Factorización de Polinomios


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1 Prof. Waldo Márquez González Factorización 1 Factorización de Polinomios TEMAS A EVALUAR 1. Factor Común Monomio. 2. Factor Común Polinomio. 3. Factor Común por Agrupación. 4. Diferencia de Cuadrados. 5. Casos Especial de Diferencia de Cuadrado. 6. Trinomio Cuadrado Perfecto. 7. Combinación de Métodos Anteriores. 8. Método de Inspección. 9. Caso Especial de Inspección. 10. Combinación de Casos de Trinomios. 11. Sumas y Restas de Cubos.

2 Factorización 2 1 ra Parte. Método: Factor Común Monomio Recordar Los coeficientes numéricos se factorizan usando los números primos en el orden siguiente: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. 1) 3x ) mx + m 3) 8m m 4) 3am 3 + 6a 3 m 5) a 2 + ab 6) t 3 8t 2 + t 7) 15abc a 2 bc 8) 15abx 9b 2 x 9) 9a 3 6a 2 10) 16x 3 4x 2 11) am 2 an 2 + a 2 mn 12) 2a 2 b + 4ab 2 10a 3 b 3 13) m 2 n 2 + mn 2 2m 2 n 14) 14acd 7cd + 21c 2 d 2 15) 3a 3 6a 2 + 9a 16) 8q 4 t + 2q 3 t 2 6q 2 t 4 17) 5x 2 y 2 15xy + 20xyz 18) 17m 3 n 3 51m 2 n mn 19) 12m 3 n 3 18m 2 n 2 24m 4 n 4 20) x 4 + x 3 x 2 + x...más sobre factorización usando el factor común monomio. 1) 39a 3 b 4 c 5 26a 4 b 5 c a 5 b 6 c 7 2) 2x 4 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 8x 2 y 3 3) 4x 4 y 2 28x 3 y x 2 y 4 48xy 5 4) 15y + 20y 2 5y 3 5) a 3 a 2 x + ax 2 6) x 3 + x 5 x 7 7) 14x 2 y 2 28x x 4 8) 96 48mn n 3 9) a 2 b 2 c 2 a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2 10) 55m 2 n 3 x + 110m 2 n 3 x 2 220m 2 y 3 11) 93a 3 x 2 y 62a 2 x 3 y 2 124a 2 x 12) x x 2 + x 3 x 4 13) 25x 2 10x x 3 5x 7 14) 9a 2 b 2 12ab + 15a 3 b 2 24ab 3 15) 16x 3 y 2 8x 2 y 24x 4 y 2 40x 2 y 3 16) 12m 2 n + 24m 3 n 2 36m 4 n m 5 n 4 17) 100a 2 b 3 c 150ab 2 c ab 3 c 3 200abc 2 18) a 2 2a 3 + 3a 4 a 5 + 6a 6 19) 3a 2 b + 6ab 5a 3 b 2 + 8a 2 bx + 4ab 2 m 20) a 20 a 16 + a 12 a 8 + a 4 a 2

3 Factorización 3 2 da Parte. Método: Factor Común Polinomio Recordar Las siguientes equivalencias son útiles para resolver algunos de estos ejercicios: (b a) = (a b) a b = (a + b) a + b = (a b) 1) x(a + b) + y(a + b) 2) 3x 2 (m + n) 2y 3 (m + n) 3) a(y x) + b(y x) 4) c(x + 1) d(x + 1) 5) m(a b) + (a b)n 6) 2x(n 1) 3y(n 1) 7) a(n + 2) + n + 2 8) x(a + 1) a 1 9) a b(a 2 + 1) 10) 3x(x 2) 2y(x 2) 11) 1 x + 2a(1 x) 12) 4x(m n) + n m 13) m n + x(m + n) 14) 4x 2 (x y) 7z 2 (x y) 15) a 3 (a b + 1) b 2 (a b + 1) 16) x(2a + b + c) 2a b c 17) (x + 1)(x 2) + 3y(x 2) 18) (a + 3)(a + 1) 4(a + 1) 19) (x 2 + 2)(m n) + 2(m n) 20) a(x 1) (a + 2)(x 1)...más sobre factorización usando el factor común polinomio. 1) (a + b)(a b) (a b)(a b) 2) (m + n)(a 2) + (m n)(a 2) 3) (x + m)(x + 1) + (x + 1)(x n) 4) (x 3)(x 4) (x 3)(x + 4) 5) (a + b 1)(a 2 + 1) a 2 1 6) (a + b c)(x 3) (b + c a)(x 3) 7) 3x(x 1) 2y(x 1) + z(x 1) 8) a(n + 1) b(n + 1) n 1 9) x(a + 2) a 2 + 3(a + 2) 10) a 2 b 2 (p + q) 4ab 4 (p + q) (p + q) 11) (1 + 3a)(x + 1) 2a(x + 1) + 3(x + 1) 12) (3x + 2)(x 2) (3x + 2) x(3x + 2)

