Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023


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1 Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #8: jueves, 9 de junio de Factorización Conceptos básicos Hasta ahora hemos estudiado las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división de polinomios. En particular, analizamos métodos especiales para hallar el producto de dos o más polinomios de grado menor o igual que el del polinomio dado. En esta sección estudiaremos el proceso inverso: expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios de grado menor o igual que el del polinomio dado. A este proceso se le da el nombre de factorización de polinomios. Este concepto no es nuevo. Expusimos un tema análogo a éste al estudiar al estudiar la factorización de números naturales. Si p(x) es un polinomio y se verifica que p(x) = q(x) d(x), siendo q(x) y d(x) también polinomios, entonces decimos que q(x) y d(x) son factores o divisores de p(x). El grado de p(x) es igual a la suma de los grados de q(x) y d(x). Ejemplo Algunos ejemplos. 1. x 2 + 4x = x(x + 4). 2. 4x 2 t 2 = (2x + t)(2x t). 3. x 2 + 2x 15 = (x 3)(x + 5). Definición Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. Decimos que p(x) es un polinomio primo o irreducible en el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros si los únicos polinomios con coeficientes enteros que dividen a p(x) son ±p(x) y ±1. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Los polinomios de la forma ax + b son irreducibles si a y b son enteros relativamente primos. 2. x + 4 es un factor irreducible de x 2 + 4x ya que x 2 + 4x = x(x + 4) y x + 4 no tiene otros factores. 1

2 3. El polinomio 2x 3 + 5x 2 se puede representar como 2x 3 + 5x 2 = x(2x 2 + 5x). El factor 2x 2 +5x no es factor irreducible de 2x 3 +5x 2 ya que tiene otros factores. Esto es, 2x 2 + 5x = x(2x + 5). Tanto x como 2x + 5 son factores irreducibles de 2x 3 + 5x 2. Más aún, 8.1 Factor común mayor 2x 3 + 5x 2 = x x (2x + 5). El producto notable más sencillo es una aplicación directa de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: a(b + c) = ab + ac. Por lo tanto, una expresión de la forma ab + ac se puede escribir como a(b + c). Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Escribe 7a + 14a 2 como un producto de polinomios irreducibles en el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros. 7a + 14a 2 = a(7 + 14a) = 7a(1 + 2a). 2. Escribe x 3 + 3x 2 como un producto de polinomios irreducibles en el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros. x 3 + 3x 2 = x 2 (x + 3) = x x (x + 3). Podemos conseguir los factores irreducibles si buscamos el factor común mayor a todos los términos antes de aplicar la ley de distribución. En algunas ocaciones el factor común mayor no es tan obvio de conseguir y es necesario agrupar los términos en una fórmula conveniente. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. (x + 2)y + x + 2. x + 2 es común, por lo tanto, (x + 2)y + x + 2 = (x + 2)y + (x + 2) = (x + 2)(y + 1). 2

3 2. ax + ay + bx + by. 3. x 2 + 6x x 2 y 35xy 2 49x 2 y x 10 + xy 5y. ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y). x 2 + 6x + 8 = (x 2 + 2x) + (4x + 8) = x(x + 2) + 4(x + 2) = x(x + 2)(x + 4). 14x 2 y 35xy 2 49x 2 y 2 = 7xy(2x 5y 7xy) 8.2 Factorización de trinomios 2x 10 + xy 5y = 2(x 5) + y(x 5) = (x 5)(y + 2). Entre los productos notables considerados en el capítulo anterior se encontraba el caso del cuadrado de un binomio: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Podemos reconocer el trinomio cuadrado perfecto porque dos de sus términos son cuadrados de alguna expresión y el otro, excepto quizás por su signo, es el doble del producto de las raíces cuadradas de estos dos términos. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. x 2 + 8x = 4 2 y 8 = 2(4). Por lo tanto, x 2 + 8x + 16 = (x + 4) 2. 3

4 2. 9x 2 30x x 2 = (3x) 2, 25 = 5 2 y 30x = 2(3x5 5). Por lo tanto, 9x 2 30x + 25 = (3x 5) x x x 2 = (4x) 2, 9 = 3 2 y 24x = 2(4x 3). Por lo tanto, 16x x + 9 = (4x + 3) x x x 2 +16x+32 = 2(x 2 +8x+16). Por el ejercicio 1 sabemos que x 2 + 8x + 16 = (x + 4) 2. Por lo tanto, 2x x + 32 = 2(x + 4) 2. Trinomios de la forma x 2 + bx + c. Si x 2 +bx+c tiene factores irreducibles en el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros es porque existen números enteros p y q tal que x 2 + bx + c = (x + p)(x + q) = x 2 + (p + q)x + pq. Por la igualdad de polinomios, se sigue que p + q = b pq = c. Por lo tanto, para factorizar (si es que es posible) un polinomio de la forma x 2 +bx+c sobre los polinomios con coeficientes enteros, debemos encontrar un par de enteros p y q tal que p + q = b y pq = c. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Factorice el polinomio x 2 + 5x = 2 3 y 5 = Por lo tanto, x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). 2. Factorice el polinomio x 2 + 2x = ( 6) 8 y 2 = Por lo tanto, x 2 + 2x 48 = (x 2)(x + 8). 4

