términos semejantes del primer resultado. 5x 2 3x 2 3x 2 4x 6 15x 4 +9x 3 +6x 2 +20x 3 12x 2 8x (4x)(5x 2 ) = 20x 3 (4x)( 3x) = 12x 2 (4x)( 2) = 8x Se repite el paso anterior para cada uno de los términos siguientes (si es que existe). 5x 2 3x 2 3x 2 4x 6 15x 4 +9x 3 +6x 2 +20x 3 12x 2 8x 30x 2 +18x +12 ( 6)(5x 2 ) = 30x 2 ( 6)( 3x) = 18x ( 6)( 2) = 12 Portal de Matemática 4 portaldematematica.com

5 Por último, se realiza la suma. 5x 2 3x 2 3x 2 4x 6 15x 4 +9x 3 +6x 2 +20x 3 12x 2 8x 30x 2 +18x x 4 +29x 3 36x 2 +10x +12 Por consiguiente, el resultado es: 15x x 3 36x x + 12 Ejemplo 1.7. Efectúa la siguiente operación:(5x 4 y 3x 2 y 3 6xy)(3x 4 y 4x 2 y 3 + 3xy) Se acomodan los polinomios de manera vertical y se realiza el procedimiento descrito en el ejemplo anterior. 5x 4 y 3x 2 y 3 6xy 3x 4 y 4x 2 y 3 +3xy 15x 8 y 2 9x 6 y 4 18x 5 y 2 20x 6 y 4 +12x 4 y 6 +24x 3 y 4 +15x 5 y 2 9x 3 y 4 18x 2 y 2 15x 8 y 2 29x 6 y 4 3x 5 y 2 +12x 4 y 6 +15x 3 y 4 18x 2 y 2 Por tanto, el resultado es: 15x 8 y 2 29x 6 y 4 3x 5 y x 4 y x 3 y 4 18x 2 y 2 Ejercicios propuestos Efectúa los siguientes productos. 1. (x 7)(x + 2) 2. (m + 9)(m 8) 3. ( x + 2)(3 x) 4. (3x + 7)(x + 4) 5. (2x 5)(3x + 2) 6. (n 2 + 4)(n 2 7) 7. ( 1x 3)(x + 4) ( 5x 1y)( 2x 1y) ( 3 y 1 x)( 4 x 1 y) (x 2 2xy + y 2 )(x y) 11. (m 2 mn + n 2 )(m + n) 12. (5x 2 7y 2 4xy)(3x 2y) 13. ( 1 5 a2 3ab b2 )( 2a 7) ( 5 2 x y2 3xy)(4x 1y) 4 3 Portal de Matemática 5 portaldematematica.com

6 15. (m x 1 na 1)(m n) 16. (b m b m+1 + b m+2 )(b + 1) 17. (2x m+1 + x m+2 x m )(x m+3 2x m+1 ) 18. (x a+2 2x a + 3x a+1 )(x a + x a+1 ) 19. (3x 2 5x 2)(2x 2 7x + 4) 20. (4x 3 2x 2 y + 6xy 2 )(x 2 y xy 2 2y 3 ) 21. (m + n p)(m p n) 22. (2m 3n + 5p)(n + 2p m) 23. (a + b c)(a b + c) 24. (x 2 2x + 1)(x 4 2x 2 + 2) 25. ( 1 2 x2 3x )(6x2 4x 2) 26. (x m +x m+1 x m+2 )(x m x m+1 +x m+2 ) Productos Notables Definición 1. Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto. Cuadrado de un binomio El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la fórmula: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Ejemplo 2.1. Desarrolla (x + 7) 2 Al aplicar la regla general: El cuadrado del primer término:(x) 2 = x 2 El doble producto del primer término por el segundo:2(x)(7) = 14x El cuadrado del segundo término:(7) 2 = 49 Se suman los términos resultantes y se obtiene: (x + 7) 2 = x x + 49 Portal de Matemática 6 portaldematematica.com

7 Ejemplo 2.2. Cuál es el resultado de desarrollar (3m + 5n) 2? (3m + 5n) 2 = (3m) 2 + 2(3m)(5n) + (5n) 2 = 9m mn + 25n 2 Ejemplo 2.3. Desarrolla ( 1 2 a + 3)2. ( 1 2 a + 3)2 = ( 1 2 a)2 + 2( 1 2 a)(3) + (3)2 = 1 4 a2 + 3a + 9 Ejemplo 2.4. Desarrolla (5m 2x 3 + n 4x ) 2 (5m 2x 3 + n 4x ) 2 = (5m 2x 3 ) 2 + 2(5m 2x 3 )(n 4x ) + (n 4x ) 2 = 25m 4x m 2x 3 n 4x + n 8x El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo, como lo ilustran los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.5. Cuál es el desarrollo de (4x 4 9y 3 ) 2? (4x 4 9y 3 ) 2 = (4x 4 ) 2 2(4x 4 )(9y 3 ) + (9y 3 ) 2 = 16x 8 72x 4 y y 6 Ejemplo 2.6. Desarrolla (3x 2 y 2x 5 z) 2 (3x 3 y 2x 5 z) 2 = (3x 3 y) 2 2(3x 3 y)(2x 5 z) + (2x 5 z) 2 = 9x 6 y 2 12x 8 yz + 4x 10 z 2 Cuadrado de un trinomio El desarrollo de la expresión: (a + b + c) 2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Portal de Matemática 7 portaldematematica.com

