Números Naturales. Cero elemento neutro: = 12 Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número = 9


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1 Números Naturales Cuando comenzamos a contar los objetos, los años, etc, nos hemos encontrado con los números de forma natural; por eso a este conjunto de números así aprendidos se les denomina números naturales. Se representan con la letra N, y son N = {1, 2, 3, 4, 5, } Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a N. Suma Sumar dos números naturales es añadirle al primero tantas unidades como indica el segundo. Los elementos de la suma se llaman sumandos El resultado se llama suma total. Propiedades Conmutativa : si cambiamos el orden de los sumandos la suma no varia: Asociativa : si efectuamos sumas parciales la suma no varía: = = 9 (2 + 1) + (3 + 5) = 11 Cero elemento neutro: = 12 Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número = 9 Uniforme : a una igualdad le sumamos un mismo número se obtiene otra igualdad es igual a = = 10 Indica qué propiedad o propiedades se ha aplicado en cada una de las siguientes igualdades: = ( ) = (6 +1 4) = (64 + 8) +1 9 = ( ) = Sumas algebraicas : sucesión de sumas y restas de números naturales. a) Aplico propiedad asociativa : Se agrupa los números positivos y se resta la suma de los números negativos. Ejemplo: = ( ) - ( ) = = = ( ) ( ) = = 7 Resta Restar es disminuir al primer número tantas unidades como indica el segundo. Los elementos de la resta se llaman minuendo y sustraendo. El resultado se llama Diferencia. Propiedades No es conmutativa: si cambiamos el orden del minuendo y el sustraendo,la resta varia No es asociativa 5-2 = = - 3 Cero elemento neutro: 8-0 = 8 Sucesión fundamental: se obtiene el número anterior anterior Uniforme: si a una igualdad le restamos un mismo número se obtiene otra igualdad 8-1 = = = = 1 Roger Cueva M. 1

2 Ejemplos de operaciones combinadas de adición y sustracción = 20 5 = ( 8 5 ) = = ( 8 5 ) 12 3 = = = (15 10 ) = 36 5 = 31 Multiplicación Consiste en sumar el primer número tantas veces como indique el segundo. Los elementos del producto se llaman factores. El resultado se llama producto. Ejemplo: = 20 5 x 4 = 20 Propiedades de la Multiplicación Conmutativa : El orden de los factores no altera el producto. Asociativa : sí sustituímos dos o más factores por su producto, el producto final no varía. Propiedad distributiva : Para multiplicar una suma algebraica por un número natural se multiplica cada sumando por dicho número natural y luego se suman los productos parciales. 2 x 3 = 6 3 x 2 = 6 ( 2 x 3 ) x 4 = 24 2 x ( 4 x 3 ) = 24 ( ). ( ) = ( 3.3 )+ (3.4) +( 4.3) +(4.4)+( -3.3)+( -3.4) = = 28 Ejemplos 1. Resuelve aplicando la propiedad distributiva: a) 2 x (3 + 5) = b) 7 x (4 3) = c) ( ) x (5 + 7 ) = d) ( ) x 9 = e) 6 x (9 3) = f) (7 4) x 2 = División Dividir dos números naturales llamados dividendo (D) y divisor (d) es obtener dos número naturales llamados cociente (c) y resto ( r): D = d c + r, donde D d y r < d. Ejemplo: 13 : 4 da de cociente 3 y de resto 1, es decir: 13 = Propiedades No es conmutativa No es asociativa Propiedad distributiva: para dividir una suma algebraica por un número natural se divide cada sumando por dicho número natural y luego se suman los cocientes parciales 6 : 2 = 3 2 : 6 = 0,333 ( 8 : 4) : 2 = 1 8: ( 4 : 2 ) = 4 ( 4 + 8) : 2 = (4 : 2) +( 8 : 2) = 6 No se puede: 2 : ( ) = (2 : 4) +( 2 : 8) 0,5 + 0,25 = 0,75 Roger Cueva M. 2

