PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas


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1 PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas que se resuelven siguiendo Reglas y Fórmulas específicas para cada caso y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Distinguimos los siguientes casos: Binomio al cuadrado (a ± b) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (x + 3) 2 = x x = = x x + 9 (2x 3) 2 = (2x) 2 2 2x = = 4x 2 12 x + 9 Producto de la Suma por la diferencia (a + b) (a b) = a 2 b 2 (2x + 5) (2x - 5) = (2x) = 4x 2 25 Binomio al cubo (a ± b) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3 (x + 3) 3 = x x x = = x x x + 27 (2x - 3) 3 = (2x) 3-3 (2x) x = = 8x 3-36 x x - 27 Trinomio al cuadrado c (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c a b + 2 a c + 2 b

2 (x 2 x + 1) 2 = = (x 2 ) 2 + (-x) x 2 (-x) + 2 x (-x) 1= = x 4 + x x 3 + 2x 2-2x= = x 4-2x 3 + 3x 2-2x + 1 Suma de cubos a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) 8x = (2x + 3) (4x 2-6x + 9) Diferencia de cubos a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) 8x 3 27 = (2x 3) (4x 2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x 2 + (2 + 3)x = = x 2 + 5x + 6 Problemas Resueltos 1.-Desarrolla los binomios al cuadrado. 1) (x + 5) 2 = = x x =

3 = x x ) (2x + 5) 2 = = (2x) x = = 4x x ) (2x 5) 2 = = (2x) 2-2 2x = = 4x 2 20 x ) 2.-Desarrolla los binomios al cubo. 1) (2x 3) 3 = (2x) 3 3 (2x) x = = 8x 3-36 x x ) (x + 2) 3 = x x x = = x 3 + 6x x + 8 3) (3x 2) 3 = (3 x) 3 3 (3x) x = = 27x 3 54x x 8

4 4) (2x + 5) 3 = (2x) (2x) x = = 8x x x Desarrolla las sumas por diferencias 1) (3x 2) (3x + 2) = = (3x) = = 9x 2 4 2) (x + 5) (x 5) = = x ) (3x² 2) (3x + 2) = = (3x) = = 9x 4 4 4) (3x 5) (3x + 5) = = (3x) = = 9x 2 25 PROBLEMAS MONOMIO POR UN BINOMIO RESOLVER: APLICANDO LA FORMULA. x(x + 5) = 4x(x 8) = -9a(a ) = -6ab(a 2b) = 8a 3 (3x 7) = -5(4a + 2b) = 8x 2 (y z) = x(a + b) = ax + bx

5 m(3m 9n) = -3x 2 y(- 7x + 6xy) = 0. -1(m n) = RESPUESTAS: x(x + 5) = x 2 + 5x 4x(x 8) = 4x a(a ) = -9a 3 135a -6ab(a 2b) = - 6a 2 b + 12ab 2 8a 3 (3x 7) = 24a 3 x 56a 3-5(4a + 2b) = - 20a 10b 8x 2 (y z) = 8x 2 y 8x 2 z m(3m 9n) = 3m 2 9mn -3x 2 y(- 7x + 6xy) = 21x 3 y 18x 3 y (m n) = - m + n CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS RESOLVER APLICANDO LA FORMULA: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (x + 7) 2 = (m + n) 2 = (4x + 3) 2 =

6 (7x + 9y) 2 = (2x + 8x) 2 = (9x 2 + 5) 2 = (4x 2 + 3x) 2 (5a + 2b)(5a + 2b) = (2m 3 n + 6mn 2 ) 2 = 0. (10xy 3 + 1) 2 = RESPUESTAS: (x + 7) 2 = x x + 49 (m + n) 2 = m 2 + 2mn + n 2 (4x + 3) 2 = 16x x + 9 (7x + 9y) 2 = 49x xy + 81y 2 (2x + 8x) 2 = 4x x x 2 = 100x 2 (9x 2 + 5) 2 = 81x x (4x 2 + 3x) 2 = 16x x 3 + 9x 2 (5a + 2b)(5a + 2b) = (5a + 2b) 2 = 25a ab + 4b 2 (2m 3 n + 6mn 2 ) 2 = 4m 6 n m 4 n m 2 n 4 0.(10xy 3 + 1) 2 = 100x 2 y xy CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS RESOLVER APLICANDO LA FORMULA: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. (m 8) 2 =

