Contenido: 1. Definición y clasificación. Polinomios.


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1 Polinomios. Contenido:. Definición y clasificación.. Operaciones.. Simplificación. 4. Productos notables.. Factorización. 6. Completar cuadrados. 7. Nociones de despeje.. Definición y clasificación Definición. Un polinomio en x es una suma de la forma a n x n + a n x n a x + a 0 donde n es un entero no negativo y cada coeficiente a k es un número real. Si a n 0, se dice que el polinomio tiene grado n La siguiente tabla contiene ilustraciones específicas de polinomios. Ejemplo Grado x 4 + x + 7)x x 8 + 9x + )x 8 x + 7x Definición. Dos polinomio son iguales si y sólo si son del mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes de x son iguales. Ejemplos de NO POLINOMIOS. x + x; x x + ; x + x

2 . Operaciones Ejemplo. Suma y restas de polinomios: a.- Halla la suma: x + x x + 7) + 4x x + ) Solución: Para obtener la suma de cualesquiera dos polinomios en x, sumamos los coeficientes de potencias semejantes de x. x + x x + 7) + 4x x + ) = x + x x x x + = + 4)x + )x x ) = x x x + 0 b.- Halla la resta: x + x x + 7) 4x x + ) Solución: Para restar polinomios primero eliminamos los paréntesis pero, cuidado, el signo menos que precede al segundo par de paréntesis cambia el signo de cada término de ese polinomio. x + x x + 7) 4x x + ) = x + x x + 7 4x + x = 4)x + + )x x + 7 ) = x + 7x x + 4 Ejercicios. Hallar la suma de:... x + y x y + ; 0 x y + 4 xy ; y + 8 xy 4 x y ; xy + 6 y ; 0 xy + y 6 x y + 4 xy ; xy 6 x + 8 y ; 6 xy x + 4 y 4. a ab + b ;. x 4 x + ; 6. x y ; 6 a b 8 ab b ; 4 a a b b x 8 x ; x4 + 6 x 4 x 0 x y 4 xy4 6 y ; x4 y 6 x y 9 y ; x 4 y x y y

3 Ejemplo. Multiplicación de binomios: a.- Halla el producto: 4x + )x ) Solución: 4x + )x ) = 4x)x) + 4x) ) + )x) + ) ) = x 8x + x 0 = x + 7x 0 Ejemplo. Multiplicación de polinomios: a.- Halla el producto: x + x 4)x + x ) Solución: Método : Usamos la propiedad distributiva, tratando al polinomio x + x como un número real x + x 4)x + x ) = x x + x ) + xx + x ) 4x + x ) = x + x x + 0x 4 + x x 8x x + 4 = x + 0x 4 x + 4x 7x + 4 Método : Listamos los polinomios y enseguida los multiplicamos, dejando espacios para las potencias de x que tengan coeficientes 0: Ejercicios. Multiplicar:. a b por a + b. x y por 6 y + x. 4. x xy + 4 y por 4 a ab + b por x + x x + x 4 x + x x 0x 4 + x x 8x x + 4 x + 0x 4 x + 4x 7x + 4 x y 4 a b

4 m + mn n por 8 x + 4 x ax x + a por 7 x + xy x y por por x x + + x 4 x + 4 x por m + n mn x ax + a 4 m m n + mn 4 n por 4 x xy + 6 y x + 0 x m + n mn. a x+ a x+ 7a x por a x + 6a x+ + 7a x+. x a+ x a 6x a por 6x a+ 4x a + x a + x a. a x+ a x a x+ a x por a x a x + 6a x+ Ejemplo 4. División de un polinomio entre un monomio: Expresa como polinomio en x y y: Solución: 6x y + 4x y 0xy xy 6x y + 4x y 0xy xy = 6x y xy + 4x y xy 0xy xy = xy + x y Ejemplo. División de dos polinomios: Dividir x + x 8 entre x + Solución: x + x 8 x + x 6x x 4 4x 8 4x +8 4

