CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS


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1 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N : FACTORIZACION FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Factorizar una epresión algebraica consiste en escribirla como la multiplicación de dos o más epresiones algebraicas. Para facilitar la comprensión de estos se clasifican en tres casos fundamentales: factorización de binomios, de trinomios de polinomios. CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS Recuérdese que un binomio es una epresión algebraica que consta de dos términos 1. 1 DIFERENCIA DE CUADRADOS En algebra un cuadrado es un término que tiene raíz cuadrada o está elevado a una potencia par. Una diferencia de cuadrado se asemeja a una epresión de la forma a b, cuas respectivas raíces son a b. - Tienen dos términos - El signo que los separa siempre es menos - Las potencias de letras están elevadas coúmeros pares, 4, - Tiene raíz cuadrada eacta el primer término - Tiene raíz cuadrada eacta el segundo término Para factorizar una diferencia de cuadrado se toma el producto de la suma por la diferencia de dichas raíces. Simbólicamente: a b (a b)(a b) Ejemplo: Factorizar 1 9 Etraigo la raíz cuadrada a ambos términos 1 9 Luego se escriben la suma la diferencia de estas raíces entre paréntesis (+)(-). Luego 1 9 ( )( ) 1. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS En el lenguaje algebraico un cubo es una epresión que tiene raíz cúbica o está elevada a una potencia múltiplo de. - Tienen dos términos - El signo que los separa puede ser + ó - - Las potencias de letras están elevadas coúmeros múltiplos de,, 9 - Tiene raíz cúbica eacta el primer término - Tiene raíz cúbica eacta el segundo término

2 Una suma o diferencia de cubo tienen la forma factoriza así a b (a b)(a ab b ) a b o a b. Una epresión de este tipo se a b (a b)(a ab b ) Ejemplo: Factorizar 8 1 Se etrae la raíz cúbica de os términos 8 1 Aplico la fórmula de factorización para una resta de cubos a b (a b)(a ab b ) para este caso a = b = 8 1 ( ) ( ). 8 1 ( )( 10 ) Ejemplo: Factorizar 4 Se etrae la raíz cúbica de os términos Aplico la fórmula de factorización para una suma de cubos a b (a b)(a ab b ) en este caso a = 4 ( ) ( ). 4 4 ( )( 1 ) b = 1. SUMA O DIFERENCIA DE n POTENCIAS Se tendrán en cuenta tres situaciones específicas A. n 1 n n n n 1 n par o impar B. n 1 n n n n 1 n par C. n 1 n n n n 1 n impar Ejemplo: Factoriza 18 La potencia es, se busca una cantidad que elevada a la séptima potencia sea igual a 18, en este caso es, luego: 18, los eponentes son impares se compara con n 1 n n n n 1 18 ( )( ( )( 8 1 4) ) CASO II: FACTORIZACION DE TRINOMIOS Recuerdes que un trinomio es una epresión algebraica que consta de tres términos.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

3 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando cumple dos condiciones: Dos de sus términos son cuadrados El otro término corresponde al doble producto de las dos raíces Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma raíces e, su suma o diferencia se eleva al cuadrado.., para su factorización, se toman las Simbólicamente:.. ( ) Ejemplo: Factorizar 10 Se ordena al polinomio. Se observa si dos de sus términos tienen raíz cuadrada, este caso, analiza Veamos si el segundo término 10, corresponde al doble producto de las dos raíces. Se multiplican estas dos raíces. =, este resultado se multiplica por, o sea. = 10, que efectivamente corresponde al segundo término a mencionado Con esto a se confirma que el trinomio es cuadrado perfecto se procede a factorizar según su caso Luego 10 ( ). TRINOMIO DE LA FORMA b c - Tienen tres términos - No tiene numero delante del término Para factorizar un trinomio de esta forma, se buscan dos números m n que multiplicados den como resultado el valor c sumados algebraicamente den la cantidad b Simbólicamente: b c ( m)( n) Ejemplo: Factorizar 1 Debe ordenarse el trinomio en forma descendente. Luego se observa si la forma del trinomio 1, corresponde a b c Se le etrae la raíz a la parte literal, se colocan paréntesis ( + )( - ), en donde el signo +, es el signo del segundo término el signo -, resulta de aplicar la le del signo entre el segundo tercer término +.-=- Ahora se buscan divisores del término independiente en este caso 1 (1,,,4,,1), se toman dos de ellos que sumados algebraicamente den 4 multiplicados den -1 Los números que cumplen esta condición son, observe - = 4 (). (-)=-1 Luego 1 ( )( ) NOTA: se hace necesario colocar el maor de los números en el primer paréntesis.. TRINOMIO DE LA FORMA a b c