4 Factorización 4 3 ra Parte. Método: Factor Común por Agrupación de Términos. Recordar Los siguientes resultados: (a + b) = (b + a) y (b a) (a b) 1) xm + ym + xn + yn 2) x 2 + xy + ax + ay 3) a 2 + ab + ax + bx 4) am bm + an bn 5) ax 2bx 2ay + 4by 6) a 2 x 2 3bx 2 + a 2 y 2 3by 2 7) 3m 2n 2nx 4 + 3mx 4 8) x 2 a 2 + x a 2 x 9) 2ax 3bx + 2ay 3by 10) 2am + 2ap 3bm 3bp 11) 6am 3bm 6an + 3bn 12) 2y 4 y 3 + 4y 2 13) p 3 q 3 p 2 q 2 pq ) x 2 + mxy 4xy 4my 2 15) 6x 2 + 3xy 2ax ay 16) c 2 d 2 + e 2 d 2 c 2 f 2 e 2 f 2 17) 3x 3 7x 2 + 3x 7 18) x 3 + x 2 x 1 19) 4a 3 1 a 2 + 4a 20) x + x 2 xy 2 y 2 21) 3abx 2 2y 2 2x 2 + 3aby 2 22) 3a b 2 + 2b 2 x 6ax 23) 4a 3 x 4a 2 b + 3bm 3amx 24) 6ax + 3a x 25) a 3 a a 2 xy + xy 26) 1 x x 2 + x 3 27) p 3 5p 2 + 2p 10 28) m 6 13m 4 7m ) 3x 3 9ax 2 x + 3a 30) 2a 2 x 5a 2 y + 15by 6bx 31) am + an + cm + cn 32) m 3 n + m 3 + m 2 n + m 2 33) mn 4m + 3n 12 34) a 3 a 2 + a 1 35) 6ax 9mx + 8ay 12my 36) 2a 2 x 5a 2 y + 15by 6bx 37) 2x 2 y + 2xz 2 + y 2 z 2 + xy 3 38) 6m 9n + 21nx 14mx 39) n 2 x 5a 2 y 2 n 2 y 2 + 5a 2 x 40) 1 + a + 3ab + 3b 41) 4am 3 12amn m 2 + 3n 42) 20ax 5bx 2by + 8ay 43) 3 x 2 + 2abx 2 6ab 44) a 3 + a 2 + a ) 3a 2 7b 2 x + 3ax 7ab 2 46) 2am 2an + 2a m + n 1

5 Factorización 5 47) 3ax 2by 2bx 6a + 3ay + 4b 48) a 3 + a + a x 2 + a 2 x 2 49) 3a 3 3a 2 b + 9ab 2 a 2 + ab 3b 2 50) 2x 3 nx 2 + 2xz 2 nz 2 3ny 2 + 6xy 2 51) 3x 3 + 2axy + 2ay 2 3xy 2 2ax 2 3x 2 y 52) a 2 b 3 n 4 + a 2 b 3 x 2 n 4 x 2 3a 2 b 3 x + 3n 4 x

