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1 . 1

2 . 1. Epresiones algebraicas y reducción Producto y cociente de epresiones algebraicas Productos Notables Factorización Simplificación de fracciones algebraicas Eponentes y radicales.. 8 Webgrafía..

3 Amigo estudiante te damos la Bienvenida a la unidad del curso Virtual de matemáticas básicas, éitos en esta maravillosa aventura 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y REDUCCIÓN Una es una combinación de números y letras ligados con signos de operaciones algebraicas., z4, a + y (y), (a + b ) En las epresiones algebraicas la más simple es la llamada Monomio, como, es un binomio (a + b ), porque tiene dos terminos, te acuerdas del binomio de oro, la agrupación vallenata integrada por Rafal Orozco e Israel Romero. El término Es un trinomio porque tiene tres términos. Cuando tiene varios términos se dice que es un polinomio, como en este caso GRADO DE UN MONOMIO 5 es un monomio de grado 5, pero 5 y es un monomio de grado 8. para el

4 segundo término los eponentes son 5 y y se suman para obtener el grado absoluto dela epresión. absoluto y 4 z Es un monomio de grado Monomio Coeficiente Parte literal Grado absoluto Grado relativo con respecto a 4 y 8 4 y 8 1 = 4 y = 8 5m 5 n -5 m 5 n 6 m = 5 n = 1 m 6 n 6 m 6 n 6 1 m = 6 n = 6 Un monomio es semejante a otro cuando tienen la misma variable elevada al mismo eponente. 5 ; 5 ; 7 5 Un polinomio es una epresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios. Los monomios que conforman un polinomio, reciben el nombre de términos del polinomio. 4

5 Para adicionar polinomios, se reducen sus términos o monomios semejantes y se copian los demás términos. Para la resta de polinomios se cambian los signos de los términos del sustraendo y se suman al minuendo. Sea y Hallar A+B Recuerda que debes agruparlos por términos semejantes Para A-B. Como es una resta los términos del sustraendo cambian de signos y se procede a simplificar los términos semejantes Recuerda que si un signo (-) antecede a una llave, corchete, o paréntesis la epresión cambia de signo Si la epresión algebraica tiene términos semejantes se simplifica, para ello:, después de verificar que sean a. Hay que reducir a común b. Se calcula el. los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores c. Dividimos el obtenido entre cada uno de los denominadores y 5

6 lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador. d. Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Sea la epresión algebraica Entonces: = 4 0 6

7 . PRODUCTO Y COCIENTE DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Efectuar el siguiente producto y + 11y por 7 y Recuerda que: a m a n = a m+n ++=+ - - =+ +- =- -+= a + 5 ab 5 b por 7 ab Recuerda que a b c d = ac bd 7

8 La anterior respuesta, al simplificar las fracciones queda así: Para multiplicar dos polinomios, se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio, teniendo en cuenta las leyes para la multiplicación de monomios. Luego, se reducen términos semejantes. Efectuar el siguiente producto 7 5y + y por Se puede utilizar la propiedad distributiva, así: = 7 ( ) 5y( ) + y ( ) = 4 77 y 0 y + 55y + 18y y = y + 7y y Efectuar el siguiente producto ( a 9 b) ( 4 a 5 4 b) ( a) ( 4 a 5 4 b) ( 9 b) ( 4 a 5 4 b) ( a) ( 4 a) ( a) (5 4 b) ( 9 b) ( 4 a) + ( 9 b) (5 4 b) = 6 1 a 10 1 ab 6 10 ab b = 6 1 a 6 10 ab b 8

9 Simplificando = 1 a ab b Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio respectivo y se tienen en cuenta las leyes para la división de monomios = = 4 Efectuar el siguiente cociente Recuerda que: 9 y 18 y 5 + 6y 7 y = 9 y ( y) 18 y 5 ( y) + 6y7 ( y) a m = am n an + +=+ - - =+ + - = - - += - = y + 6y 4 y 6 Para dividir polinomios entre polinomios, es necesario tener en cuenta los siguientes pasos: 9

10 1. Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto a una de las variables.. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. el resultado será el primer término del cociente.. Dicho término se multiplica por cada uno de los términos del divisor. Cada producto se resta de su semejante en el dividendo y se tienen en cuenta los respectivos cambios de signo. Si alguno de estos productos no tiene términos semejantes en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente conforme al orden del dividendo. 4. Se baja el siguiente término del dividendo. se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor. el resultado será el segundo término del cociente. 5. Se continúa el proceso hasta que el residuo tenga un grado menos que el grado del divisor. Efectuar el siguiente cociente 10