5 3. Factorice el polinomio x 2 4x = ( 1)( 3) y 4 = 1 + ( 3). Por lo tanto, 4. Factorice el polinomio x 2 + 3x + 1. x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3). tenemos que hallar enteros p y q tal que pq = 1 y p+q = 3. Ahora, no existen enteros p y q que satisfagan estas dos ecuaciones al mismo tiempo. Por lo tanto, decimos que x 2 + 3x + 1 es irreducible sobre el conjunto de los enteros. Nota: El hecho de que x 2 + 3x + 1 sea irreducible sobre los enteros no significa que sea irreducible sobre los reales. Se puede verificar (con algo de paciencia) que ( x 2 + 3x + 1 = x + 1 ( 3 ) ) ( 5 x + 1 ( 3 + 5) ). 2 2 Por lo tanto, x 2 + 3x + 1 es reducible sobre los reales. Trinomios de la forma ax 2 + bx + c. En el caso de trinomios de la forma ax 2 + bx + c, donde a, b, c son enteros tal que DCM(a, b, c) = 1, entonces si ax 2 + bx + c tiene factores irreducibles en el conjunto de los polinomios con coeficientes enteros es porque tiene factores irreducibles de la forma rx + p y sx + q tal que Por lo tanto, ax 2 + bx + c = (rx + p)(sx + q) = (rs)x 2 + (ps + qr)x + pq. a = rs b = ps + qr c = pq. Ahora, observe que ac = (rs)(pq) = (ps)(qr). Esto implica que Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Factorice 6x 2 7x 3. ac = (ps)(qr) b = (ps) + (qr). a = 6, b = 7 y c = 3. Ahora, ac = 18, por lo tanto, tenemos que hallar dos enteros tales que su producto sea 18 y cuya suma sea 7. Por lo tanto, los enteros son 9 y 2, ya que ( 9)(2) = 18 y ( 9) + 2 = 7. 5

6 Ahora tenemos que 6x 2 7x 3 = 6x 2 + ( 9 + 2)x 3 = 6x 2 9x + 2x 3 = 3x(2x 3) + 2x 3 = (2x 3)(3x + 1). 2. Factorice 3x 2 + 7x + 4. a = 3, b = 7 y c = 4. Ahora, ac = 12, por lo tanto, tenemos que hallar dos enteros tales que su producto sea 12 y cuya suma sea 7. Observe que los enteros son 4 y 3, ya que Ahora tenemos que (4)(3) = 12 y = 7. 3x 2 + 7x + 4 = 3x 2 + (4 + 3)x + 4 = 3x 2 + 4x + 3x + 4 = x(3x + 4) + 3x + 4 = (3x + 4)(x + 1). 3. Factorice 10x x 7. a = 10, b = 33 y c = 7. Ahora, ac = 70, por lo tanto, tenemos que hallar dos enteros tales que su producto sea 70 y cuya suma sea 33. Observe que los enteros son 35 y 2, ya que Ahora tenemos que (35)( 2) = 70 y 35 + ( 2) = x x 7 = 10x 2 + (35 2)x 7 = 10x x 2x 7 = 5x(2x + 7) 2x 7 = (2x + 7)(5x 1). 4. Factorice 3x 2 2x 1. a = 3, b = 2 y c = 1. Ahora, ac = 3, por lo tanto, tenemos que hallar dos enteros tales que su producto sea 3 y cuya suma sea 2. Observe que los enteros son 3 y 1, ya que ( 3)(1) = 3 y = 2. 6

7 Ahora tenemos que 3x 2 2x 1 = 3x 2 + ( 3 + 1)x 1 = 3x 2 3x + x 1 = 3x(x 1) + x 1 = (x 1) + (3x + 1). 5. Factorice 2x 2 xy 10y 2. a = 2, b = y y c = 10y 2. Ahora, ac = 20y 2, por lo tanto, tenemos que hallar números tales que su producto sea 20y 2 y cuya suma sea y. Observe que estos son 4y y 5y, ya que Ahora tenemos que (4y)( 5y) = 20y 2 y 4y + ( 5y) = y. 2x 2 xy 10y 2 = 2x 2 + (4y 5y)x 10y 2 = 2x 2 + 4yx 5yx 10y 2 = 2x(x + 2y) 5y(x + 2y) = (x + 2y)(2x 5y). 8.3 Factorización de binomios La diferencia de dos cuadrados. La diferencia de cuadrados surge al multiplicar factores de la forma (a+b) por (a b): (a + b)(a b) = a 2 b 2. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Factorice x x 2 16 = (x + 4)(x 4). 2. Factorice 4x x 2 25 = (2x + 5)(2x 5). 3. Factorice x 4 y 4. x 4 y 4 = (x 2 + y 2 )(x 2 y 2 ) = (x 2 + y 2 )(x + y)(x y). 7

