UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN


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1 UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN Factorizar quiere decir descomponer en factores, los factores son divisores de una expresión que, multiplicados entre sí, dan como resultado la primera expresión. FACTOR COMÚN MONOMIO CASO 1 Todos los términos de un polinomio tienen un factor común Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis se escribe el resultado de dividir la expresión original entre el factor común. Ejemplos: 1. Factorizar y tienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis, escribimos el resultado de dividir y tenemos y 2. Factorizar Los dos términos tienen como factor común (a+b). Escribimos el factor común como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos el resultado de dividir y, y tenemos

2 Para factorizar un monomio es suficiente con descomponer en factores primos el coeficiente numérico y encontrar los factores de la parte literal. Factorizar Expresamos en forma de producto cada uno de los términos:,, El factor se repite en cada término del polinomio y es el mayor. Luego:. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio que se obtiene a partir de elevar un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada del primero y del tercer término. Luego, se verifica que el doble producto de las raíces corresponda al segundo término. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se forma un binomio con las raíces del primer y tercer término. Si en el trinomio todos los signos son positivos, la factorización corresponde a un binomio diferencia. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma, x² + 2xy + y² o también x² - 2xy + y², y tiene las siguientes características: Dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos. El término restante (positivo o negativo), debe ser igual al doble de las raíces cuadradas de los otros lados.

3 DIFERENCIA DE CUADRADOS Todo polinomio que se pueda expresar como la diferencia de dos cuadrados se factoriza en dos factores: uno formado por la suma de las bases y el otro formado por la diferencia de las mismas bases. Los binomios de la forma a² - b² son resultado de la suma por la diferencia de dos términos. Para factorizar una diferencia de dos cuadrados perfectos se hallan las raíces de los cuadrados y se multiplica la suma por la diferencia de las mismas. Factorizar La raíz de. Luego: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Los binomios de la forma se factorizan según los resultados de los cocientes de la suma de dos cubos entre la suma de las raíces cúbicas o de la diferencia de dos cubos de la diferencia de las raíces cúbicas. Para factorizar la suma de cubos se multiplican dos factores: el primero es la suma de las raíces cúbicas y el segundo es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. En símbolos: Para factorizar la diferencia de cubos se multiplican dos factores: el primero es la diferencia de las raíces cúbicas y el segundo es el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. En símbolos: Toda suma (diferencia) de dos cubos se factorizan en un binomio por un trinomio. El binomio está formado por la suma (diferencia) de las bases y el trinomio se forma con el cuadrado de la primera base, menos (más) el producto de las dos bases y más el cuadrado de la segunda base.

4 TRINOMIO DE LA FORMA Un trinomio de la forma es resultado de un producto de la forma con Para factorizar un trinomio de la forma se forman dos binomios. El primer término de los binomios es la raíz del primer término del trinomio. Los segundos términos de los binomios son los términos a y b que satisfacen las condiciones a En los trinomios de esta forma las letras m y n representan números enteros, x representa la variable o aún puede representar un monomio que contenga la variable o variables. También es importante notar que el coeficiente de es 1, el coeficiente de es m y que n representa el término constante o independiente. Factorizar el trinomio Buscamos los factores de que sumados den. Así, organizamos los productos y comprobamos sus sumas. Como se tiene:. Desechamos Luego: TRINOMIO DE LA FORMA Trinomios de esta forma son todos aquellos en los que: El coeficiente del primer término es 1. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

5 El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º o 2º término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. REGLAS PRÁCTICAS PARA FACTORIZARLO El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer término es, es decir la raíz cuadrada del primer término del trinomio. En el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor después de, se escribe el signo que resulta de la multiplicación de signos del 2º término por el signo del tercer término del trinomio. Si los dos factores tienen signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto de tercer término del trinomio. Estos dos números son los segundos términos de los binomios. Si los factores tienen signos distintos, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto de tercer término del trinomio. Estos dos números son los segundos términos de los binomios. Ejemplos: 1. Factorizar: El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer término es la raíz cuadrada de En el primer binomio, después de x se pone el signo +, porque el segundo término,, tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de la multiplicación de los dos últimos términos, esto es + por +, da +. Como estos binomios tienen signos iguales, se buscan dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6. Estos números son 3 y 2. Entonces:

6 CUBO PERFECTO DE BINOMIO Un binomio al cubo es igual al primero al cubo, más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el segundo al cuadrado, más el segundo al cubo. Los polinomios de la forma suma o un binomio diferencia., son resultado de elevar al cubo un binomio Para reconocer el cubo perfecto de un binomio se extrae la raíz cúbica del primer y cuarto término. Luego se verifica que el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término. El tercer término debe ser el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término. Si todos los términos de la expresión son positivos, el polinomio dado es el cubo de la suma de las raíces cúbicas y si los términos son alternadamente positivos y negativos la expresión corresponde al cubo de la diferencia de las raíces. Factorizar el polinomio Tenemos el polinomio ordenado, por lo que verificamos la norma general: El primero y el último son cubos perfectos: El segundo término es: y el tercer término corresponde a. Como todos los términos son positivos, es un binomio suma Luego:

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