3 Radicación Prioridad de las operaciones con números Si hay paréntesis, se resuelven siempre en primer lugar. Primero se efectúan las divisiones y las multiplicaciones y, por último, las sumas o restas según el orden en que aparezcan de izquierda a derecha. Ejercicios: : 4 = 3 2. (5 x 6 ) : 10 = 3 3. ( : 5 ) 2 = 4 4. (18 : ) : 2 15 : 5 = 4 problema: 1. Ana María es una jovencita que es un poco caprichosa para decir su edad; lo dice de la siguiente manera: si su edad se divide entre 2, 3, 5 ó 6, siempre se obtiene un residuo de 1. Qué edad tiene Ana María?. No es conmutativa No es asociativa Distributiva con respecto a la multiplicación y la división 4.9 = 4. 9 Potenciación: Una potencia es un producto de varios factores iguales (el factor que se repite se llama base). El exponente de una potencia es el números de veces que se repite la base. Cuadrados y cubos No es conmutativa No es distributiva con respecto a la suma y la resta ( ) ( 7-2 ) Distributiva con respecto a la multiplicación y la división ( 2. 4 ) 2 = (10 : 5 ) 2 = 10 2 : 5 2 Número Cuadrado Cubo Producto de potencias de igual base Es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas = 2 ( 3 + 5) = 2 8 Cociente de potencias de igual base 3 8 : 3 3 = 3 ( 8-3 ) = 3 5 Potencia de otra potencia [( 2 ) 3 ] 4 = 2 ( 3. 4 ) = 2 12 Cuadrado de la suma de dos números naturales Roger Cueva M. 3

4 ( a + b ) 2 ( a + b ). ( a + b ) Aplicando propiedad distributiva a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Trinomio cuadrado perfecto Producto de la suma por la diferencia de dos números ( a + b ). ( a - b ) Aplicando propiedad distributiva a 2 - ab + ab - b 2 = a 2 - b 2 Diferencia de cuadrados Roger Cueva M. 4

5 Ejercicios con números naturales 1) = 2) = 3) = 4) = En las siguientes igualdades pasar de un miembro al otro, todos los términos subrayados a) a = x + 1 b) a + x = b c) = b - a + 6 d) m + n x = z e) 12 + a + 5 = x b Efectuar todas las reducciones posibles en las siguientes igualdades a) x + a = z - 3 b) z = c) z - 8 = k - 1 d) 6 + y - x + 1 = y a + 5 e) m = 3 - a f) a b - a = b x g) x x = 10 - a a h) x - z + 8 = 4 + x z Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones. 1) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6-4 ) - 5 ] } Respuesta : 14 2) ( ) ( ) + ( ) Respuesta : 23 3 ) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5-1 ) - ( ) + 6 ] - 7 } +8 Respuesta : 46 4) { [ ( )] - 3} - 3 Respuesta : 10 5) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4-2 ) + 7 ] + ( ) } + 4 Respuesta : 37 6) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] ( 2 + y + 3 ) Respuesta : 4 7) ( 15-3 ) - { 2 - [ 5 - ( ) ] + 4 } Respuesta : 13 Propiedad distributiva Ejemplo: ( ). 2 = = = 20 Factor común ( ) = Todos los términos son divisibles por 2 4:2 + 10:2 + 6:2 = 2.( ) Aplicar propiedad distributiva a) ( ).6 = b) ( 9a + 4b +3m + 2 ).5 = c) ( 9-4 ). 5a = d) ( ).2 = e) 4x.( 5b - 2m + y - 4 ) = f) ( 15x - 10 ).2 = Sacar factor común a) ( ) b) c) d) e) ax + bxy - zx + x - nx f) 9x + 6ax - 3x - 30xy + 15xz Resolver aplicando propiedad distributiva a) ( ) : 9 b) ( ) :7 c) ( ) : 11 d) (18x - 6y - 30z + 12a - 6 ): 6 e) ( 10n + 15mn +5an + 25nx + 50n):5n f) ( 80ax- 60ay ) : 10a Roger Cueva M. 5

6 Resolver las siguientes potencias Aplicar propiedades de la potenciación a) ( ) 2 = b) ( 36 : 12 ) 2 = c) ( ) 3 d) ( 6 : 2 ) 4 Calcular a) a 2. a 5. a 6. a = b) = c) ( b 5 : b ). ( b 3 : b 2 ). ( b 9 : b 7 ) = d) 16 2 : 4 2 = e) ( a 2 ) 3 : a 5 = f) ( 3x 2 ) 2. x 3 = g) ( p 3 : p ) 2 : [ ( p 3 ) 2 ] 0 = h) ( 5 a 3 b 2 c 4 ) 2 = i) ( 3a + 5 ) 2 = j) ( 2a 2 x + 3a ) 2 = k) ( 3x - 7 ) 2 = l) ( 4a 3-3a ) 2 = Aplicar propiedades de la radicación 1) ( ) = 2) = 3) = 4) 5 ( ) = Roger Cueva M. 6

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