8 Ejemplo 2.7. Desarrolla (x + 2y + 3z) 2 (x + 2y + 3z) 2 = (x) 2 + (2y) 2 + (3z 2 ) + 2(x)(2y) + 2(x)(3z) + 2(2y)(3z) = x 2 + 4y 2 + 9z 2 + 4xy + 12yz + 6xz Ejemplo 2.8. Obtén el resultado de (4m 7n 5) 2 (4m 7n 5) 2 = (4m) 2 + ( 7n) 2 + ( 5) 2 + 2(4m)( 7n) + 2( 7n)( 5) + 2(4m)( 5) = 16m n mn + 70n 40m Ejemplo 2.9. Desarrolla ( 1 2 xm+1 + 2x m + x m 1 ) 2 ( 1 2 xm+1 + 2x m + x m 1 ) 2 = ( 1 2 xm+1 ) 2 + (2x m ) 2 + (x m 1 ) 2 + 2( 1 2 xm+1 )(2x m ) + 2(2x m )(x m 1 ) + 2( 1 2 xm+1 )(x m 1 ) = 1 4 x2m+2 + 4x 2m + x 2m 2 + 2x 2m+1 + 4x 2m 1 + x 2m Ejercicios propuestos Desarrolla las siguientes expresiones 1. (x + 8) 2 2. (m 10) 2 3. (a 3) 2 4. (2a 1) 2 5. ( 5x )2 6. (7a 3b) 2 7. (4x 3 + 5y) 2 8. (9a 3 a 2 b) 2 9. (1 3 4 xy)2 10. ( 1x 4 2y3 ) ( 2 3x 1 4y )2 12. (3x 2 + 4xy 7 ) (6x 3m 2 + 5y 4m z 3 ) (m 4a 5 + 2x 2a+1 ) ( 4 5 a2m b)2 16. ( 5 3 x3a y1 3a ) ( x4a 5 b4x y a+1 5 ) (x + 2y + 3z) (3x 2y + 1) (a 2 + 5a + 4) 2 Portal de Matemática 8 portaldematematica.com

9 21. (3x 2 + 2y 2 1) (a x b y + c z ) ( 1 2 a b + c)2 23. ( 2 x + 3 y 1 z )2 25. (a x+1 2a x a x 1 ) 2 Binomios conjugados (suma por diferencia) Son de la forma (a + b)(a b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Ejemplo Desarrolla (x + 6)(x 6) (x + 6)(x 6) = (x) 2 (6) 2 = x 2 36 Ejemplo Desarrolla (m 4)(m + 4) (m 4)(m + 4) = (m) 2 (4) 2 = m 2 16 Ejemplo Resuelve ( 2x 3 + 7)( 2x 3 7) ( 2x 3 + 7)( 2x 3 7) = ( 2x 3 ) 2 (7) 2 = 4x 6 49 Ejemplo Desarrolla ( 10 3m4 )( m4 ) ( m4 2 )( m4 2 ) = (10 3 )2 ( 3m4 2 )2 = m8 4 Ejemplo Resuelve (5x 2a 3 + y 4m )(5x 2a 3 y 4m ) (5x 2a 3 + y 4m )(5x 2a 3 y 4m ) = (5x 2a 3 ) 2 (y 4m ) 2 = 25x 4a 6 y 8m Portal de Matemática 9 portaldematematica.com

10 Productos donde se aplican binomios conjugados Ejemplo El resultado de (m + n p)(m + n + p) es: Los elementos de ambos factores se agrupan de la siguiente manera: [(m + n) p][(m + n) + p] = (m + n) 2 p 2 Se desarrolla el binomio y finalmente el resultado es: m 2 + 2mn + n 2 p 2 Ejemplo Desarrolla (x + y 3)(x y + 3) El producto se expresa de la siguiente manera y se procede a aplicar el producto de binomios conjugados: (x + y 3)(x y + 3) = [x + (y 3)][x (y 3)] = (x) 2 (y 3) 2 = x 2 y 2 + 6y 9 Ejemplo Cuál es el resultado de (2x 3y z + 5)(2x 3y + z 5)? Se agrupan los términos y se aplica la fórmula para binomios conjugados: (2x 3y z + 5)(2x 3y + z 5) = [(2x 3y) (z + 5)][(2x 3y) + (z 5)] = (2x 3y) 2 (z + 5) 2 Se desarrollan los binomios, se eliminan los paréntesis y se ordenan los términos: = (4x 2 12xy + 9y 2 ) (z 2 10z + 25) = 4x 2 12xy + 9y 2 z z 25 = 4x 2 + 9y 2 z 2 12xy + 10z 25 Portal de Matemática 10 portaldematematica.com