11 Nota: si al ordenar en forma descendente los términos del dividendo y nos hace falta alguno se deja el espacio que le corresponde así: Falta el término entonces se coloca así Queda la epresión completa. Amigo estudiantes ahora realiza las actividades de ejercitación, es importante para el curso de matemáticas afianzar tus conceptos. 1 Ordenar los términos de cada polinomio en forma decreciente respecto a. A B

12 C. y + y + 4 y D. 5 y y 9 5 y 4y + y 4 6 y + 7 y. Identifica cada término de la epresión algebraica Epresión Términos Grado absoluto Grado absoluto del polinomio Grado relativo con respecto a una variable y 9 y 5 Epresión Términos Grado absoluto Grado absoluto del polinomio Grado relativo con respecto a una variable a 4 b a b 1 5 ab5 m n + m n 4mn. Simplifica las siguientes epresiones algebraicas A B. 8 y + 1y + y + 5y + 4y C. 5 y y y7 D. y 4 y + 4y + y + y + y 4. Realizar el siguiente producto y simplifica A. ( )( 4) B. (y y + 9)(y + ) C. (4 1 y) ( y) D. (4y 1 5 ) (y ) 1

13 5. Realizar los siguientes cocientes A B. a + a a + C. 6 y y y + D. m 6 n 6 m n PRUEBA SABER 1. Para empacar equipos de oficina de la Universidad de la Guajira etensión Maicao, la persona de recursos físico utiliza cajas en forma cubica de cartón con tapa y de arista, usando el siguiente diseño. La epresión que permite determinar la mínima cantidad de material requerido para la construcción de la caja es: A. 8( + 8) B. 4( + 8) C. 1( + 4) D. 4( + 4). Para empacar dos artículos en una misma caja la empresa requiere dividirla en dos compartimientos iguales con una lámina de cartón, como se indica en la siguiente figura. El área de la lámina divisoria, en unidades cuadradas, está representada por la epresión A. B. C. D.. PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama 1

14 productos notables a ciertas epresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas epresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable). (a + b) = a + ab + b Así se puede escribir (a b) = a ab + b Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una epresión de la forma a + ab + b debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b) o si es a - ab + b como (a - b). ( + 4y) = () + ()(4y) + (4y) = 9 + 4y + 16y ( 4y) = () ()(4y) + (4y) = 9 4y + 16y ( + y) = ( ) + ( ) ( y) + ( y) = y y 14

15 ( y) = ( ) ( ) ( y) + ( y) = 4 9 y y La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad. Así: ( )( ) (8 11y )(8 + 11y ) = (8 ) (11y ) = y 6 ( 7 9 a5 b + ) (7 9 a5 b ) = (7 9 a5 b) ( ) = a10 b 4 9 Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Así: (a + b) = a + (a) (b) + (a)(b) + (b) (a + b) = (a) + (a) (b) + (a)(b) + (b) 15

16 Desarrollando = 8a + (4a )(b) + (a)(9b ) + 7b = 8a + 6a b + 54ab + 7b ( + 4 y) = ( ) + ( ) ( 4 y) + ( ) ( 4 y) + ( 4 y) ( 4 9 ) ( y) + 4 ( ) ( 9 16 y ) y ( 1 6 y) + ( y ) y Simplificando ( 1 y) + ( 8 y ) y y y y Para el caso del cubo de la diferencia (a b) = (a) (a) (b) + (a)(b) (b) Desarrollando = 8a (4a )(b) + (a) 7b = 8a 6a b + 54ab 7b ( 4 y) = ( ) ( ) ( 4 y) + ( ) ( 4 y) ( 4 y) 8 7 ( 4 9 ) ( y) + 4 ( ) ( 9 16 y ) 7 64 y 8 7 ( 1 6 y) + ( y ) 7 64 y Simplificando 8 7 ( 1 y) + ( 8 y ) 7 64 y 8 7 y y 7 64 y 16

17 4. FACTORIZACIÓN Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor eponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores 9a 1ab + 15a b 4ab = a(a 4b + 5a b 8b ) Para el factor común debe considerar: se es el divisor común y (a) es la letra común en la epresión A. la parte numérica es el mcd entre las partes numéricas. B. la parte literal está formada por las letras que tienen en común, los términos del polinomio, con su menor eponente. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Un ejemplo numérico puede ser: am bm + an bn = (am bm) + (an bn) Separamos o agrupamos = m(a b) + n(a b) Sacamos factores comunes = (a b)(m + n) factorizado 17

18 Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas eactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego etraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. 5 0y + 9y = (5 y) 5 raices y (5)(y)es el término del medio = 0y a a b b a b Son las raíces cuadradas del primer y tercer término (a ) ( b) = 4 a b Doble producto del primer y el tercer término Luego: a a b b = (a + b) Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada eacta. 1. Se etrae la raíz cuadrada de ambos términos.. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo). 18

