Índice. La enseñanza de las operaciones con fracciones y números decimales...7 Introducción...7


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1 Índice La enseñanza de las operaciones con fracciones y números decimales...7 Introducción...7 Secuencia para 4to. Grado Suma y resta con números decimales...9 Propósito y comentarios sobre las actividades...9 Actividad 1: Ahorros y compras Actividad 2: Más cuentas con dinero y calculadora Actividad 3: El Juego del cinco y medio Actividad 4: Después del juego Actividad 5: Bastidores para telares Actividad 6: Para sumar y restar Actividad 7: Estimar y encuadrar Actividad 8: Nuevos bastidores Actividad 9: Vale o no vale? Actividad 10: Mirar lo que aprendimos Actividad 0/11: Qué sabemos? Secuencia para 5to. Grado - Multiplicación con números decimales Propósito y comentarios sobre las actividades Actividad 1: Librería Buenacompra Actividad 2: El Juego de la Guerra con Cartas y un dado Actividad 3: Después del juego Actividad 4: Con calculadora Actividad 5: Multiplicar y dividir por 10, 100, Actividad 6: Yasi Berá Actividad 7: Distintas formas de resolver una cuenta Actividad 8: Cuentas para corregir Actividad 9: Vale o no vale? Actividad 10: Mirar lo que aprendimos Actividad 0/11: Qué sabemos? Secuencia para 6to. Grado - Multiplicación y división con números decimales Propósito y comentarios sobre las actividades Actividad 1: Gastos en la estación de servicio Actividad 2: Multiplicar sin calculadora Actividad 3: Juego Quién lo hace más rápido? Actividad 4: Después de jugar Actividad 5: El costo de los retazos Actividad 6: Más cálculos con los centímetros Actividad 7: Dividir cantidades Actividad 8: Para seguir pensando Actividad 9: Vale o no vale? Actividad 10: Mirar lo que aprendimos Actividad 0/11 Qué sabemos? agendamatematicas.indd 4 23/12/13 17:23

2 La enseñanza de las propiedades de las figuras geométricas...65 Introducción Secuencia para 4to Grado: Triángulos y cuadriláteros, lados iguales y ángulos rectos Propósito y comentarios sobre las actividades Actividad 1: Guerra de lados Actividad 2: Después de la Guerra de lados Actividad 3: Rompecabezas chino Actividad 4: Otras siluetas para armar Actividad 5: Nuevos rompecabezas Actividad 6: Figuras para armar figuras Actividad 7: Juego Detectives de triángulos Actividad 8: Dibujos con regla y escuadra Actividad 9: Se puede o no se puede? Actividad 10: Mirar lo que aprendimos Actividad 0/11: Qué sabemos? Secuencia para 5to. Grado: Triángulos y cuadriláteros, los lados y los ángulos Propósito y comentarios sobre las actividades Actividad 1. Costureras y cuadrados Actividad 2: Escuadras y líneas Actividad 3: Figuras para armar figuras Actividad 4: Cuadro de cuadriláteros Actividad 5: Discusiones sobre figuras y ángulos Actividad 6: Detectives de cuadriláteros Actividad 7: Después del juego Actividad 8: Mesitas diferentes Actividad 9: Vale o no vale? Actividad 10: Mirar lo que aprendimos Actividad 0/11: Qué sabemos? Secuencia para 6to. Grado Triángulos y cuadriláteros: lados, ángulos y diagonales Propósito y comentarios sobre las actividades Actividad 1: Diseños de barriletes Actividad 2: Construcciones de rombos y romboides Actividad 3: Mensajes para construir cuadriláteros Actividad 4: Construcciones de rectángulos Actividad 5: Circunferencias y cuadriláteros Actividad 6: Qué figura se forma? Actividad 7: El Juego de los cuadriláteros Actividad 8: Después del juego Actividad 9: Vale o no vale? Actividad 10: Mirar lo que aprendimos Actividad 0/11: Qué sabemos? Plantilla con figuras y soluciones para el juego del Tangram Las actividades de las secuencias y el uso de Geo Gebra agendamatematicas.indd 5 23/12/13 17:23

