TEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS


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1 TEMA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.. Repaso de polinomios - Epresión algebraica. Valor numérico - Polinomios. Operaciones con polinomios.. Identidades notables - Cuadrado de una suma de una diferencia - Cubo de una suma de una diferencia - Diferencia de cuadrados.. Factorización de polinomios - Regla de Ruffini - Teorema del resto - Raíces de un polinomio. Factorización.4 Fracciones algebraicas - Definición de fracción algebraica - Simplificación - Operaciones con fracciones algebraicas. Tema. Polinomios fracciones algebraicas

2 .. Repaso de polinomios. Recordemos que una epresión algebraica es un conjunto de números letras relacionados entre sí por las operaciones matemáticas. Los números que aparecen son los coeficientes a las letras se les llama variables. Por ejemplo, son epresiones algebraicas ², 45ab³, m+, 4(-)+7², Si una epresión algebraica está formada solo por el producto de un número por una o varias letras se llama monomio. En este caso el coeficiente es el número que aparece la parte literal está formada por las variables. Por ejemplo, las epresiones algebraicas ², 45ab³ son monomios, pero las epresiones m+, 4(-)+7² no lo son. En ², el coeficiente es la parte literal es ². Es un monomio de grado (suma de eponentes de la parte literal) 45ab³ será por tanto de grado 4. Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Los monomios ²z 4²z son semejantes, pero no lo son ²z 4z². Para sumar dos monomios semejantes se deja la misma parte literal se suman las partes numéricas. Si no son semejantes no se pueden sumar. ²z³ + 4²z³ = 6²z³. ²+5³ no se pueden sumar. El resultado de multiplicar dos monomios es otro monomio obtenido multiplicando sus coeficientes sus partes literales, respectivamente. ²z³ 4z² = 8³z 5. ² 4² = Completa la siguiente tabla: Monomio Coeficiente Parte literal Grado Valor numérico para: a = -, b =, c= - = /, = - = /, = - Un polinomio es una epresión algebraica formada por la suma de varios monomios. Cada uno de los monomios que aparecen se llama término del polinomio, el grado del Tema. Polinomios fracciones algebraicas

3 polinomio es el maor de los grados de los monomios el coeficiente que aparece aislado (sin estar multiplicado por ninguna variable) se llama término independiente. Ej. El polinomio ³ + 4² está formado por 4 términos su grado es. Su término independiente es 7 su término principal es ³. Completa la siguiente tabla: Polinomio Coeficiente Término Coeficiente de Grado Valor numérico del Principal independiente grado polinomio para: 6 5 X = X = 8 5 X = - X = X = - Para sumar ( restar) dos polinomios se suman (o se restan) sus términos semejantes. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los términos del otro luego se agrupan los monomios semejantes obtenidos.. Considera los polinomios A = , B = C = Indica el grado, el coeficiente principal término independiente de A. b) Calcula el valor numérico del polinomio B para =0, =, =- c) Calcula A + B, B - C, A B - C C A + B. 4. Dados los polinomios A = , B = C = - -. Indica el grado, el coeficiente principal término independiente de C. b) Calcula el valor numérico del polinomio C para =0, = =, =- =-0. c) Calcula A - B+C, B - A C A - B. Tema. Polinomios fracciones algebraicas

4 5. Calcula: 5 d (5³+²--) 5 b) ( 4 6 e) 5 c) 5 f) Dados los polinomios P() = , Q() = 8 R() = + calcula: P() +Q() R() b) P() [Q() R ()] Para dividir dos polinomios debemos tener en cuenta: En el dividendo se dejan huecos por los términos que faltan. b) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de maor grado del dividendo entre el de maor grado del divisor. c) Se multiplica el término obtenido en el apartado anterior por el divisor se le resta al dividendo. d) Se repiten los pasos anteriores mientras el resto parcial sea de grado maor o igual que el divisor. Ej: Veamos cómo se hace la división de ²+7+40 entre ²-4+5: ² ² Divide los siguientes polinomios, e indica el cociente el resto: 4 6 : 4 b) 5 0 : 4 c) : d) : 5 4 e) 5: Tema. Polinomios fracciones algebraicas

5 f) g) h) 8. Calcula el cociente el resto de las siguientes divisiones realiza la prueba de la división para comprobar el resultado obtenido : 4 b) 5:. 9. Saca factor común en las siguientes epresiones: b) c) d) e) Tema. Polinomios fracciones algebraicas

