LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN


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1 LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN Factorizar es transformar un número o una expresión algebraica en un producto. Ejemplos: Transformar en un producto el número 6 y el binomio. 1) 6 = ( 2+ 4 ) = 2 ( ) = 2 3 2) factor común monomio : Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio:. pasos : a) Encontrar el máximo común divisor entre los distintos coeficientes numéricos. b) Encontrar el máximo común divisor entre las letras. nota : El MCD entre las partes literales de los distintos términos de una expresión algebraica, es igual: al al producto de las distintas letras que se repiten en cada término del polinomio, pero cada letra elevada al menor exponente con que aparece. En nuestro ejemplo hay una sola letra que es la m y el menor exponente con que aparece en los cuatro términos es 2 (en. por lo tanto, el MCD entre las distintas partes literales es,. c) El MCD final es igual al producto del MCD calculado entre los coeficientes numéricos y el MCD calculado entre las distintas partes literales. es decir: 10 ahora se forma el siguiente producto: 10. 2) Factorizar el siguiente polinomio:. Se calcula el MCD entre los numeradores y entre los denominadores y luego entre las letras. El MCD entre los numeradores es 3 y entre los denominadores es 7, el MCD entre las partes literales es. El MCD final es, luego la factorización del polinomio es: factor común polinomio : Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio:. 1

2 Se observa que hay dos productos, y dentro de estos dos productos hay un factor que se repite que que es el binomio, por lo tanto es el máximo común divisor. Ahora podemos factorizar este polinomio aplicando la propiedad distributiva, de la siguiente forma: observar las dos flechas que indican la multiplicación Ejercicio: Factorizar el siguiente polinomio:. El máximo común divisor entre los tres términos de este polinomio es factorización es:, por lo tanto, la factor común por agrupación de términos : Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio:. Observamos que entre todos los términos del polinomio no existe un MCD, por lo tanto, debemos agru-par convenientemente de a dos términos y factorizar por partes, se pueden agrupar los términos de cualquier forma, como por ejemplo, el primero con el segundo término y tercero con el cuarto. entre el primer y segundo término el MCD es a y entre el segundo y cuarto tér- mino el MCD es x, por lo tanto, factorizamos por parte con estos valores. = = factorización de trinomios de la forma: Características de este trinomio : FACTORIZACION DE TRINOMIOS a) Existe un término formado por una letra que es un cuadrado perfecto que es y cuyo coeficiente numérico es 1. b) Otro de los términos está formado por un coeficiente numérico cualquiera junto con la misma letra del término anterior, pero elevado a uno, que es 8x. c) El tercer término es un coeficiente numérico sin letra, que es el número 15. Ejemplo: Desarrollar el siguiente producto notable, que corresponde al producto de dos binomios que tienen un término en común que es la letra x. Observando el desarrollo anterior, concluimos que: 1) La factorización del trinomio corresponde al producto de dos binomios que tienen un térmi- 2

3 mino en común que es x. es decir: 2) Los otros dos términos de este producto corresponden a encontrar dos números que cumplan con la condición, que la suma sea igual a 8 y el producto sea 15, estos números son 5 y 3. por lo tanto su factorización es: FACTORIZACION DE TRINOMIOS QUE SON CUADRADOS PERFECTOS Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio:. Características de este trinomio: a) Existen dos términos que son cuadrados perfectos que son y 25. b) El segundo término se forma como sigue, la raíz cuadrada de es a y la raíz cuadrada de 25 es 5, ahora ahora, el doble del producto de a y 5 debe ser igual a 10a. A partir de esta identificación, este trinomio lo podemos factorizar de dos formas : 1º forma : Viendo estas características, nos damos cuenta que este trinomio corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio. por lo tanto, su factorización es la siguiente es porque el término es negativo. ; el signo menos del binomio 2º forma : Este trinomio se puede considerar como el producto de dos binomios que tienen un término en común, este término en común puede se la letra x o el número 5. FACTORIZACION DE TRINOMIOS QUE SON MULTIPLOS DE CUADRADOS PERFECTOS Para reconocer este trinomio, en primer lugar debemos verificar si existe uno o dos términos que son cuadrados perfectos, claramente se ve que no los hay (aunque podría haberlos). Luego se debe verificar si existe un MCD entre todos los términos de este trinomio, que es la primera sugerencia que se debe tener presente al factorizar cualquier polinomio. 1º sugerencia: Verificar si existe un MCD entre todos los términos del polinomio. El MCD entre 12, 84 y 147 es 3. por lo tanto: pero, a su vez corresponde a la factorización de un cuadrado de binomio. 3