7 (6x 5y) 2 (a m)(a m) =. (x 2 6x) 2 = (5x 3 4y 2 ) 2 = (9ab 2 a) 2 = (2x 4 6y 3 ) 2 = (3a 2 b 4 5ab 3 ) 2 = (1 3a) 2 = 10. (8m 2 n 3mn 2 ) 2 = RESPUESTAS: (m 8) 2 = m 2 16m + 64 (6x 5y) 2 = 36x 2 60xy + 25y 2 (a m)(a m) = a 2 2am + m 2 (x 2 6x) 2 = x 4 12x x 2 (5x 3 4y 2 ) 2 = 25x 6 40x 3 y y 4 (9ab 2 a) 2 = 81a 2 b 4 18a 2 b 2 + a 2 (2x 4 6y 3 ) 2 = 4x 8 24x 4 y y 6 (3a 2 b 4 5ab 3 ) 2 = 9a 4 b 8 30a 3 b a 2 b 6 (1 3a) 2 = 1 6a + 9a 2 0. (8m 2 n 3mn 2 ) 2 = 64m 4 n 2 48m 3 n 3 + 9m 2 n 4 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS RESUELVE SEGÚN LA FORMULA:

8 (x + a)(x - a) = x 2 a 2 (x + 8)(x - 8) = (m 2)(m + 2) = (1 y)(1 + y) = (a 4)(a + 4) = (4b + 8)(4b 8) = (5x 2-2y 3 ) (5x 2 + 2y 3 ) = (10m 3 c 5 ) (10m 3 + c 5 ) = (x 3 4y) (x 3 + 4y) = (ab 2 + 8a) (ab 2 8a) = 0. (2m 2 x + 7n 4 ) (2m 2 x - 7n 4 ) = RESPUESTAS:. (x + 8)(x - 8) = x 2-64 (m 2)(m + 2) = m 2-4 (1 y)(1 + y) = 1 y 2 (a 4)(a + 4) = a 2-16 (4b + 8)(4b 8) = 16b 2-64 (5x 2-2y 3 ) (5x 2 + 2y 3 ) = 25x 4 4y 6 (10m 3 c 5 ) (10m 3 + c 5 ) = 100m 6 c 10 (x 3 4y) (x 3 + 4y) = x 6 16y 2 (ab 2 + 8a) (ab 2 8a) = a 2 b 4 64a 2 0.(2m 2 x + 7n 4 ) (2m 2 x - 7n 4 ) = 4m 4 x 2 49n 8

9 PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN EJEMPLOS Y RESPUESTAS (x + 4)(x + 2) = x 2 + x(4+2) + (4)(2) = x 2 + 6x + 8 (m 9)(m + 8) = m 2 m - 72 (a 1)(a 11) = a 2 12a + 11 (s 1)(s 7) = s 2 8s + 7 (2x + 4)(2x + 5) = 4x x + 20 (6a 3)(6a + 1) = 36a 2 12a - 3 (x 2 + 8)(x 2 10) = x 4 2x 2-80 (3x + 2y)(3x 8y) = 9x 2 18xy 16y 2 (5x 2 + 2y)(5x 2 y) = 25x 4 + 5x 2 y 2y 2 0.(4m 3 n 5m)(4m 3 n 8m) = 16m 6 n 2 52m 4 n + 40m 2 CUBO DE LA SUMAS DE DOS TERMINOS RESOLVER SEGÚN LA FORMULA: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (m + n) 3 = (x + 5) 3 = (4x + 1) 3 = (x 2 + x) 3 = (3a + 6) 3 = (4x + 8y) 3 = (2m + n) 3 = (5x 2 + 3y) 3 =

