Qué diferencia observas entre los primeros cinco ejemplos que son polinomios y estos dos que no lo son?


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1 POLINOMIOS Definición: Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma ax n, donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo. Ejemplos: 1) 3x - ) x ) n - 5n + 3 4) 5y 3 + 4y - 3y + 1 5) 3 Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios: 1 1) 3x x ) 4 x 6 Qué diferencia observas entre los primeros cinco ejemplos que son polinomios y estos dos que no lo son? Nota: Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresión algebraica es un polinomio. Componentes de un polinomio: 1)Término: Un término es una parte de una expresión algebriaca. Los términos se separan entre sí por los signos de suma (+) o resta (-). )Coeficiente: El coeficiente numérico de un término de un polinomio es el factor numérico del mismo. 3)Término constante: Es el coeficiente numérico que no contiene variable. En siguiente polinomio 5x + 3x - 8 tiene tres términos. numéricos son 5, 3 y -8, pero -8 es el término constante. Los coeficientes Clasificación de los polinomios: Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos

2 se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene. Ejemplos: Monomios Binomios Trinomios 3x 7x - 4 n 3 n 5 3a + 5b 3x x 3 5x 9x y 3 n 3n 4xy 9xy 11xy 4 El polinomio 8x 3 + 5x - 3x + 7 es un polinomio de cuatro términos. Grado de un polinomio: Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está determinado por el término que contiene el mayor exponente. Ejemplos: Polinomios Grado 9y 4 5y 3 3y 7y Es de grado cuatro. 3 x 4x 6 Es de grado tres. n 3n 1 Es de grado dos. 5x 1 Es de grado uno. 8 Es de grado cero, pues 8 8x 0. Es de grado ocho. (Se suman 3x 3 y 5 + 5x y 4 7xy + 6 los exponentes de cada término y la suma más alta determina el grado del polinomio. Orden de un polinomio: Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente, es decir, de mayor a menor. También se pueden ordenar los polinomios en orden ascendente, es decir, de menor a mayor. Por ejemplo, el polinomio x x no tiene orden. Al expresarlo en los dos tipos de orden mencionados anteriormente tenemos:

3 Polinomio Orden 5x 3x Orden descendente. 3x 5x Orden ascendente. Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales. Ejemplos: Semejantes No semejantes 6 ; ; -13a 5x ; 9x 5x ; 9x 3x; 11x -3x ; 11xy 7ab ; ab 7ab ; a b Evaluación de polinomios: Para evaluar un polinomio hacemos lo mismo que evaluar una expresión algebraica. Simplemente sustituimos el valor asignado a la variable y efectuamos las operaciones indicadas en el polinomio. Ejemplos para discusión: Evalua cada polinomio para los valores asignados: 1) x 4 3x 3 + 6x 8 cuando x = - ) x +5x 6 cuando x = -3 3) 3xy xy +4 cuando x = 1 y y = - Ejercicio: Considera el siguiente polinomio a + 4a 3-9 y contesta: 1) Cuáles son los coeficientes? ) Cuál es el término constante? 3) Cuántos términos tiene? 4) Cuál es su clasificación de acuerdo al número de términos que tiene?

4 5) Expresa el polinomio dado en orden ascendente. 6) Expresa el polinomio dado en orden descendente. 7) Cuál es el grado del polinomio? 8) Contiene términos semejantes? 9) Evalua el polinomio para cuando a = ) Evalúa las siguientes expresiones si a = - 3 y b = -1: (a + b) a + b

5 OPERACIONES CON POLINOMIOS Repaso Una expresión algebraica que consiste de la suma de términos de la forma ax n donde a es una constante, x es la variable y n es un entero no negativo, se conoce como un polinomio en la variable x. La forma general de un polinomio es a n x n + a n-1 x n a x + a 1 x + a 0 los a i se llaman los coeficientes numéricos de la variable x n es el grado del polinomio a n es el coeficiente principal a 0 es el término constante del polinomio. Ejemplos POLINOMIO COEFICIENTE NUMÉRICO GRADO COEFICIENTE PRINCIPAL CONSTANTE 5x + 8 a = 5, a 0 = 8 n= a = 5 a 0 = 8 7x 5-3x - 10 a 5 = 7, a = - 3, a 0 =-10 n= 5 a 5 = 7 a 0 = -10 CLASES DE POLINOMIOS Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos que tienen. Monomio Binomio Trinomio Polinomios (1 término) ( términos) (3 términos) (mas de 3 términos) 4x x + x - xy + y x 3-5x - 7x + 9