6 Factorización 6 4 ta Parte. Método: Factorización por Diferencia de Cuadrados. Recordar Se usa la fórmula notable: a 2 b 2 = (a + b)(a b) de izquierda a derecha. Hay ejercicios en que se aplica más de una vez la diferencia de cuadrados y en algunos ejercicios hay que ordenar primero el binomio. 1) x 2 y 2 = 2) m 2 n 2 = 3) a 2 9 = 4) 16 b 2 = 5) a 2 1 = 6) 4c 2 1 = 7) 1 25a 2 b 2 = 8) 49x 2 36 = 9) 1 81m 2 = 10) a = 11) 1 y 2 = 12) 121x 2 64m 2 = 13) a 2 b 2 64c 2 = 14) x = 15) a 8 1 = 16) x 4 m 8 = 17) 49a 4 b 4 16c 4 = 18) 36a 8 100b 18 = 19) 196c 4 121d 6 e 6 = 20) 225a 2 144b 2 =...más sobre factorización por diferencia de cuadrados. 1) a 6 b 6 2) m 8 n 8 3) 7x 16 7y 16 4) 4a 13 9ab 12 5) 16x 9 196x 6) a 10 7) a 100 8) a a 2 9) 9x 2 y 2 z 2 9x 2 y 2 10) 12a 8 3b 2 c 2 11) ) 99, 91 13) 4x 2 81y 4 14) 49b 12 + a 10 15) 25x 2 y ) 169y m 2 n 4 17) 1 9a 2 b 4 c 6 d 8 18) a2 36 x ) x2 100 y2 z ) x6 49 4a10 121

7 Factorización 7 21) 100m 2 n x8 22) 4m ) 16x 6 y ) 49a 10 b ) a 2 b ) x5

8 Factorización 8 5 ta Parte. Método: Casos Especiales de Diferencia de Cuadrados. Recordar Hay que reducir a la mínima expresión la factorización, eliminando los dobles paréntesis. Para eliminar paréntesis: un signo de menos o de resta delante de un paréntesis cambia las operaciones de resta a suma y de suma a resta de los términos del interior. 1) (x + y) 2 a 2 = 2) 4 (a + 1) 2 = 3) 9 (m + n) 2 = 4) (m n) 2 16 = 5) (x y) 2 4z 2 = 6) (m + n) 2 1 = 7) (m n) 2 4 = 8) (x 5) 2 m 2 = 9) (a + 2b) 2 1 = 10) (a + b) 2 (c + d) 2 = 11) (a b) 2 (c d) 2 = 12) 64m 2 (m 2n) 2 = 13) (a 2b) 2 (x + y) 2 = 14) (2a c) 2 (a + c) 2 = 15) (x + 1) 2 4x 2 = 16) 36x 2 (a + 3x) 2 = 17) a 6 (a 1) 2 = 18) (a 1) 2 (m 2) 2 = 19) (2x 3) 2 (x 5) 2 = 20) 1 (5a + 2x) 2 = 21) (7x + y) 2 81 = 22) m 6 (m 2 1) 2 = 23) 16a 10 (2a 2 + 3) 2 = 24) (x y) 2 (c + d) 2 = 25) (2a + b c) 2 (a + b) 2 = 26) 100 (x y + z) 2 = 27) x 2 (y x) 2 = 27) (2x + 3) 2 (5x 1) 2 = 27) (x y + z) 2 (y z + 2x) 2 = 30) (2x + 1) 2 (x + 4) 2 = 31) (a + 2x + 1) 2 (x + a 1) 2 = 32) 4(x + a) 2 49y 2 = 33) 25(x y) 2 4(x + y) 2 = 34) 36(m + n) 2 121(m n) 2 =