11 Ejercicios propuestos 1. Desarrolla los siguientes productos: (a) (x + 3)(x 3) (b) (a 1)(a + 1) (c) (k 8)(k + 8) (d) (4m 9n)(4m + 9n) (e) (5x 4 y + 4z)(5x 4 y 4z) (f) (7a 4 b 3 cd 5 )(7a 4 b 3 + cd 5 ) (g) ( 3 m + 1)( 3 m 1) 5 5 (h) ( 7 6 x3 3 )( x3 + 3 ) 2 (i) (3a x 4 + b 3x )(3a x 4 b 3x ) (j) (8y 2a 3 4x 4a )(8y 2a 3 + 4x 4a ) (k) (a + b c)(a + b + c) (l) (x + y 3)(x + y + 3) (m) (4x + 3y z)(4x 3y + z) (n) (x 2 xy + y 2 )(x 2 + y 2 + xy) (o) (m 4 m 2 m)(m 4 + m 2 + m) (p) ( 1 m 2 n 1 )( 1 m + 2 n + 1 ) Binomios con término común Son de la forma (x+a)(x+b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes. Ejemplo Desarrolla (x 6)(x + 4) Ejemplo Resuelve (5x 4)(5x 2) (x 6)(x + 4) = x 2 + ( 6 + 4)x + ( 6)(4) = x 2 2x 24 (5x 4)(5x 2) = (5x) 2 + ( 4 2)(5x) + ( 4)( 2) = 25x 2 6(5x) + 8 = 25x 2 30x + 8 Ejemplo Cuál es el resultado de (n )(n 4 8)? (n )(n 4 8) = (n 4 ) 2 + (10 8)n 4 + (10)( 8) = n 8 + 2n 4 80 Portal de Matemática 11 portaldematematica.com

12 Ejemplo Desarrolla (x + y 3)(x + y + 7). (x + y 3)(x + y + 7) = [(x + y) 3][(x + y) + 7] = (x + y) 2 + ( 3 + 7)(x + y) + ( 3)(7) = (x + y) 2 + (4)(x + y) + ( 21) = x 2 + 2xy + y 2 + 4x + 4y 21 Ejemplo Desarrolla (2m + 3n 4)(2m 5n + 2). (2m + 3n 4)(2m 5n + 2) = [2m + (3n 4)][2m + ( 5n + 2)] = (2m) 2 + (3n 4 5n + 2)(2m) + (3n 4)( 5n + 2) = 4m 2 + ( 2n 2)(2m) + ( 15n 2 + 6n + 20n 8) = 4m 2 + ( 4mn 4m) + ( 15n n 8) = 4m 2 4mn 4m 15n n 8 = 4m 2 15n 2 4mn 4m + 26n 8 Ejercicios propuestos 1. Resuelve los siguientes productos: (a) (x 8)(x + 5) (b) (m + 7)(m 4) (c) (x 10)(x 2) (d) (x 1)(x 8) (e) (m 3)(m + 8) (f) (2x 6)(2x + 4) (g) (3m + 6)(3m 4) (h) (6x 4)(6x + 3) (i) (x 2 10)(x 2 + 6) (j) (m 3 4)(m 3 8) (k) ( 1m + 2)( 1m 1) (l) ( 3y + 1)( 3y 5) (m) ( 6 5 x2 1 4 y2 )( 6 5 x y2 ) (n) (a + b + 3)(a + b + 4) (o) (a 2b + 1)(a 2b + 5) (p) (m 2 + n 2 5)(m 2 + n 2 + 9) (q) (2x + y + 2)(2x + y 1) (r) (a + 5b + c)(a 5b + c) Portal de Matemática 12 portaldematematica.com

13 Cubo de un binomio Es de la forma (a+b) 3, su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Ejemplo Desarrolla (m + 5) 3 Solución (a ± b) 3 = a 3 3a 2 b ± 3ab 2 b 3 (m + 5) 3 = (m) 3 + 3(m 2 )(5) + 3(m)(5) 2 + (5) 3 Ejemplo Desarrolla el siguiente binomio (x 4) 3. = m m m (x 4) 3 = (x) 3 + 3(x) 2 ( 4) + 3(x)( 4) 2 + ( 4) 3 Ejemplo Cuál es el resultado de (3x 4 2y 3 ) 3? = x 3 12x x 64 (3x 4 2y 3 ) 3 = (3x 4 ) 3 + 3(3x 4 ) 2 ( 2y 3 ) + 3(3x 4 )( 2y 3 ) 2 + ( 2y 3 ) 3 Ejercicios propuestos Resuelve los siguientes productos: = 27x 12 54x 8 y x 4 y 6 8y 9 1. (x 1) 3 2. (m + 6) 3 3. (x 2) 3 4. (2x + 1) 3 5. (3a 4) 3 6. (5m 2 + 2n 5 ) 3 7. (4x 2 + 2xy) 3 8. (3m 4 4m 3 n) 3 9. (x )3 10. (x 1 8 )3 11. ( 2 3 x 1 4 )3 12. ( 1 3 x4 + y) (2x 2a 3 3y 4a+1 ) Portal de Matemática 13 portaldematematica.com

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