6 .. Identidades notables Cuadrado de una suma Cuadrado de una resta Suma por diferencia Cubo de una suma Cubo de una resta. Desarrolla: h) o) b) i) p) c) j) q) d) k) r) e) l) s) f) m) t) g) n) u). Escribe como cuadrado de un binomio o como suma por diferencia: 4 4 g) m) b) 5 6 h) 4 4 n) c) i) 6 ñ) d) 6 9 j) o) e) k) p) f) l) q) Tema. Polinomios fracciones algebraicas

7 . Completa las siguientes epresiones para conseguir cuadrados de binomios: d) b) e) c) f) 4. Completa las siguientes igualdades: ( + )² = ² b) ( - )² = + ² - 4 c) ( - ) = d) ( + ) = e) ( - ) = Tema. Polinomios fracciones algebraicas

8 .. Factorización de polinomios. Recordemos con un ejemplo cómo se usa la regla de Ruffini. Para dividir se hace lo siguiente: Con lo que el cociente es: el resto es -5. Calcula, el cociente el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini: 5 : b) : c) 5 6 : 5 4 d) 5 : 4 e) 5 : 4 4 f) : g) 5 4 : h) 4 : i) 4 : 4 j) : Teorema del resto. El resto de dividir un polinomio P() entre -a, es el valor numérico de P() para = a, es decir, R=P(. Comprueba el teorema del resto con ( ) 5 P. Calcula razonadamente sin hacer la división, el resto de las divisiones: 8 4: 6 b) 8 : Tema. Polinomios fracciones algebraicas

9 c) 5 4 : d) 4 : 4. Indica razonadamente sin hacer la división, si las divisiones siguientes son eactas: 5 4 : b) 4 : 5. Halla en cada caso el valor que debe tomar m para que se cumplan las condiciones que se especifican: La división de m5 entre +5 sea eacta. b) La división 4 m 6: tenga por resto - 4 c) La división 7 m 7: 4 d) La división de m tenga por resto -5 entre + sea eacta. e) El polinomio sea divisible por 6. Aplica el teorema del resto para resolver las siguientes cuestiones: El resto de dividir P ( ) k por es. Halla el valor de k. 4 b) Halla K para que Q ( ) k 0 sea divisible por +. c) Averigua los valores de a b sabiendo que el polinomio 4 a b es divisible por que el resto de dividirlo entre es 6. Un número a se dice que es una raíz de un polinomio P() si P( = 0. Si = a es una raíz del polinomio P(), entonces P() es divisible entre -a, o lo que es lo mismo el resto de la división P() : (- es cero. Un polinomio de grano n puede tener a lo sumo n raíces reales. Además sus raíces enteras del polinomio son siempre divisores de su término independiente. Tema. Polinomios fracciones algebraicas

10 7. Dado el polinomio P ( ) 5 Cuántas raíces reales puede tener como máimo? b) Cuántas raíces enteras puede tener como máimo? c) Quiénes son las posibles raíces enteras? d) Cuáles son sus raíces enteras? 4 8. Dado el polinomio P() 4 Indica sus posibles raíces enteras. b) Calcula sus raíces enteras. 9. Justifica, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: Todo polinomio de grado 6 tiene 6 raíces reales. b) es raíz entera del polinomio P ( ) porque es divisor del término independiente. 4 c) 5 raíz del polinomio P() 4 Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. 5. Factoriza los polinomios, 6. Factoriza los polinomios: 4 P ( ) b) P( ) 5 4. c) P( ). 4 d) P( ) 5 4 e) P( ) f) Q ( ) 4 g) P ( ) h) Q ( ) i) R( ) j) S 5 4 ( ) 5 6 Tema. Polinomios fracciones algebraicas

11 7. Saca factor común usa las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: d) b) e) c) f) 8. Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: P() = Q() = 9 b) P() = 5 4 Q() = 5 4 c) P() =, Q() = R() = d) P() =, Q() = R() = e) P()= Q() = f) P() =, Q() = Tema. Polinomios fracciones algebraicas

12 .4. Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios Son ejemplos de fracciones algebraicas: ; Igual que con las fracciones numéricas, éstas también se pueden simplificas hasta obtener una fracción irreducible.. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 5 6 b) 85 9 c) d) 4 - e) 5 5 f) g) 4 h) 9 4 c) 5 6. Averigua si los siguientes pares de fracciones algebraicas son equivalentes: c) b) 5 5 d) Calcula: + b) + c) - d) : e) f) : 9 g) + h) i) j). k) 9-4 l) : Tema. Polinomios fracciones algebraicas

13 Tema. Polinomios fracciones algebraicas 4. Opera simplifica: : c) : b) : d) : 5. Opera simplifica: c) b) 9 d) : 6. Simplifica: 5 0 b) 6 6 b a b a ab b a 7. Opera simplifica: b) :

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