9 Factorización 9 6 ta Parte. Método: Trinomio Cuadrado Perfecto. Recordar Se usa los productos notables: a 2 ±2ab+b 2 = (a±b) 2, de izquierda a derecha. En algunos casos hay que ordenar primero el trinomio. 1) x 2 + 4x + 4 = 2) x 2 6x + 9 = 3) m 2 + 8m + 16 = 4) a 2 14a + 49 = 5) x x + 49 = 6) 1 4x + 4x 2 = 7) 9 + 6y + y 2 = 8) x 2 2x + 1 = 9) a 2 14a = 10) a 2 + 2ab + b 2 = 11) m 2 2mn + n 2 = 12) a 2 6ab 2 + 9b 4 = 13) x x 4 = 14) a 2 10a + 25 = 15) m 2 + m 4 = 16) 4a 2 12ab + 9b 2 = 17) 9m 2 n mn + 49 = 18) 1 2a 3 + a 6 = 19) 18a a 8 = 20) 2a 3 b 3 + a 6 + b 6 = 21) 4x 2 + 9y 2 12xy = 22) 9b 2 30a 2 b + 25a 4 = 23) 14x 2 y + 49x 4 y = 24) 1 + a 10 2a 5 = 25) m m = 26) 36x m 2 60mx 2 = 27) m 6 8m = 28) 25m m 2 = 29) 225x 6 30x = 30) m 3 + 2m 2 + m = 31) 4a 2 8ab + 4b 2 = 32) a 4 + 2a 2 b 2 b 4 = 33) 2m 3 n 3 m 6 n 6 = 34) 98x 4 y 2 56x 3 y 3 + 8x 2 y 4 = 35) 4a 4 48a a 2 = 36) 49m 6 70am 3 n a 2 n 4 = 37) 100x 10 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y 12 = 38) 198x x = 39) a 2 24am 2 x m 4 x 4 = 40) x 4 104x 2 = 41) 400x x = 42) a2 4 ab + b2 = 43) 1 + 2b 3 + b2 9 = 44) a 4 a 2 b 2 + b4 4 =

10 Factorización 10 45) x4 36 x2 3 = 46) 16x 6 2x 3 y 2 + y4 16 = 47) n mn + 9m2 = 48) a am m4 = 49) x x2 y y8 = 50) a2 b 4 c ab2 c 4 x x10 =

11 Factorización 11 7 ma Parte. Método: Combinación de los Métodos Anteriores. Recordar Al ordenar los términos, estos se escriben con el signo que le precede y en el primer término se omite el +. 1) a 2 + 2ab + b 2 x 2 = 2) a 2 2ab + b 2 9 = 3) m 2 4mn + 4n 2 a 2 = 4) 4m 2 12am + 9a 2 25x 2 = 5) m 2 a 2 2ab b 2 = 6) x 2 m 2 4mn 4n 2 = 7) m 2 a 2 + 2ac c 2 = 8) 36 9x 2 12mx 4m 2 = 9) n 2 + 6n + 9 c 2 = 10) a 2 + x 2 + 2ax 4 = 11) a a 9b 2 = 12) x 2 + 4y 2 4xy 1 = 13) a 2 6ay + 9y 2 4x 2 = 14) 4x y xy = 15) 9x a 2 24ax = 16) a 2 b 2 x 4 16ab = 17) a 2 b 2 2bc c 2 = 18) 1 a 2 + 2ax x 2 = 19) 9 n n = 20) 1 a 2 9n 2 6an = 21) c 2 a 2 + 2a 1 = 22) 25 x 2 16y 2 + 8xy = 23) 9x 2 a 2 4m 2 + 4am = 24) 16x 2 y ab 4a 2 9b 2 = 25) a m 2 1 2a = 26) 49x 4 25x 2 9y xy = 27) a 2 2ab + b 2 c 2 2cd c 2 = 28) x 2 + 2xy + y 2 m 2 + 2mn n 2 = 29) a 2 + 4b 2 + 4ab x 2 2ax a 2 = 30) x 2 + 4a 2 4ax y 2 9b 2 + 6by = 31) m 2 x 2 + 9n 2 + 6mn 4ax 4a 2 = 32) 9x 2 + 4y 2 a 2 12xy 25b 2 10ab = 33) 2am x a 2 + m 2 6x = 34) x 2 9a 4 + 6a 2 b x b 2 = 35) 16a m+9x 2 24ax 25m 2 = 36) 9m 2 a 2 +2acd c 2 d m = 37) 4a 2 9x 2 +49b 2 30xy 25y 2 28ab = 38) 225a 2 169b a + 26bc c 2 = 39) x 2 y x 1 2y = 40) a 2 16 x a 8x =