5 Ejercicios. Dividir:. a + a entre a +. a a entre a +. x 0 + x entre x + 4. m m + 0 entre m 6. x 8x entre x a + a entre a x xy y entre y + x 8. x 8y + xy entre y x 9. a + 8ab b entre a + b 0. 4x + x entre 7x. 8a + ab 4b entre b a. a x+ + a x entre a +. x a+ x a+ + x a+4 4x a+ + x a+ entre x a+ x a+. Simplificación Expresiones Racionales caso especial de una expresión fraccionaria): Son expresiones de la forma: 6x x + 4, x x y + 4y x 9 y x Ejemplo 6. Suma de fracciones Exprese como un número racional simplificado: = = 46 4 = = 4 7 Ejercicios 4. Escribir la expresión como un número racional simplificado

6 Ejemplos: Simplificación de una expresión racional x x x 4 Productos de expresiones racionales: x 6x + 9 x x x x + )x ) = x + )x ) = x + x + = x 6x + 9)x ) x )x ) x ) x ) = x + )x )x ) x ) = x + Suma de expresiones racionales: x + x + 6x x x 9 + x = x + x + ) + x x + )x ) + x x + )x ) + xx + ) + x + ) = Simplificación de una fracción racional: = x x ) + x + x) + x + 6x + 9) x + ) x ) = x + 4x ) x + ) x ) x+ a+ x a a+) x+) x+)a+) = x a a x) = x + )a + )x a) = x + )a + ) 6

7 Operaciones algebraicas con fracciones. Suma: Ejercicios. Efectúe las operaciones indicadas con las fracciones y simplifíquese: a) b) c) d) e) f) g) x + x a + ab a b a + b a 0b a + b + a b 4ab ab a b a nm + m + n m + a 6 + a + 4 x x + x + x + ax h) i) j) k) l) m) n) a + x + a 0x + x a ax + x + x + x + 6x x y x + y + + y 4x 0 m n mn + n a na + a m am x + x + x + x x 9x ab + b b ab + b + ab a b a + b ab + a m am + a. Resta: Ejercicios 6. Efectúe las operaciones indicadas con las fracciones y simplifíquese: a) b) c) d) e) f) x x a + b b a ab mn m n a ab 4 ab a b a + a 4a 8a y x 0x x y 4y g) h) i) j) k) x x 4 x + 6 a + 0a 4a + 0a x x x + x + x x x x 4 x + 6 a + b ab 6a b 7

8 . Multiplicación: Ejercicios 7. Efectúe las operaciones indicadas con las fracciones y simplifíquese: a) b) c) d) e) a b 6b 4a x y 0a m 9m x x 7y 4y 7m 4m x 4 x + 7x x + 0 a + a ) a a ) b b + f) g) h) i) j) x ) x + x ) x + a a + x 4x a + x + ) x + x + ) x + x + + x a ) x + ) 6 ) ) a x + a + x ) x + x + a + 4x + ) x ) 0 x x + 4. División: Ejercicios 8. Efectúe las operaciones indicadas con las fracciones y simplifíquese: a) b) c) d) e) x y x y a b x a b x x 6 a a 0 a + a 4 + a ) + a ) a + b b f) g) h) i) x ) x x ) x + x + a 9 a + 0 a 6 a a a + 4 a a a x y y x + y x Ejercicios 9. Simplificar la expresión. x + 7x + x 7x 4. y y. x + 9x x + 7x y 9 y + 7 8

9 r r r + r 0 + r r r 4 + r 9x 4 x x + 9x4 6x + 4x 7x 4 + 8x 4x 9 x + 7x + 6 4x4 + 6x + 9x 8x 7 7x 4 a + a + 4 a 4 6 a 8 a 4 a a x 4 x x 4 x 9 x x 9 s + 9 s + ) 4 s ) + s s x + x + x x x x x + x + x x t t + + t t 40 t 4 t t + + 4t t 8 t 9 a + 0a + 4 a a 4x x x 4x + x x x + x + x + x x x + 8 x + x + x.. 4. x x + 6 x + x + x p 4 + p 8p 4 p p 9p + 8 ac + bc 6ad bd 6ac + ad + bc + bd. + u + u u u u u x + x + 4x + 4 6x x 4 + x x + 6 x + 6x x x x b a a b a b x + 4 x x x y y x y x r s + s r r s s r y + x xy) y x y + x 9

