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1 ENCUENTRO # 6 TEMA: Fracciones algebraicas CONTENIDOS:. Máximo común divisor 2. Mínimo común múltiplo 3. Simplificación de fracciones algebraicas 4. Suma de fracciones algebraicas 5. Resta de fracciones algebraicas Ejercicio Reto. El valor de (204)(206) es: A)20 B)202 B)203 D)204 E)205 a 6 + 2a b 5 a 0 b 6 + a 6 b 0 2a 5 b b 6 2. b8 a 3 b 5 + a 5 b 3 a 8 es equivalente a 2 b 7 + a 7 b 2 a 9 b 9 a 3 a 6 b 7 + a 7 b 6 b3 a: A)a 2 b 2 B) a b 5 C) a5 +b 5 D) a8 +a 3 b 5 +b 8 E) b8 a 8 a 3 a 2 b+b 3 a 3 b 3 a 5 a 2 b 3 +b 5 a 5 +b 5 Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es el término algebraico que se divide por todas y cada una de las expresiones dadas. Regla para obtener el mínimo común múltiplo. Se obtiene el MCM de los coeficientes. 2. Se toman los factores que no se repiten y, de los que se repiten, el de mayor exponente, y se multiplican por el mínimo común múltiplo de los coeficientes. Portal de Matemática portaldematematica.com

2 Ejemplo.. Determina el mínimo común múltiplo de las expresiones: 5 y 2 z, 24xy 2 z, 36y 4 z 2. Se encuentra el mcm de 5, 24, El mcm de los coeficiente 5, 24 y 36 es Se toman todos los factores y se escogen los de mayor exponente en el caso de aquellos que sean comunes y, los que no, se escriben igual quedando y 4 z 2 Finalmente, el MCM es 360 y 4 z 2 Ejemplo.2. Encuentra el MCM de 4m 2 + 8m 2, 2m 2 6m + 4, 6m 2 + 8m 24. Se factorizan los polinomios y se escogen los factores: 4m 2 + 8m 2 4(m 2 + 2m 3) 4(m )(m + 3) 2m 2 6m + 4 2(m 2 3m + 2) 2(m )(m 2) 6m 2 + 8m 24 6(m 2 + 3m 4) 6(m )(m + 4) Se obtiene el mcm de los coeficientes de 4, 2 y El MCM de 4, 2 y 6 es El MCM de los factores es: (m + 3)(m 2)(m + 4)(m ) Por consiguiente, el MCM es: 2(m + 3)(m )(m 2)(m + 4) Portal de Matemática 2 portaldematematica.com

3 Ejercicios propuestos Factoriza las siguientes expresiones:. 35 y 3 z 4 ; 42 y 4 z4; 70 y 5 z m 3 y 4 ; 96m 2 y 2 ; 20m 4 y y; 8x 3 y 2 ; 2 yz; 0xy 3 z a 2 bc; 52 2 c; 78c m 2 n x ; 75m 4 n x+2 ; 05mn x x a y b ; 3 a+2 y b+ ; 44x a+ y b a 2 (x ) 3 ; 24a 4 (x ) 2 ; 30a 5 (x ) (a b)(x + y) 2 ; 45(a b) 2 (x + y) 9. 24(2x + ) 2 (x 7); 30(x + 8)(x 7); 36(2x + )(x + 8) (a 3 + a 3 b); 57a( + b) 2 ; 76a 4 ( + b) 3. xy + y; + x 2. m 3 ; m 2 3. m 2 + mn; mn + n 2 ; m 3 + m 2 n 4. y 2 ; x2 2xy + y x; x 3 4x; y 2xy; x a 2 a; 27a 3 ; 9a 2 6a + 7. m 2 2m 8; m 2 m 2; m 3 9m m 8. 2a 3 2a 2 ; 3a 2 3a; 4a 3 4a b 2 + 8b + ; 2b 2 5b y 3 2y 2 5y + 6; 2y 3 5y 2 6y + 9; 2y 2 5y x; + 2x + ; + ; 7 + 7; 4x a; 4b; 6a 2 b; 2a b 2 ; 5 3 5b xy 2 ; 3 3 ; a b 2 ; ax a + bx b Portal de Matemática 3 portaldematematica.com