4 FACTORIZACION DE TRINOMIOS DE LA FORMA pasos : Claramente se observa que no hay cuadrados perfectos, aunque podría haberlos, además, el coeficiente que acompaña a siempre es distinto de 1. Los siguientes son los pasospara factorizar este trinomio. a) Multiplicar todos los términos del trinomio por el número 3 que acompaña a. luego de multiplicar se colocan los productos de la siguiente forma : este trinomio se facto-riza como un producto de dos binomios que tienen un término en común que es 3x, los otros dos términos son dos números que sumados den 5 y multiplicados 6, uno o los binomios se pueden factorizar, en este caso el binomio se puede factorizar por 3. en el primer paso multiplicamos el polinomio en forma arbitraria por 3, y a- si como multiplicamos ahora debemos dividir por 3, es decir, no se hizo nada. se eliminan los 3, y la factorización final es la siguiente : se multiplica por 15 término en comunes 15m y los otros dos términos son 10 y 9. se divide por 15 resulta : FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Características de este trinomio : 4

5 a) El polinomio tiene sólo dos términos, unidos por un signo negativo. b) Los dos términos son cuadrados perfectos y 9. A partir de esta identificación, este binomio lo podemos factorizar de dos formas: 1º forma : Viendo estas características, nos damos cuenta que este binomio corresponde a una diferencia de cuadrados y se factoriza como el producto de dos binomios conjugados, de la siguiente forma: 2º forma : Considerar este trinomio como un trinomio en donde el tercer término es igual a 0a, es decir:, y ahora se factoriza como el producto de dos binomios que tienen un término en común que es 2a y los otros dos términos son dos números que sumados den cero y multiplicados. Estos números son 3 y y su factorización es: Ejercicio: Factorizar el siguiente trinomio. FACTORIZACION DE UN MULTIPLO DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Verificar si existe un MCD entre los dos términos de este binomio, recordar la primera sugerencia. El MCD entre 5 y 180 es 5 y entre la letras es ab, por lo tanto el MCD final es 5ab. por lo tanto: pero, a su vez corresponde a la factorización de una diferencia de cuadrados. Ejercicio: Factorizar el siguiente trinomio. FACTORIZACION DE POLINOMIOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Ejercico: Factorizar el siguiente trinomio. Observar que no existe un MCD entre todos los términos del polinomio y que los tres primeros términos corresponden al desarrollo de un cuadrado de un binomio. al factorizar este cuadrado de binomio, obtenemos una nueva diferencia de cuadrados. 5

6 y volvemos a factorizar : eliminando los paréntesis se obtiene: Ejercicio: Factorizar el siguiente trinomio. En este caso podemos formar dos desarrollos de cuadrados de binomios, los términos se deben ordenar convenientemente de acuerdo a sus letras, como sigue: los tres primeros términos se factoriza como un cuadrado de binomio. entre los tres términos que quedan hay dos que son cuadrados perfectos, pero estos son negativos, para que estos dos términos sean positivos debemos factorizar por es decir: ahora si podemos factorizar el trinomio es decir: como un cuadrado de binomio. al igual que anteriormente se trata de una diferencia de cuadrados y debemos volver a factorizar en forma muy cuidadosa, como sigue : eliminando los paréntesis se obtiene : FACTORIZACION DE UN POLINOMI QUE CORRESPONDE A UN CUBO DE UN BINOMIO Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio. Características de este trinomio : a) El polinomio tiene cuatro términos. b) Existen dos términos que son cubos perfectos que pueden se positivos o negativos, y que son y. Calculando la raíz cúbica de estos términos encontramos los dos término que forman el cubo del binomio estos términos son 5a y 2b y por lo tanto la factorización de este polinomio es. 3) Los otros dos términos que quedan se comprueban que son parte del desarrollo del cubo del binomio como sigue: - uno de los término resulta del triple del cuadrado del primer término del cubo del binomio por el segundo término. 6

7 - el otro término resulta del triple del primer término por el cuadrado del segundo término. por lo tanto la factorización del polinomio es: Ejercicio: Factorizar el siguiente polinomio FACTORIZACION DE UNA SUMA O DIFRENCIA DE CUBOS Ejemplo. Factorizar el siguiente polinomio. Características de este trinomio : a) El polinomio tiene dos términos. b) Los dos términos son cubos perfectos, unidos por un signo + ó. Para factorizar una suma o resta de cubos tenemos que recordar los productos notables, que son : por lo tanto la factorización de es: Ejercicio: Factorizar el siguiente polinomio. 2º sugerencia : Contar el número de términos que tiene el polinomio. diferencia de cuadrados 2 términos : diferencia de cubos suma de cubos trinomio de la forma x + b x + c 3 términos : trinomio de la forma trinomio cuadrado perfecto 4 términos : cubo perfecto 7

8 nota : Cuatro o más términos, puede corresponder a la factorización de agrupación de términos o polinomios que pueden expresarse como una diferencia de cuadrados. 8

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