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1 PRODUCTOS NOTABLES Definición: son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación. Y son: Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Cubo de una suma Cubo de una diferencia BINOMIO AL CUADRADO CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: 1

2 CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Ejemplos: CUBO DE UNA SUMA El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. Ejemplo: 2

3 CUBO DE UNA DIFERENCIA El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término. Ejemplo: PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. Ejemplo: 3

4 TALLER Escribir por simple inspección, el desarrollo de los siguientes productos Notables: FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES 4

5 FACTORIZACIÓN Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. CASOS O TECNICAS DE FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. CASO I: Factor común monomio: 1. Descomponer en factores a 2 + 2a a 2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 a = a y 2a a = 2 y tendremos: a 2 + 2a = a (a + 2) 2. Descomponer 10a 2-5a + 15a 3 El factor común es 5a. Tendremos: 10a 2-5a + 15a 3 = 5a (2a a 2 ) 3. Factorar 6xy 3-9nx 2 y nx 3 y 3-3n 2 x 4 y 3 El factor común es 3xy 3. Tendremos: 6xy 3-9nx 2 y nx 3 y 3-3n 2 x 4 y 3 = 3xy 3 (2-3nx + 4nx 2 - n 2 x 3 ) Prueba general de los factores Para hacer la prueba en cualquiera de los casos vistos, basta multiplicar los factores obtenidos y su producto debe ser igual a la expresión que fue factorada. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: La regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplos: 2) Descomponer 4x y 2-20xy Al ordenar el trinomio tenemos: 4x 2-20x y + 25y 2 = (2x - 5y) (2x - 5y) = (2x - 5y) 2 5

6 (2x) (5y) 3) Descomponer 1-16ax a 2 x ax a 2 x 4 = (1-8ax 2 ) 2 = (8ax 2-1) 2 (1) (8ax 2 ) Factorización de una diferencia de cuadrados perfectos: REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre las raíces del minuendo y del sustraendo. Ejemplos: 1) Facturar 1 - a 2 La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a 2 es a. Multiplicamos la suma de estas raíces (1 + a ) por la diferencia (1 - a ) por lo tanto: 1 - a 2 = (1 + a )(1 - a ) 2) Descomponer 16x 2-25y 4 La raíz cuadrada de 16x 2 es 4x; la raíz cuadrada de 25 y 4 es 5 y 2. Multiplicamos la suma de estas raíces (4x + 5y 2 ) por su diferencia (4x - 5y 2 ) por lo tanto: 16x 2-25y 4 = (4x + 5y 2 ) (4x - 5y 2 ) 3) Factorar 49x 2 y 6 z 10 - a 12 49x 2 y 6 z 10 - a 12 = (7xy 3 z 5 + a 6 ) (7xy 3 z 5 - a 6 ) Factorización de la forma x 2 + bx + c: REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c 1) Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 6

7 2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. 3) Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio. Ejemplo 1) Factorar x 2 + 5x + 6 Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x 2, o sea x: x 2 + 5x + 6 = (x ) (x ) En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces: x 2 + 5x + 6 = (x + ) (x + ) Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3, luego: x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 2) Factorar x 2-7x + 12 Tendremos: x 2-7x + 12 = (x - ) (x - ) En el primer binomio se pone (-) por el signo de (- 7x). En el segundo se pone (-) porque multiplicando (- 7x) por (+ 12) se tiene que (-) por (+) da (-). Como en los binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Dichos números son 3 y 4, luego: x 2-7x + 12 = (x - 3) (x - 4). 3) Factorar x 2 + 2x - 15 Tenemos: x 2 + 2x 15 = (x + ) (x - ) En el primer binomio se pone + por el signo de + 2x En el segundo se pone - porque multiplicando + 2x por - 15 se tiene que + por - da - Como en los binomios tenemos signos distintos, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15. Dichos números son 5 y 3. El 5, que es el mayor, se escribe en el primer binomio: x 2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) Factorización de un trinomio de la forma ax 2 + bx + c: Ejemplos 1) Factorar 6x 2-7x - 3 7

8 Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x que es 6, y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene: 36x 2-6(7x) - 18 pero 36x 2 = (6x) 2 y 6(7x) = 7(6x), por tanto podemos escribir: (6x) 2-7(6x ) - 18 Si descomponemos este trinomio como en el caso anterior, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (6x) 2, o sea: 6x: (6x - ) (6x + ) Buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y el producto 18, que son 9 y 2, con lo que tendremos: (6x - 9)(6x + 2) Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora tenemos que dividir entre 6, para no alterar el trinomio, con lo que tendremos: Pero como ninguno de los binomios es divisible entre 6, descomponemos 6 en 2 3 y dividiendo (6x - 9) entre 3 y (6x + 2) entre 2 nos queda: Luego: 2) Factorar 20x 2 + 7x - 6 6x 2-7x - 3 = (2x - 3) (3x + 1) Al multiplicar el trinomio por 20 tendremos: (20x) 2 + 7(20x) Al descomponer este trinomio tenemos: (20x + 15) (20x - 8) Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir entre 20, pero como ninguno de los dos binomios es divisible entre 20, descomponemos el 20 en 5 4 y dividiendo el factor (20x + 15) entre 5 y (20x - 8) entre 4 tendremos: Luego: 3) Facturar 18a 2-13a - 5 Multiplicamos por 18: (18a) 2-13(18a) - 90 Factoramos este trinomio: (18a - 18)(18a + 5) 20x 2 + 7x - 6 = (4x + 3) (5x - 2) Dividimos entre 18, para lo cual, como el primer binomio 18a - 18 es divisible entre 18, basta dividir este factor entre 18 y tendremos: 8

9 Luego: Suma o Diferencia de Cubos Perfectos: 18a 2-13a - 5 = (a - 1) (18a + 5) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) (1) a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) (2) En la fórmula (1) la Regla 1 nos dice que la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1 La suma de sus raíces cúbicas. 2 El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. En la fórmula (2) la Regla 2 nos dice que la diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1 La diferencia de sus raíces cúbicas. 2 El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplos 1) Buscar los factores de x La raíz cúbica de x 3 es x, y la raíz cúbica de 1 es 1. Según la Regla 1: x = (x + 1)[x 2 - x (1) + 12] = (x + 1)(x 2 - x + 1) 2) Buscar los factores de a 3-8 La raíz cúbica de a 3 es a y la de 8 es 2. Según la Regla 2: a 3-8 = (a - 2)[a 2 + 2(a) + 22] = (a - 2)(a 2 + 2a + 4) 3) 4) 5) 6) 9

10 TALLER DE FACTORIZACIÓN Factoriza cada expresión si es posible, usando los casos que sean necesarios, realiza solo los que están encerrados en el círculo: 10

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