12 Factorización 12 8 va Parte. Método: Inspección. Recordar Se usa cuando los trinomios no son cuadrados perfectos. La calculadora es muy útil aquí. 1) x 2 + 7x + 10 = 2) x 2 5x + 6 = 3) a 2 + 4a + 3 = 4) y 2 9y + 20 = 5) x 2 6 x = 6) x 2 9x + 8 = 7) c 2 + 5c 25 = 8) a 2 + 7a + 6 = 9) 12 8n + n 2 = 10) a x + 21 = 11) y 2 12y + 11 = 12) x 2 7x 30 = 13) n 2 + 6n 16 = 14) 20 + a 2 21a = 15) 30 + y + y 2 = 16) 28 + a 2 11a = 17) n 2 6n 40 = 18) x 2 5x 36 = 19) a 2 2a 35 = 20) x x + 56 = 21) a a = 22) c 2 13c 14 = 23) x 2 15x + 54 = 24) a 2 + 7a 60 = 25) x 2 17x 60 = 26) x 2 + 8x 180 = 27) m 2 20m 300 = 28) x 2 + x 132 = 29) m 2 2m 168 = 30) c c = 31) m 2 41m = 32) a 2 + a 380 = 33) x x 364 = 34) a a = 35) m 2 30m 675 = 36) y y = 37) x 2 2x 528 = 38) n n = 39) c 2 4c 320 = 40) m 2 8m 1008 =

13 Factorización 13 9 na Parte. Método: Caso Especial de Inspección. Recordar La parte literal del término central indica el primer término de los dos binomios 1) x 4 + 5x = 2) x 6 6x 3 7 = 3) a 8 2a 4 80 = 4) x 2 y 2 + xy 12 = 5) (4x) 2 2(4x) 15 = 6) (5x) 2 13(5x) + 42 = 7) c 2 + ac 15a 2 = 8) a 2 4ab 21b 2 = 9) 5 + 4x x 2 = 10) x 10 + x 5 20 = 11) y 2 + xy 56x 2 = 12) x 4 + 7ax 2 60a 2 = 13) (2n) 2 4(2n) + 3 = 14) a 8 + a = 15) x 4 y 4 + x 2 y 2 99 = 16) y y 2 = 17) c cd + 28d 2 = 18) 25x 2 5(5x) 84 = 19) a 2 21ab + 98b 2 = 20) x 4 y 4 + x 2 y = 21) x 2 x 4 = 22) a 2 + 2axy 440x 2 y 2 = 23) m 6 n 6 21m 3 n = 24) n n 2 = 25) b 6 + b = 26) (4x 2 ) 2 8(4x 2 ) 105 = 27) x 4 + 5abx 2 36a 2 b 2 = 28) a 4 a 2 b 2 156b 4 = 29) 21a 2 + 4ax x 2 = 30) x 8 y 8 15ax 4 y 4 100a 2 = 31) m 2 + abcm 56a 2 b 2 c 2 = 32) (7x 2 ) (7x 2 ) = 33) 20y 2 + y 1 = 34) 12c 2 13c 35 = 35) a + 10a 2 = 36) 8a 2 14a 15 = 37) 7x 2 44x 35 = 38) 16m + 15m 2 15 = 39) 2a 2 + 5a + 2 = 40) 12x 2 7x 12 = 41) 9a a + 1 = 42) 20n 2 9n 20 = 43) 21x x 2 = 44) m m 2 =

14 Factorización 14 45) 15a 2 8a 12 = 46) 9x x + 4 = 47) 44n + 20n 2 15 = 48) 14m 2 31m 10 = 49) 2x x + 90 = 50) 20a 2 7a 40 = 51) 4n 2 + n 33 = 52) 30x x 10 =