4 - Tienen tres términos - Si tiene numero delante del En este trinomio se observa la presencia del coeficiente a en el término cuadrado, la idea central es llevarlo a uno de la forma b c, multiplicando dividiendo por el coeficiente a a b c a b.a a a.c Ejemplo: Factorizar Se multiplica se divide al mismo tiempo al trinomio por el coeficiente ( ).( ) 1, el segundo término se deja indicado. se etrae raíz cuadrada a se buscan dos números que multiplicados den 1 sumados den, dichos números son 4 ( ).( ) 1 ( 4)( ), Se observa que +4, tienen un divisor común que es que +, tienen por divisor común a, se dividen cada epresión de estas entre su divisor común se obtiene +4 = + de otro lado + =+1 Ahora se elimina al, escribiéndolo como el producto de dos ( 4)( ) ( ). ( 1) números ( )( 1) Luego ( )( 1). 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION. Este caso lo que pretende es que un trinomio con una característica especifica, que aparentemente no es cuadrado perfecto, mediante una suma resta se le convierta en este. Ejemplo: factorizar Se observan que los términos doble producto es término es 8. 4, tiene por raíz cuadrada 4 9, tiene raíz cuadrada.. 1 ; luego este trinomio no es cuadrado perfecto porque su segundo, el Para que 8 se convierta en se tiene: 1, se le suma para que el trinomio no varíe le restamos Se factoriza al trinomio cuadrado perfecto 4 4 ( 1 9 ) ( ) Se factoriza la diferencia de cuadrado 4 4 ( 1 9 ) ( ) ( )( )

5 4 4 Luego 8 9 = ( )( ) CASO III: FACTORIZACION DE POLINOMIOS Recuerde que un polinomio es una epresión formada por varios términos. 1. FACTOR COMUN Un factor común es un elemento que aparece al mismo tiempo en varios términos. El factor común puede ser una(s) letra(s), uúmero o ambos. 4 Ejemplo: factorizar En este caso el elemento común es la letra, se toma como factor común la de menor eponente, en este caso, luego se colocan como factores se divide cada término del polinomio entre el factor común 4 4 ( ) Ejemplo: factorizar Se observa que el factor común es uúmero una letra, el número es el máimo común divisor M.C.D de los coeficientes 1,,, 4, que en este caso es ; el factor literal son las letras 4 Luego al factorizar queda ( 4 ).. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS En ocasiones se tienen polinomios en los que no se observa el factor común en cada uno de ellos, pero si se agrupan algunos entre si es posible encontrar términos comunes. Ejemplo: factorizar Se observa que los dos primeros términos tienen el factor literal común los dos últimos el factor numérico ( ) ( ), intercambiando los signos en el segundo factor ( ) ( ), se observa el factor común Luego ( )( ). FACTORIZACION POR DIVISION SINTÉTICA Ejemplo: Factorizar Se toman los divisores del término independiente : ±1, ±, ±.. Aplicando el teorema del resto se buscan para que valores la división es eacta. En este caso para = 1 P(1) = = = 0. Se aplica división sintética

6 4. Por ser la división eacta, ( 1) ( + ) Se continúa realizando las mismas operaciones al segundo factor. Se vuelve a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. P(1) = P( 1) = ( 1) + ( 1) ( 1) = + + = 0 ( 1) ( +1) ( + ) El tercer factor se puede encontrar aplicando la ecuación de º grado o tal como se ha venido haciendo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. El 1 lo se descarta se sigue probando por 1. P( 1) = ( 1) + ( 1) 0 P() = + 0 P( ) = ( ) + ( ) = 4 = 0 ( 1) ( +1) ( + ) ( ) Luego la factorización del polinomio queda: = ( 1) ( +1) ( + ) ( )

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