10 (3a + 4)(3a + 4)(3a + 4) = 0.(x 2 y 3 + 5x) 3 = RESPUESTAS:. (m + n) 3 = m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 (x + 5) 3 = x x x (4x + 1) 3 = 64x x x + 1 (x 2 + x) 3 = x 6 + 3x 5 + 3x 4 + x 3 (3a + 6) 3 = 27a a a (4x + 8y) 3 = 64x x 2 y + 768xy y 3 (2m + n) 3 = 8m m 2 n + 6mn 2 + n 3 (5x 2 + 3y) 3 = 125x x 4 y + 135x 2 y y 3 (3a + 4)(3a + 4)(3a + 4) = (3a + 4) 3 = 27a a a (x 2 y 3 + 5x) 3 = x 6 y x 5 y x 4 y x 3 CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS RESOLVER SEGÚN LA FORMULA:. (2m - n) 3 = 8m 3 12m 2 n + 6mn 2 n 3 (5x 2-2y) 3 = 125x 6 150x 4 y + 60x 2 y 2 8y 3 (3a - 1)(3a - 1)(3a - 1) = (3a 1) 3 = 27a 3 27a 2 + 9a (x 2 y 3-5x) 3 = x 6 y 9 15x 5 y x 4 y 3 125x 3

11 PRODUCTOS NOTABLES COMBINADOS RESOLVER SEGÚN LA FORMULA DE CADA CASO. (3x 9y)(3x + 9y) = -4x 3 (8x 6xy) = (6ab 2 5b) 2 = (x 3)(x 11) = (7x + 3y) 3 = (8a + 8b)(8a 10b) = (x y 4 ) 3 = (5x 2 y + 4x 2 y 2 ) 2 = 5am 2 (1 10a 2 ) = 10. (8a + 4bc)(8a 4bc) = RESPUESTAS: (3x 9y)(3x + 9y) = 9x 2 81y 2-4x 3 (8x 6xy) = - 32x x 4 y (6ab 2 5b) 2 = 36a 2 b 4 60ab b 2 (x 3)(x 11) = x 2 14x + 33 (7x + 3y) 3 = 343x x 2 y + 189xy y 3 (8a + 8b)(8a 10b) = 64a 2 16ab 80b 2 (x y 4 ) 3 = x 3 3x 2 y 4 + 3xy 8 y 12 (5x 2 y + 4x 2 y 2 ) 2 = 25x 4 y x 4 y x 4 y 4 5am 2 (1 10a 2 ) = 5am 2 50a 3 m (8a + 4bc)(8a 4bc) = 64a 2 14b 2 c 2

12 IDENTIFICACION DE CADA PRODUCTO NOTABLES Escribe después del signo igual el caso del Producto Notable correspondiente. 1) Monomio por binomio 2) Cuadrado de una suma 3) Cuadrado de una diferencia 4) Binomios conjugados 5) Binomios con un término común 6) Cubo de una suma 7) Cubo de una diferencia (6x 7y) 3 = (x 5y)(x + 5y) = (2ab + 9c) 2 = 4x(3x 6y) = (4x + 8y)(4x 23y) = (6x 2 5x)(6x 2 + 5x) = (2x 2 y 1) 2 = (4xy 3z) 3 = 6x 2 y 3 (6xy 10y) = 0. (7x + 4y)(7x 2y) = RESPUESTAS. (6x 7y) 3 = Cubo de una diferencia (x 5y)(x + 5y) = Producto de binomios conjugados (2ab + 9c) 2 = Cuadrado de una suma 4x(3x 6y) = Monomio por binomio (4x + 8y)(4x 23y) = Binomios con término común (6x 2 5x)(6x 2 + 5x) = Binomios conjugados (2x 2 y 1) 2 = Cuadrado de una diferencia (4xy 3z) 3 = Cubo de una diferencia 6x 2 y 3 (6xy 10y) = Monomio por binomio 0. (7x + 4y)(7x 2y) = Binomios con término común