19 a 6 b 5 = (a 6 b 5 ) (a 6 + b 5 ) 4 4 9y = ( y)( + y) 1. Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo). Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica eacta, como 1, 8, 7, 64, 15, 16, 4, 51, 79, 1000, etc.) y los eponentes de las letras son múltiplos de tres (, 6, 9, 1, 15, 18, etc.). así: Para la suma Para la diferencia a + 15 = (a + 5)(a 5a + 5) a 15 = (a 5)(a + 5a + 5) Recuerda que el segundo término se eleva al cuadrado 7m n 9 = (m + 4n )(9m 4 1m n + 16n 6 ) 7m 6 64n 9 = (m 4n )(9m 4 + 1m n + 16n 6 ) 19

20 El trinomio de la forma + b + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: 1. El coeficiente del primer término es 1. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma letra que el primero con eponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1 y término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.. Descomponer Le sacamos la raíz cuadrada al primer término o sea a : Abrimos dos paréntesis con la raíz de. c) Al primer paréntesis le colocamos el signo del segundo término del trinomio. d) El signo del segundo paréntesis se toma multiplicando los signos del segundo y tercer término. e) serán dos números que multiplicados den 5 y sumados dado que ambos paréntesis son positivos den 6. Factorizar Le sacamos la raíz cuadrada al primer término o sea a : Abrimos dos paréntesis con la raíz de. 0

21 c) Al primer paréntesis le colocamos el signo del segundo término del trinomio. El signo del segundo paréntesis se toma multiplicando los signos del segundo y tercer término. e) Serán dos números que multiplicados me den 1y y restado me de 4y (6y)(y) = 1y y 6y y = 4y. Para factorizar un trinomio de la forma a +b+c se toma el coeficiente de la variable elevada al cuadrado (6) y este número multiplica y divide toda la epresión: así Se multiplica el 6 por todo el trinomio 1

22 Se deben descomponer en dos factores Ejercitación. Amigo estudiantes ahora realiza las actividades de ejercitación, es importante para el curso de matemáticas afianzar tus conceptos. 1. Resolver los siguientes productos notables A. (m + n) E. (p + q B. ( ) + y) F. (5 y) C. (m 9n) G. ( D. ( 4 y 4 ) + y) Resolver los siguientes epresiones aplicando el caso de factorización pertinente a) 9a 5b b) 4 1

23 c) 6m n 5 d) 5a + 54a b + 49b 4 e) y 4 + 6y 8 f) g) h) m m 168 i) + j) k) 7a b l) 64a 79 m) 1m n + 4m n 6m 4 n n) 10p q + 14p q 18p 4 q 16p 5 q 4 Prueba Saber RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 Y DE ACUERDO CON EL SIGUIENTE GRÁFICO 1. Sigue estrictamente el orden de las operaciones indicadas y verás que siempre llegas al mismo resultado. Los números que al ubicarse en el Lado NO cumplen con la condición requerida para que el resultado final sea 4 son, respectivamente A. 4 y B. 16 y 8 C. y 16 D. 6 y 1. Los números que aparecen dentro de los círculos del Lado 1, pertenecen al conjunto de los números A. Impares B. Primos C. Pares D. Enteros negativos RESPONDE LAS PREGUNTAS, 4 Y 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Para la seguridad de una casa que tiene forma rectangular de 0 m por 10 m, se tiene un perro guardián amarrado a una de sus esquinas con un lazo de m, como lo muestra la siguiente figura.

24 . El área máima que puede recorrer el perro guardián es A. /4 del área de un círculo de radio m B. 1/4 del área de un círculo de radio 6 m C.. el área total de un círculo de radio 6 m D. 4/ del área de un círculo de radio m 4. En la noche se duplica la medida del lazo, para que el perro pueda recorrer una mayor zona qué pasará con el área máima que puede recorrer el perro con el nuevo lazo? A. Se mantiene igual B. Se duplica C. Se triplica D. Se cuadruplica 5. Si se requiere que el perro de una vuelta completa alrededor de la casa, la cantidad de lazo que se necesita es A. 10 m B. 0 m C. 0 m D. 60 m RESPONDE LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Para servir los tintos en una oficina se tienen tres cafeteras, de igual material, como se muestran a continuación. 4