8 4. Factorice x 2 y 2 + 2x 2y. x 2 y 2 + 2x 2y = (x + y)(x y) + 2(x y) = (x y)(x + y + 2). La suma o diferencia cubos. La suma de dos cubos, a 3 + b 3, surge de la multiplicación (a + b)(a 2 ab + b 2 ). De igual manera, la diferencia a 3 b 3, surge de la multiplicación (a b)(a 2 + ab + b 2 ). En otras palabras, sabemos que a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) y a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Podemos utilizar estas fórmulas para factorizar polinomios. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Factorice x 3 + y 3. Respuesta: Una aplicación directa de la fórmula nos lleva a x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 xy + y 2 ). 2. Factorice x x = x = (x + 2)(x 2 2x ) = (x + 2)(x 2 2x + 4). 3. Factorice x x 3 64 = x = (x 4)(x 2 + 4x ) = (x 4)(x 2 + 4x + 16). 8

9 4. Factorice 27x 3 64y 3. 27x 3 64y 3 = (3x) 3 (4y) 3 = (3x 4y)((3x) 2 + (3x)(4y) + (4y) 2 ) = (3x 4y)(9x x4y + 16y 2 ). 5. Factorice a 6 b 6. a 6 b 6 = (a 2 ) 3 (b 2 ) 3 = (a 2 b 2 )((a 2 ) 2 + (a 2 )(b 2 ) + (b 2 ) 2 ) = (a 2 b 2 )(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) = (a + b)(a b)(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) Los factores de a 4 + a 2 b 2 + b 4 no se pueden obtener con las técnicas brindadas en esta sección. Ahora, se puede verificar que Por lo tanto, a 4 + a 2 b 2 + b 4 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 ab + b 2 ). a 6 b 6 = (a + b)(a b)(a 2 + ab + b 2 )(a 2 ab + b 2 ). 8.4 Solución de ecuaciones usando la factorización Podemos usar la propiedad del cero para resolver ecuaciones donde uno de los miembros de la ecuación es cero y el otro miembro se puede escribir como un producto de uno o más factores. Propiedad del cero. Si el producto de dos o más factores reales es cero, entonces por lo menos uno de los factores es cero. Esto es, Si a y b son reales y ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Halla el conjunto solución (sobre los reales) para x(x 2) = 0. Respuesta: Como x(x 2) = 0, entonces tenemos que x = 0 ó x 2 = 0. Por lo tanto, el conjunto solución es {0, 2}. 9

10 2. Resuelva 2x 2 5x 3 = 0. Respuesta: Primero factorizamos el polinomio. Para esto, note que a = 2, b = 5, c = 3 y ac = 6. Ahora tenemos que encontrar dos enteros tales que el producto nos de 6 y la suma nos de 5. Estos enteros son 6 y 1. Entonces, 2x 2 5x 3 = 2x 2 + ( 6 + 1)x 3 = 2x 2 6x + x 3 = 2x(x 3) + x 3 = (x 3)(2x + 1). Por lo tanto, la ecuación 2x 2 5x 3 = 0 es equivalente a (x 3)(2x + 1) = 0. Las soluciones a esta última están dadas por x 3 = 0 ó 2x + 1 = 0. Concluimos que el conjunto solución a esta ecuación está dado por { 3, 1 } Halla la medida del largo y el ancho de un rectángulo si el largo es 10 cm más que el doble del ancho. El área del rectángulo mide 132 cm 2. tenemos x 2x+10 Ahora, el área de un rectángulo está dada por A = largo ancho. Entonces, A = l a 132 = (2x + 10)(x) 132 = 2x x 0 = 2x x 132. Factorizemos 2x x 132. Note que a = 2, b = 10, c = 132 y ac =

11 Entonces, queremos dos enteros tales que el producto de 264 y la suma de 10. Note que 22 y 12 satisfacen estas hipótesis. Entonces, 2x x 132 = 2x 2 + (22 12)x 132 = 2x x 12x 132 = 2x(x + 11) 12(x + 11) = (x + 11)(2x 12). Por lo tanto, la ecuación 2x 2 +10x 132 = 0 es equivalente a (x+11)(2x 12) = 0. El conjunto solución para esta ecuación es { 11, 6}. Ahora, no todas las soluciones son válidas, pues estamos hablando de dimensiones de un rectángulo, por lo tanto, solo las positivas son válidas. Concluimos que x = 6. En otras palabras, el ancho es 6 cm, mientras el largo es 2(6) + 10 = 22 cm. 11

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