10 x + + x x + x x x + w 6 w + w + 8 w + x a x a x + a + x a x a x + h) x + h) x x) h x + h) + x + h) x + x) h x + h) x h x + h x h 4 x + h 4 x h x + h + x + h 4. Productos Notables a) Diferencia de cuadrado: a + b)a b) = a b Ejemplo 7. a + )a ) = a) = 4a 9 Ejemplo 8. r s)r + s) = r ) s) = 4r 4 s Ejercicios 0. Desarrolle:. x + y)x y). 8xy)8xy + ). x + a )x a ) 4. x a y m )x a + y m ). a x+ b x )b x + a x+ ) 6. 6x m x)6x + m x) 7. [x + ) + x][x + ) x] 8. [t + ) + t ][t + ) t ] 9. [ x) + x ][ x) x ] b) Cuadrado de la suma: a + b) = a + ab + b Ejemplo 9. a + ) = 4a + a + 9 0

11 Ejercicios. c) Cuadrado de la diferencia: a b) = a ab + b Ejemplo 0. t ) = 4t t + 9 Ejercicios. Desarrolle:. 7x + ). a x + b x+ ). a b ) 4. 7a b + x 4 ). 4ax ) 6. a b 4 ) 7. x a+ x a ) 8. a x ) 9. x a+ + y x ) d) Cubo de un binomio Suma y Diferencia): a + b) = a + a b + ab + b a b) = a a b + ab b Ejemplo. a + ) = a) + a) ) + a)) + ) = 8a + 6a + 4a + 7 Ejemplo. a b) = a) +a) b)+a)b) b) = 8a 60a b+0ab b Ejercicios. Desarrolle:. n 4). + y ). y) 4. x + y ). x + ) 6. a ) 7. [t + ) + t ] 8. [u u + )] e) Producto de dos binomios que tienen un término común: x + a)x + b) = x + a + b)x + ab Ejemplo. x + )x + ) = x + + )x + = x + x + 6 Ejercicios 4. Desarrolle:. a b )a b + 7). x y 6)x y + 4). n 6)n + ) 4. a x )a x + 8). a + )a 9) 6. ab + )ab 6) f) Problemas Diversos: Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:

12 . Una terna a, b, c) de enteros positivos se denomina terna pitagórica si a +b = c. Por ejemplo, 4, ) y,, ) son ternas pitagóricas. Verifique que m, m, m + ) es una terna pitagórica siempre que m sea un entero mayor que.. Verifique que m n, mn, m + n ) es una terna pitagórica, siempre que m y n sean enteros positivos y m > n.. Si r > 0 y r + r ) =, determine r + r. 4. Si a + b = y a + b =, determine a + b.. Factorización a) Diferencia de cuadrados: a b = a + b)a b) Ejemplo 4. r 49s = r) 7s) = r + 7s)r 7s) b) Suma de cubos: a + b = a + b)a ab + b ) c) Diferencia de cubos: a b = a b)a + ab + b ) a + 64b = a + 4b) = a + 4b)a 4ab + 6b ) d) Trinomio cuadrado perfecto: a + b) = a + ab + b ; a b) = a ab + b e) Trinomio de segundo grado:dado un polinomio del tipo ax + bx + c, siendo a, b y c números reales. Se pueden hallar las raíces de dicho polinomio, de la siguiente manera: Con la fórmula cuadrática: ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac y se tienen dos soluciones x y x, entonces la a factorización es: ax + bx + c = ax x )x x ) Casos que se presentan cuando se están determinando los valores de x y x : Si b 4ac > 0, entonces, las raíces son reales y diferentes, es decir, x x. Si b 4ac = 0, entonces, las raíces son reales e iguales, es decir, x = x. Si b 4ac < 0, entonces, las raíces son complejas. Ejemplo. Factorización de polinomios: Factoriza: x 6xy + 7y