6 -10xy x - y y - 7y - 10 x - xy + yx - 7x y -8 a + b 3 5z 3 + z - z y 5 - y 3 + y - 7y - 10 TÉRMINOS SEMEJANTES Tienen las mismas variables con los mismos exponentes 4x, 10x, x, -x O son numéricos (constantes) 5,-3, -1 9y, 13y, -y 5xy, 7yx, xy Simplificando expresiones que tienen términos SEMEJANTES Aplica la propiedad distributiva ab + ac = a ( b + c ) Suma o resta los coeficientes numéricos dependiendo de los signos La variable prevalece igual Ejemplo 1 5x + 8x + 1x = ( ) x = 5x agrupación simplificación Ejemplo 7y - 4y + y =

7 ( ) y = (agrupa) 4y simplifica Ejemplo 3 6xy - xy - 1yx = (yx es xy) ( ) xy = (agrupa) -16 xy (simplifica) Ejemplo 4 a - 7b - 10b + 6a = (a + 6a) + ( - 7b - 10b) = (agrupa) ( 6 )a + ( 7 10 )b = (agrupa) - 4a 17b (simplifica) OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de polinomios Que se hace Se agrupan los términos semejantes, se simplifica y se ordena el polinomio. Ejemplo1: ( x + x + 5 ) + ( 3x + x -7 ) = ( x + 3x ) + ( x + x ) + ( 5-7 )= (agrupa los semejantes) 4x + x - (suma o resta los coeficientes (las variables prevalecen) Ejemplo :

8 ( 9 - y + y ) + ( - y y ) = ( 9-1) + ( - y - y ) + ( y + y )= (agrupa los parecidos) 8 - y + y (suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen) PRACTICA: ( x + x - 11 ) + ( 6x - x - ) ( 7y + 5y - 1 ) + ( y - y - 9 ) ( xy + 3xy + 4 ) + ( x y - yx ) ( z + 7z + 8 ) + ( z - 11z - ) + ( 6-7z - z ) OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de polinomios Que se hace Se agrupan los términos semejantes, se simplifica y se ordena el polinomio. Ejemplo1: ( x + x + 5 ) + ( 3x + x -7 ) = ( x + 3x ) + ( x + x ) + ( 5-7 )= (agrupa los semejantes) 4x + x - (suma o resta los coeficientes (las variables prevalecen) Ejemplo : ( 9 - y + y ) + ( - y y ) = ( 9-1) + ( - y - y ) + ( y + y )= (agrupa los parecidos) 8 - y + y (suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen)

9 PRACTICA: 1. ( x + x - 11 ) + ( 6x - x - ). ( 7y + 5y - 1 ) + ( y - y - 9 ) 3. ( xy + 3xy + 4 ) + ( x y - yx ) 4. ( z + 7z + 8 ) + ( z - 11z - ) + ( 6-7z - z ) OPERACIONES CON POLINOMIOS Resta de polinomios Que se hace Se suma el opuesto del polinomio sustraendo y se siguen las reglas de suma. Opuesto de un polinomio Polinomio Que se hace Opuesto del polinomio 5x + 1 x - 8 Se cambia el signo - 5x - 1 x + 8 de cada término. 7x 5-3x - x x 5 + 3x + x - 10 Ejemplo 1: ( x + x + 5 ) - ( 3x - x - 7 )= (x + x + 5) + ( - 3x + x + 7 )= (cambia signo de cada término) ( x - 3x ) + ( x + x ) + ( 5 + 7)= (agrupa) - x + x + 1 (suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen) Ejemplo : ( 11 - y + 5y ) - ( - y y )= ( 11 - y + 5y ) + ( y + 6-4y )= (cambia signo de cada término)

10 ( ) + ( - y + y ) + ( 5y - 4y ) (agrupa) 17 - y + y ( suma o resta los coeficientes) ( las variables prevalecen) PRACTICA 1. ( 11x + 5x - 1 ) ( 3x 8x ). ( 7y + y 14 ) ( 8y 10 y ) 3. ( 13xy + 37xy + 16 ) ( -41 8x y yx ) 4. ( z + z + 1 ) ( z 9z 3 ) ( 6 z z ) OPERACIONES CON POLINOMIOS Multiplicación de polinomios Que se hace Se multiplica término a término, multiplicando los coeficientes y aplicando las propiedades de los exponentes para las bases iguales ( variables) en multiplicación. Ejemplo 1: ( x y 3 ) ( 5x y ) = ( )( 5 ) (x x) (y 3 y ) = (multiplican los coeficientes, agrupan las mismas variables y suma los exponentes) 10 x 3 y 5 Ejemplo : (4x + 1)(x - 6) = (4x) (x) + (4x)(-6)+ 1(x) + 1(-6) = (multiplicación término a término) (4) () (x) (x) + (4) (-6) (x) + (1) () (x) + (1) (-6) = (multiplica coeficientes, agrupa las mismas variables)

11 8x 4 x + x 6 = (suma los exponentes y simplifica los términos parecidos ) 8x x 6 PRACTICA 1. ( 11x y ) ( 3x y ). ( 4y + 3) ( 8y -10) 3. ( x + xy ) ( 7 - xy ) 4. ( z + 1 )

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