13 Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio al cuadrado (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Binomio al cubo a 2 b 2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados a 3 b 3 = (a b) (a 2 + b 2 + ab) Diferencia de cubos a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 ab) Suma de cubos a 4 b 4 = (a + b) (a b) (a 2 + b 2 ) Diferencia cuarta (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

14 Factorización de polinomios Recordando que los factores son los términos de una multiplicación, por factorización de polinomios se entiende expresar el polinomio como un producto de factores. Como los números se pueden expresar como producto de dos o más factores Ej. 55 = 5 x 11; 24 = 2 x 3 x 4; 28 = 2 x 7 del mismo modo factorizar un polinomio significa descomponerlo en el producto de dos o más factores Ej. x² 4 = (x + 2) (x 2) x² + 2x +1 = (x + 1)² x² + 5x +6 = (x + 2) (x + 3) Para factorizar un polinomio hay que identificar los factores comunes en el polinomio, cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común se puede factorizar el polinomio en el producto de dos factores, unos de los cuales es el factor común, mientras que el otro termino se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre el factor común. Hay diferentes tipos de factores comunes como Factor común monomio Factor común polinomio Factor común por agrupación de términos - Factor común monomio: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se puede factorizar el polinomio en el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. El otro factor se obtiene dividendo cada término del polinomio entre el factor común. Ej. P(x) = 40 x⁵ + 24 x³ + 8 x Primero: se halla el factor común calculando el máximo común divisor de los coeficientes en este caso: MCD (40, 24, 8) = 8 y se multiplica por la menor potencia de x, en este caso = x entonces el factor común de este ejemplo es = 8 x

15 Segundo: se divide cada término del polinomio entre el factor común, recordando que para dividir potencias de igual base, se coloca la misma base y se restan los exponentes 40 x⁵ : 8 x = 5 x⁴ 24 x³ : 8 x = 3 x² -8 x : 8 x= -1 dando como resultado este polinomio 5 x⁴ + 3 x² -1 El polinomio del ejemplo P(x) = 40 x⁵ + 24 x³ + 8 x es igual al producto del factor común 8 x por el polinomio obtenido de la división 5 x⁴ + 3 x² -1 P(x) = 40 x⁵ + 24 x³ + 8 x = 8x (5 x⁴ + 3 x² -1) Ejercicios: 1) P(x)= 12x + 3 aquí el factor común es = 3 entonces P(x)=12x +3 = 3 (4x+1) 2) P(x) = x ⁶ 6x ³ 2x ² aquí el factor común es = x ² entonces P(x) = x ⁶ 6x ³ 2x ² = x ² (x⁴ 6x 2) 3) P(x) = x²⁰ x¹⁶ + x¹⁰ + x²⁰ Primero se ordena en la forma 2x²⁰ x¹⁶ + x¹⁰ el factor común es = x¹⁰ entonces, después de dividir, se obtiene que P(x) = 2x²⁰ x¹⁶ + x¹⁰ = x¹⁰ (2x¹⁰ x⁶ +1) - Factor común polinomio: Cuando el factor común es un polinomio se factoriza de la siguiente manera Ejemplo: a(x+y) +b(x+y) donde entonces el factor común es = (x+y) se dividen los dos términos entre (x+y)

16 factor común polinomio - Factor común por agrupación de términos: Cuando no se presenta un factor común a todos los términos, pero se presenta un factor común a dos o más términos se procede de la siguiente forma. En el polinomio ax + bx + ay + by, los primeros dos términos tienen como factor común x, mientras que en los otros el factor común es y entonces se puede escribir el polinomio de esta forma x(a+b) + y(a+b) para evidenciar que existe un factor común que es (a+b) y proceder así Factor común por agrupación de términos