13 Solución: Puesto que cada término tiene como factor, empezamos escribiendo: x 6xy + 7y = 4x xy + 9y ) Una factorización de 4x xy + 9y como producto de dos polinomios de primer grado debe ser de la forma 4x xy + 9y = ax + by)cx + dy) Por lo tanto, ac = 4, bd = 9, y ad + bc =. Así obtenemos: 4x xy + 9y = x y)x y) = x y) x 6xy + 7y = 4x xy + 9y ) = x y) Factor Común. Sacar factor común: ax + y) = ax + ay. Factor común por agrupación de términos: ax+by+ay+bx = ax+y)+bx+y) = a+b)x+y) Ejemplo 6. Factoriza sacando factor común: x + x x 8 Solución: x + x x 8 = x + x ) x + 8) = x x + ) 4x + ) = x + )x 4) = x + )x + )x ) Ejercicios 6. Hallar las raíces del polinomio:. 6x + x = 0. 4x + x 4 = 0. x = 8x 4. x 4 = 9x. x4x + ) = 7 6. xx + 0) = x + x 0 = x + x 90 = 0 9. x + 60x + 7 = x 7x + 4 = 0... x x + + x 4 = 8 x + x x x + x + = 6 x x x x + 4 x + = 90 x 9

14 4. x x + x + = 4 x 4 Ejercicios 7. Resolver el trinomio de segundo grado. 6x x =. x + x = 6. x + 4x + = 0 4. x 6x = 0. x x 4 = 0 6. x + x + = 0 7. z 4z = 0 8. s + s + = 0 Ejercicios 8. Factoriza el polinomio w 0 w + = 0 x + x + = x x. 4x + 8 = 6x. 4x + 9 = 6x. x x + 9 = 4. 7 x + = 4 7 x. rs + 4st. a b 6a b. x y 9x y 4. x y x 4 y + 0x 6 y 4. r s r s 4 r 4 s 6. 8x x 7. x 6 7y 8. ay axy + 6xy x 9. a a b + ab b 0. 6w 8 + 7w 4 + Ejercicios 9. Factoriza y simplificar la expresión. x x + )4)x + ) ) + x + ) 4 4x ). 6x ) )x + 4)x) + x + 4) )6x ) 6). x 4) / )x + ) ) + x + ) ) x 4) / x) 4. x + ) / )4x )4) + 4x ) ) x + ) / ). x + ) 6 ) x ) / ) + x ) / 6)x + ) ) 6. x + 9) 4 ) x + 6) 4/ + x + 6) / 4)x + 9) x) 7. 6x + ) 7x + ) 9x + x))6x + ) 6) 6x + ) 6 4

15 x ) 4 x) x 4)x ) x) x ) 8 x + ) x) x )x + ) x) [x + ) ] x ) 4 x ) x 4)x ) x) [x ) 4 ] x + 4) / ) x) ) x + 4) / x) [x + 4) / ] x ) / x) x ) ) x ) / x) [ x ) / ] 4x + 9) / ) x + ) ) 4x + 9) / 8x) [4x + 9) / ] x + ) / + ) / ) x + ) / ) x + ) / ) [x + ) / ] 6. Completación de Cuadrados Este procedimiento nos permite obtener a partir de una expresión de la forma ax + bx + c, una expresión de la forma a x + a) b + k ax + bx + c = a x + ba ) x + c = a x + b ) ) ) ) b/a b/a a x + + c a = a x + b ) ) b a x + + c a a = a x + b ) ) + c b a 4a b a ) ) Ejercicios 0. Determinar los valores de d que completen el cuadrado para la expresión. a) x + 9x + d b) x 8x + d c) x + dx + 6 d) x + dx a) x + x + d b) x 6x + d

16 c) x + dx + d) x + dx Ejercicios. Resolver completando el cuadrado. x + 6x + 7 = 0. x 8x + = 0. 4x x = x + 0x + = 0 7. Nociones de despeje Ejercicios. Resolver para la variable indicada en términos de las variables restantes:. Fórmula general de la recta, ax + by + c = 0, para x e y.. Resistencia en circuitos paralelos R = R R R + R, para R y R.. Término n-ésimo de una sucesión aritmética, a n = a + n )d, para n. 4. Área de la superficie de un cilindro A = πrr + h), para h.. Resistencia en circuitos paralelos R = R + R, para R. 6. Ley de la gravitación de Newton F = g mm, para m. d 7. Área de un trapecio A = b + b )h, para b y b. 8. Ley de Amdahl S = p, para p y q. q + p q) Ejercicios. En cada una de las siguientes expresiones, despejar la variable x x y = ab a + b x y = m a + b x x ab y = m = m + s. 6. ab + xy mn x y b = z c = am n 7. x 4 = 8. 4x 8 ) = 6x , x +, 66x = 6, x = 9 x ax b bx a = a + b b a b) a + b = x a x + b 6

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