15 Factorización ma Parte. Método: Combinación de Casos de Trinomios. Recordar Al factorizar completamente se deben eliminar los paréntesis dobles. 1) a 2 + 2a(a + b) + (a + b) 2 = 2) 4 4(1 a) + (1 a) 2 = 3) 4m 2 4m(n m) + (n m) 2 = 4) (n m) 2 + 6(m n) + 9 = 5) (y 5) 2 4(y 5) 45 = 6) (a + b) 2 12(a + b) + 20 = 7) (a + b) 2 7(a + b) 18 = 8) x 2 + 7(x + a) + 12(x + a) 2 = 9) a 2 + 2a(a b) + (a b) 2 = 10) (m n) 2 (m n) 90 = 11) 9(x + 1) 3 4(x + 1) = 12) (a + 1) 3 (a + 1) = 13) (x + 1) 2 + 3(x + 1) 4 = 14) 81 18(a 2 + b 2 ) + (a 2 + b 2 ) 2 = 15) (c + d) 2 18(c + d) + 65 = 16) (a+x) 2 2(a+x)(x+y)+(x+y) 2 = 17) (m+n) 2 2(a m)(m+n)+(a m) 2 = 18) 4(1+a) 2 4(1+a)(b 1)+(b 1) 2 = 19) (m + n) 2 5(m + n) + 6 = 20) 9(x y) 2 +12(x y)(x+y)+4(x+y) 2 = 21) (2x + 5) (2x + 5) + 21 = 22) (a + b) 3 12(a + b) (a + b) = 23) (x+y) 2 2(x+y)(a+x)+(a+x) 2 = 24) (3a+2b) 2 7(3a+2b)(5a b)+10(5a b) 2 =

16 Factorización va Parte. Método: Sumas y Restas de Cubos. Recordar Se utilizan los productos notables: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) y a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) de izquierda a derecha. 1) x 3 + y 3 = 2) x = 3) x 3 8 = 4) a 3 1 = 5) y 3 27 = 6) 8x 3 1 = 7) 27x = 8) 1 c 3 = 9) m 3 n 3 = 10) 1 8x 3 = 11) 1 216m 3 = 12) x 6 b 6 = 13) a 6 b 6 = 14) 8a b 6 = 15) 64a = 16) x 9 = 17) x 6 8y 12 = 18) x 6 = 19) x 3 125a 6 = 20) x 6 1 = 21) 27m 3 64n 9 = 22) 343x y 6 = 23) x 3 y 6 216y 9 = 25) a 3 b 3 x = 26) x 9 + y 9 = 27) 1000x 3 1 = 28) a b 12 = 29) x 12 + y 12 = 30) 1 27a 3 b 3 = 31) 8x = 32) a 3 + 8b 12 = 33) 8x 9 125y 6 z 9 = 34) 27m n 9 = 35) 216 x 12 = 36) 27m n 9 = 37) 1 + (x + y) 3 = 38) 1 (a + b) 3 = 39) 27 + (m n) 3 = 40) (x 7) 3 8 = 41) (x + 2y) = 42) 1 (2a b) 3 = 43) a 3 + (a + 1) 3 = 44) 8a 3 (a 1) 3 = 45) 27x 3 (x y) 3 =

17 Factorización 17 46) (2a b) 3 27 = 47) x 6 (x + 2) 3 = 48) (a + 1) 3 + (a 3) 3 = 49) (x 1) 3 (x + 2) 3 = 50) (x y) 3 (x + y) 3 = 51) (m 2) 3 + (m 3) 3 = 52) (2x y) 3 + (3x + y) 3 = 53) 8(a + b) 3 + (a b) 3 = 54) 64(m + n) =

18 Bibliografía [1] Baldor, Aurelio. Algebra Elemental. [2] Hawkes, Herbert. Second-Year Algebra. [3] Schultze, Arthur y William E. Breckenridge. Elementary and Intermediate Algebra.

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