4 Suma y resta de fracciones algebraicas con denominador común Ejemplo 2.. Determina el resultado de: 2a a2 b + 3a + 4a2 b. a 2 b a 2 b Se simplifica cada fracción, si es posible 2a a 2 b a 2 b (a)(2 ) a 2 b 2 ; 3a + 4a2 b a 2 b (a)(3 + 4) a 2 b Se suman las nuevas expresiones resultantes. Como los denominadores son comunes, en la fracción resultante sólo se reducen los numeradores y el denominador permanece igual Ejemplo 2.2. Encuentra el resultado de 2m + n m 5n + n m En este caso ningún sumando se puede simplificar, entonces el común denominador es, y sólo se reducen los numeradores. 2m + n 5n +5m + n m 2m + n + 5m 5n + n m 6m 3n (3)() 3 Ejercicios Propuestos Factoriza las siguientes expresiones:. 2 7x + 6x2 +x m 2 6m 4mn + 2m2 3m 4mn 7. 2 x+5 22x + 6+x x2 22x 2. a 2 a 7 2a2 a 5. 35n 7 5n 2 n 5n 3 5n 2 n 8. y + 5x 3y +6y 2y 2y 2y 3. 7n 0n 8n 4 0n 6. y 2 4y 2y2 +y 6y 2 6y a+5b a+6b + 3a b 8a 2b 8a 2b 8a 2b Portal de Matemática 4 portaldematematica.com

5 3. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Ejemplo 3.. Efectúa la siguiente operación: 2y + 5y 2 4. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se realizan las operaciones correspondientes 2y + 5y 2 4x ()(2x2 ) + (5y)(y 2 ) 6x3 + 5y y 2 4 y 2 Ejemplo 3.2. Realiza la siguiente operación y simplificar al máximo x + h x. Se obtiene el común denominador de los denominadores x + h y x, posteriormente se procede a realizar la diferencia de fracciones x + h x x (x + h) (x)(x + h) x x h (x)(x + h) h (x)(x + h) Ejemplo 3.3. Efectúa 6x x 3. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se efectúan las operaciones: 6x x 3 ()() + (4)(x 3) (x 3) 2 + 4x 2 (x 3) 2 7x 2 (x 3) 2 Ejemplo 3.4. Realiza la siguiente operación (x + h) 2. Se determina el común denominador, este se divide por cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su numerador, los productos se reducen al máximo (x + h) 2 + 2hx + h 2 (x2 2hx h 2 + ) ( + 2hx + h 2 )( ) ()(x2 ) ()( + 2hx + h 2 ) ( + 2hx + h 2 )( ) 2xh h 2 ( + 2hx + h 2 )( ) Portal de Matemática 5 portaldematematica.com

6 Ejemplo 3.5. Simplifica la siguiente expresión: + ( + ) 2 A los enteros se les coloca la unidad como denominador: + Luego, el común denominador es, por tanto + + (x2 + ) 2 + (x2 + ) 2 (x2 )() + [][] se aplica la propiedad a m a n a m+n y se simplifica al máximo el numerador, entonces: Ejemplo [][] x2 + ( + ) x 3 2x2 + 2x (x 4 ) 2 Simplifica la siguiente operación: (x 3 ) (x 3 ) El común denominador de esta diferencia de fracciones es (x 3 ) 2 3, entonces: x 3 (x 3 ) 2 3 (x 3 ) 3 x 3 (x 3 ) (x 3 ) 2 3 x3 (x 3 ) (x 3 ) 2 3 x3 x 3 + (x 3 ) 2 3 (x 3 ) 2 3 Por tanto, la simplificación es: Ejemplo 3.7. x 3 (x 3 ) 2 3 (x 3 ) 3 x 3 (x 3 ) (x 3 ) 2 3 (x 3 ) 2 3 Efectúa y simplifica la siguiente expresión: (x)(x2 + ) 2 (x)(x2 ) 2 ( ) 2 El común denominador es el producto de los denominadores:. Se realiza la operación: ( ) 2 (x) ( ) 2 (x)(x2 ) 2 (x)(x2 + ) (x)( ) ( ) 2 x3 + x x 3 + x ( ) 2 (x)(x2 + ) (x)( ) ( ) 2 2x ( ) 2 Portal de Matemática 6 portaldematematica.com