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4 La enseñanza de las operaciones con fracciones y números decimales Introducción Para el segundo ciclo, se han definido como aprendizajes prioritarios el conocimiento de los números racionales en sus distintas representaciones, el uso avanzado de las operaciones y las formas de calcular para resolver problemas. Se destaca que, en relación con estas últimas, es importante considerar, como inicio del trabajo, el uso de diferentes procedimientos en función de los conocimientos de los alumnos sobre los números involucrados y sobre las operaciones, antes de analizar y utilizar procedimientos más económicos. Si bien el foco de estas secuencias está en la enseñanza de las operaciones con números decimales, su desarrollo está entramado con contenidos vinculados a la medida y a la proporcionalidad. Para resolver problemas en estos contextos es necesario elaborar estrategias de cálculo que habrá que hacer evolucionar mediante actividades de cálculo mental. Asimismo, se busca promover el control de los resultados al operar con números racionales, más allá del recurso utilizado (cálculo mental, algorítmico, con calculadora, etc.). Entonces, para iniciar el trabajo sobre cualquiera de estas secuencias, resulta necesario que los alumnos hayan tenido que estimar medidas, medir eligiendo el instrumento y la unidad adecuada, y registrar y comparar cantidades considerando distintas expresiones posibles para una misma cantidad (descomposiciones aditivas, distintas unidades). También es conveniente que hayan resuelto algunos problemas utilizando propiedades de la proporcionalidad directa, por ejemplo calculando dobles o triples. Se debe tener en cuenta que la comparación de las producciones en la clase dará lugar a la confrontación de diferentes procedimientos de cálculo, lo que a su vez permitirá establecer relaciones entre unidades y explicitar propiedades de las operaciones involucradas. Si bien el foco está en el trabajo con expresiones decimales, será necesario recuperar lo aprendido sobre fracciones, especialmente equivalencias entre expresiones decimales y fraccionarias de un mismo número, equivalencia de fracciones y operaciones con fracciones. En este sentido, será importante tener en cuenta que, a lo largo del segundo ciclo, los alumnos deben tener oportunidad de ir tomando decisiones cada vez más autónomas acerca del tipo de representación que conviene utilizar según el problema a resolver. En particular, en la secuencia para 4 grado, los conocimientos sobre equivalencias en el contexto del dinero permitirán a los alumnos elaborar y comparar procedimientos de cálculo de sumas y restas entre decimales, avanzando con un repertorio aditivo. Si bien al finalizar la secuencia los alumnos podrán discutir la conveniencia de encolumnar para sumar o restar, y cómo hacerlo, este es sólo un procedimiento más. Se espera que, tanto para calcular como para comprobar la razonabilidad de los resultados obtenidos, las cantidades se expresen en centavos y, en una etapa posterior, en centésimos. Interesa también construir un primer repertorio de resultados memorizados que será la base de las estimaciones futuras. En la secuencia para 5 grado también se trabajará con precios y longitudes. El trabajo con longitud, peso y capacidad, además de facilitar la exploración de distintos ámbitos de utilización de los decimales, permite acceder a otros órdenes de magnitud, como los milésimos. Es más, si bien el contexto del dinero resulta útil para iniciar los primeros análisis sobre el significado de las escrituras decimales, en realidad oculta la verdadera naturaleza de estos números. Aunque no resultaría nada práctico (y en la actualidad no circulan monedas de 1 centavo), es posible pensar una cantidad de dinero asociada a un conjunto de monedas y, eventualmente, contarlas usando los números naturales. Así, aquello que permite el control inicial de los resultados puede convertirse en un obstáculo. En este grado se avanza luego con la multiplicación de expresiones decimales por un número natural, pudiendo controlar el resultado obtenido mediante equivalencias. El establecimiento de relaciones entre multiplicación y división, junto con el uso de distintas escritu- 7 agendamatematicas.indd 7 23/12/13 17:23

5 8 ras, también será un insumo para elaborar procedimientos de cálculo no algoritmizado. Por ejemplo, advertir que multiplicar por 0,1 es equivalente a multiplicar por 1/10 y, a su vez, a dividir por 10. Con este tipo de relaciones se espera propiciar la elaboración de cálculos adecuados a las diferentes situaciones presentadas, de manera de preparar el camino para la sistematización de estrategias más generales a realizarse en 6 grado. Se espera que este proceso de resolución y análisis por parte de los alumnos contribuya al progreso de la utilización de procedimientos más económicos de cálculo, al uso de diferentes recursos y al control de los resultados de multiplicaciones y divisiones con números racionales. Hoy la meta ya no es el dominio de los algoritmos con lápiz y papel sino disponer de una variedad de estrategias que permitan, frente a un desafío de cálculo, decidir cuál es el procedimiento más conveniente priorizando el uso de la calculadora, previa estimación del resultado. En la secuencia para 6º grado se incluye la división entre expresiones decimales, pero, nuevamente, priorizando el establecimiento de relaciones entre operaciones y entre representaciones, así como el uso de propiedades, por sobre la mecanización de un procedimiento particular. Desde un enfoque que promueve el desarrollo de competencias carece de sentido dedicar parte del valioso tiempo escolar al estudio de los casos de la división con decimales y a la práctica de algoritmos que sólo se usan excepcionalmente. Veamos estos contenidos tal como se expresan en los Cuadernos para el aula 1. El reconocimiento y uso de las operaciones entre fracciones y expresiones decimales de uso social habitual en situaciones problemáticas que requieran: 4º grado 5º grado 6º grado 1. Para precisar el alcance y el tipo de tratamiento de los contenidos en cada grado se sugiere la lectura de los apartados Para comenzar a operar con fracciones y decimales (en Serie Cuadernos para el aula. Matemática 4), Para calcular de diferentes formas con fracciones y decimales al resolver problemas decimales (en Serie Cuadernos para el aula. Matemática 5) y Para avanzar en los procedimientos de cálculo con distintos tipos de números (en Serie Cuadernos para el aula. Matemática 6). Sumar y restar cantidades expresadas con fracciones y decimales, utilizando distintos procedimientos y representaciones y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. Elaborar estrategias de cálculo utilizando progresivamente resultados memorizados relativos a fracciones y expresiones decimales de uso corriente (½ + ½; ¼ +1 ½; ½ + ¾; 0,25 + 0,25; 0,50 + 1,50; dobles; etc.). Multiplicar y dividir cantidades expresadas con fracciones o decimales, utilizando distintos procedimientos y representaciones y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. Explicitar procedimientos de cálculo mental que puedan utilizarse para facilitar otros cálculos (la mitad de la mitad es la cuarta parte, 0,25 x 3 = 0,75 = ¾) y para argumentar sobre la validez de los resultados obtenidos. Operar seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números involucrados que resulte más conveniente en función de la situación y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. Elaborar y comparar procedimientos de cálculo exacto y aproximado, mental, escrito y con calculadora de divisiones de expresiones decimales, incluyendo el encuadramiento de los resultados entre naturales y analizando la pertinencia y economía del procedimiento en relación con los números involucrados. agendamatematicas.indd 8 23/12/13 17:23