25 6. De acuerdo a la cantidad de tinto que se puede cargar en cada cafetera, se puede afirmar que A. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera B. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera C. la cafetera tiene mayor capacidad que la cafetera D. la cafetera tiene mayor capacidad que la cafetera 1 RESPONDE LAS PREGUNTAS 7, 8 Y 9 TENIENDO EN CUENTA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN La gráfica muestra las calificaciones de 1 a 5, obtenidas por un estudiante en una materia en la universidad. Cada aspecto evaluado vale el 5% para la calificación final. 7. Teniendo en cuenta que el porcentaje asignado al eamen es del 5%, la nota que obtiene el estudiante en este aspecto evaluado corresponde al A. 4 % C. 0 % B. 6,5 % D. 5 % 8. Cuál fue la nota final del estudiante? A.,5 B.,0 C.,5 D. 4,0 9. Si se asignaran porcentajes diferentes a cada aspecto, como se indica a continuación Participación 0 % Apuntes 0 % Eamen 0 % Trabajos 0 % Y se sabe que con menos de,0 como calificación final se pierde, el estudiante habría perdido la materia? A. Si, porque el estudiante tiene calificaciones por debajo de,0 en dos de los aspectos evaluados 5

26 B. No, porque no importa que se cambien los porcentajes, pues las calificaciones se mantienen C. Sí, porque la calificación obtenida sería,85 D. No, porque al promediar las notas obtiene,0 10. El siguiente diagrama muestra el rendimiento de un ciclista en los últimos años en la vuelta a España en bicicleta. De acuerdo con el diagrama, el período en el que el ciclista tuvo su mayor rendimiento fue A B C D SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. 1 Simplificación de monomios: Simplificación de polinomios: 8a b ab 5 4ab No te olvides: primero factorizar, luego simplificar. 6

27 Se factoriza el º denominador 1 ) ( 9 1 Se multiplica toda la ecuación por el M.C.M de los denominadores: (-) ( 1) ( + 9) = ( ) 6 9 = 4 1. c b a b a y y y a a a 4. y y y y

28 a 11a 0 a a a EXPONENTES Y RADICALES Las propiedades de los eponentes son teoremas y como tal se pueden demostrar, sin embargo no es el interés de este módulo, veamos algunas de las propiedades: 4. = 5 Se aplicó la propiedad 1 ( 4 ) = 8 Se aplicó la propiedad m y n, enteros positivos: 1. a m. a m = a m+n. (a m ) n = a m.n. (a. b) m = a m b m 4. ( a b )m = am b m 5. am a n 6. a 0 = 1 am n si m > n = { 1 m = n 1 n > m 7. a 1 = 1 a a n m 8

29 (. y) = y Se aplicó la propiedad ( y ) = 4 9y Se aplicó la propiedad 4 6 = 4 Se aplicó la propiedad y 5 z y z = 4 y 5 z 1 1 = y z 0 = y Se aplicó la propiedad 4 y 6 Ejercitación Simplifica. Epresa los resultados con eponentes positivos. 1. ( a b c ) y 6. y. ( 4 y 1 5 y z 5 )4 4. ( 1 y 0 z 5 ) 1 y (7) ( 4) 10. ( 4) 11. ( y 5 y 4) 1. (8m n ) 1. ( ab) ( a b 1 ) 9

30 Notación para la raíz n- ésima n Para un número n mayor que 1, y cualquier real b b 1 ; 5 = 5 1 = b 1 n entonces = Para b no negativo, cuando n es par n, m y k son los números naturales, y y son números reales positivos. n 1. n n. y n. y kn 4. km = n = n = n y n y n = m 49 4 y 5 = 7 4 y 5 = 7 y y y z = y z 1 = y z 6 y 4 z 8 y = 6 y 4 z 8 y = 6 y 4 z 8 = y z 8 y z 8 = yz 4 0

31 Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces. Si en el denominador lo único que aparece es una raíz, multiplicamos convenientemente el numerador y el denominador por una raíz de tal forma que se vaya del denominador la raíz. a a b b Multiplicamos el numerador y el denominador por b así: ( b)( b) Luego efectuamos el producto a b = a b b b queda racionalizado. En el caso que sea un binomio el proceso se le llama la conjugada = ( )(1 ) = ( )(1 ) 1+ (1+ )(1 ) (1 4) = = = (5 4 ) = 4 5 Simplifica cada radical y 5. 4ab 6 c y Ejercitación 1

32 . Racionaliza el denominador R y Aplica las propiedades de la radicación y comprueba a b c. d. 4 5 e Hallar el perímetro de las siguientes figuras

33 WEBGRAFÍA Portal matemático Algebra elemental Productos notables 4.html Productos Notables y Factorización de Polinomios 09/lecciones_html/cap/algebra10.html Álgebra con Papas s/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconp apas/recurso/inde.htm

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