17 Factorización de cuadrados perfectos Un trinomio como x²+ 2ax + a² es un cuadrado perfecto porque dos de sus términos son cuadrados perfectos (x² ; a²) y el tercer término es igual al doble producto de a por b (2ax). x²+ 2ax + a² = (x+a)² Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando tiene una de estas dos formas: a² + 2(a) (b) + b² = (a + b)² a² 2(a) (b) + b² = (a b)² Ejemplo: x² +10x+25 Este trinomio es un cuadrado perfecto porque dos de sus términos lo son x² es el cuadrado de x; y 25 es el cuadrado de 5; el tercer término es igual al doble producto a por b: 10 x = 2 (5) (x) y el trinomio se factoriza: (x+5)² x² +10x+25 = (x+5)² Ejercicios: 1. x² 14x + 49 = (x)² -2(7) (x) + (7)² = (x 7)² 2. y² + 8y +16 = (y)² +2(4) (y) +(4)² = (y + 4)² 3. x¹⁰ 2 x⁵ +1= (x⁵)² 2(1) (x⁵) + (1)² = ( x⁵ -1)² 4. 25p⁴ + 30 p²q + 9 q² = (5p²)² +2(5p²) (3q) + (3q)² = (5p² +3q)² Factorización de un trinomio de la forma x² + mx + n Cuando en el producto de dos binomios hay un término común como en el ejemplo: (x+a)(x+b) donde el término común es x, su otra forma es: x² + (a+b)x + ab (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab Entonces, por ejemplo, un trinomio como x² +8x +15 se podrá factorizar de la forma(x+a)(x+b) si se consiguen dos términos a y b donde a+b sea = 8 y

18 a b sea =15 estos dos términos son 3 y 5 porque (3+5)=8 y 3 5=15 x² +8x +15 = (x+3) (x+5) Ejercicios: x² -10x +24 a+b = -10 a b = 24 a = -4 ; b= -6 x² -10x +24 = (x-4) (x-6) x² 4x -21 a+b = 3 a b = -21 x² 4x -21 = (x+3) (x-7) x⁶ 4x³ + 3 a+b = 4 a b = +3 x⁶ 4x³ + 3= (x³ 1) (x³ 3) Factorización de la diferencia de dos cuadrados La diferencia de cuadrados se factoriza aplicando el producto notable de la suma por la diferencia: a² b² = (a + b) (a b) Ejercicios: x⁶ 81 = (x³ + 9) (x³ 9) 4y⁴ 16y¹⁶ = (2y² + y⁸) (2y² y⁸)

19 (x+3)² (y+3)² = [(x+3)+(y+3)] [(x+3) (y+3)] = (x+y +6) (x-y) (a 5)² 16b² = [(a 5)+ 4b] [(a 5) 4b] = (a+ 4b 5) (a 4b 5) Adición y sustracción de cubos La suma de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la suma de las bases de los cubos y el segundo es un trinomio igual a la suma de los cuadrados de las bases menos el producto de las dos bases: x³ + a³ = (x + a) (x² + a² ax) Ejemplo: x³ + 8 las bases son x y 2 entonces x³ + 8 = (x +2) (x² + 4 2x) Ejercicios: x⁹+ 1; las bases son x³ y 1; x⁹ + 1 = (x³ + 1)(x⁶ + 1 x³) 27y³ + 8x³; las bases son 3y y 2x; 27y³ + 8x³ = (3y + 2x) (9y ² + 4x² 6xy) La diferencia de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la diferencia de las bases de los cubos y el segundo es un trinomio igual a la suma de los cuadrados de las bases más el producto de las dos bases: x³ a³ = (x a) (x² + a² + ax) Ejercicios: 8x¹² 1; las bases son 2x⁴ y 1; 8x¹² 1 = (2x⁴ 1) (4x⁸ + 2x⁴+1) x³ (x -1)³ ; las bases son x y (x-1); x³ (x -1)³ = [x-(x-1)] [x² +(x-1)²+x(x-1)]= +1 (3x² x + 1)= 3x² 3x + 1

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