7 En el denominador los factores están elevados al mismo exponente, se pueden multiplicar las bases, las cuales dan como resultado una diferencia de cuadrados, por tanto: (x) ( ) 2 (x)(x2 ) 2 2x ( ) 2 Ejemplo 3.8. (x 2) 2 3 Simplifica la siguiente operación: 2(x + ) 3. 3(x + ) 2 3 3(x 2) 3 Se obtiene el común denominador y se procede a realizar la diferencia: (x 2) 2 3 3(x + ) 2 3 2(x + ) 3 3(x 2) 3 (x 2) (x + ) (x + ) 2 3 (x 2) 3 (x 2) 2(x + ) 3(x + ) 2 3 (x 2) 3 x 2 2x 2 3(x + ) 2 3(x 2) 3 Por último se simplifica el numerador, entonces: (x 2) 2 3 3(x + ) 2 3 2(x + ) 3 3(x 2) 3 Ejemplo 3.9. Realiza y simplifica la operación: a + b a 2 20b 2 Se factorizan los denominadores: x 4 3(x + ) 2 3(x 2) 3 a + 4b a 2 4 5b 2 + a 2 20b 2 (a 5b)(a + 4b) a 2 4 5b 2 (a 5b)(a + b) a b 2 (a + 4b)(a + b) La expresión con los denominadores factorizados es: x + 4 3(x + ) 2 3 (x 2) 3 a + 5b a b 2 a + b (a 5b)(a + 4b) a + 4b (a 5b)(a + b) + a + 5b (a + 4b)(a + b) Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores: (a 5b)(a + 4b)(a + b). Se resuelve la fracción: (a + b)(a + b) (a + 4b)(a + 4b) + (a 5b)(a + 5b) (a 5b)(a + 4b)(a + b) a b 2 a 2 8 6b 2 + a 2 25b 2 (a 5b)(a + 4b)(a + b) a b 2 (a 5b)(a + 4b)(a + b) Portal de Matemática 7 portaldematematica.com

8 El numerador se factoriza, si es posible, para simplificar al máximo, entonces Ejercicios Propuestos Efectúa las siguientes operaciones: x 2 4x + x + 5 0x x + 2x + 2x + 3 x 4 + x 3 9 6x x + h + 2 x + 2 x + h + x + h x + x 2 (x + h) (a 0b)(a + 4b) (a 5b)(a + 4b)(a + b) a 0b (a 5b)(a + b) (x + h) 2 (x + h) 2 + x2 + 6x 9 + x x x + + x + 2 7x + 6x x + + x x 24 4x 4 + x x x 6 x x 2 + 2x 8 3 2x Portal de Matemática 8 portaldematematica.com

9 x 4 + x x + 2 4x 5 + x x x x x x x 0 + 2y + y 0y 2 3 2x (2x)(x 2) 3 3(x 2) 3 5x + y + 4xy 5y 2 + 4x y y + 2y 2 Portal de Matemática 9 portaldematematica.com

Fundación Uno A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. es equivalente a 12 b 7 + a 7 b 12 a 19 a 19 a 13 a 6 b 7 + a 7 b 6 b13 a: D) a8 +a 3 b 5 +b 8

Fundación Uno A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. es equivalente a 12 b 7 + a 7 b 12 a 19 a 19 a 13 a 6 b 7 + a 7 b 6 b13 a: D) a8 +a 3 b 5 +b 8 ENCUENTRO # 6 TEMA:Fracciones Algebraicas CONTENIDOS:. Máximo Común Divisor 2. Mínimo Común Múltiplo 3. Simplificación de Fraciones Algebraicas 4. Suma de Fracciones Algebraicas 5. Resta de Fracciones

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