6 Secuencia para 4 grado. Suma y resta con números decimales Propósito y comentarios sobre las actividades En esta secuencia se promueve la elaboración y comparación de diferentes procedimientos de cálculo no algoritmizado (exacto y aproximado, mental y escrito) para sumar y restar números con dos cifras decimales, focalizando en la construcción de un repertorio básico de cálculos memorizados y la estimación de resultados. El conjunto de las actividades de la secuencia alterna el trabajo en contextos intra y extramatemáticos, incluyendo un juego. Las consignas dan lugar a que los alumnos decidan, resuelvan, comuniquen en forma oral o escrita los resultados, justifiquen, formulen preguntas, etc., es decir, lleven adelante distintas prácticas propias del trabajo matemático. Se debe destacar que la comparación de los procedimientos de cálculo da lugar tanto al análisis del valor posicional de las cifras como a las equivalencias entre unidades. En particular, se toma el caso de las equivalencias peso-centavos; metro-centímetros y kilo-gramos. El repertorio inicial comprende expresiones de uso frecuente como 0,25; 0,50 y 0,75 para luego ampliarse incluyendo otros números con dos cifras decimales. Si bien es posible usar los mismos procedimientos de cálculo para resolver sumas y restas con números más grandes o con más cifras decimales, en esta secuencia se prioriza la producción y el análisis de los procedimientos, se busca fortalecer el repertorio de resultados memorizados y las estrategias de cálculo mental, sin avanzar en el dominio de los algoritmos tradicionales. Las tareas previstas para cada actividad pueden incluirse en el trabajo colectivo, ser realizadas en la clase por algunos alumnos o quedar como tarea para la casa. En general, se trata de consignas cortas que plantean el uso de las nociones en estudio en otros casos, otros contextos, con otras representaciones u otras tareas a resolver. En este sentido, cuando se necesite agregar actividades complementarias para atender a los conocimientos disponibles en la clase de modo que todos tengan trabajo, se debe tener en cuenta que variar el tipo de representación o de tarea permite enriquecer la propuesta sin apartarse del foco de trabajo. Cuando para responder a las necesidades de algunos niños se plantean problemas nuevos o con números más grandes que la clase asume como más difíciles, muchas veces se fortalecen ciertos roles estereotipados acerca de los que saben más que quisiéramos evitar. Quien ya resolvió, puede avanzar en comunicar lo realizado, en analizar otra resolución posible o en determinar la validez de una afirmación, lo que puede resultarle todo un desafío, y participar luego de la puesta en común aportando algo nuevo pero que es útil para el conjunto de la clase. La propuesta de seguimiento, Actividad 0/11, se ha pensado en relación con la utilización y explicitación de los procedimientos de cálculo para sumar y restar números decimales. En este sentido, es necesario proponer esta actividad antes de iniciar la secuencia, y al finalizarla; para ello sin variar el tipo de tarea ni el saber necesario para responder a las preguntas se deben modificar los contextos y cantidades, para que no se trate exactamente de las mismas situaciones. A partir del análisis de las primeras producciones de los alumnos, se podrán realizar algunos ajustes en las actividades o diseñar actividades complementarias, con el fin de construir puentes entre lo que el grupo sabe y lo que consideramos necesario que sepa para encarar la secuencia. La comparación de las producciones de cada alumno en estas dos instancias, permitirá recabar información acerca de sus avances en los aprendizajes esperados. Si esta información nos mostrara que algunos no han avanzado en el sentido previsto, se podrán diseñar actividades específicas que aseguren que todos y todas puedan resolver sumas y restas con números decimales teniendo control sobre los procedimientos utilizados y los resultados obtenidos. 9 agendamatematicas.indd 9 23/12/13 17:23

7 suma y resta con números decimales En la Actividad 1 se proponen dos situaciones en las que los números decimales se usan para indicar cantidades de dinero. En la primera, la tarea propuesta requiere reunir cantidades y averiguar una diferencia. En este caso, los alumnos tendrán que interpretar escrituras diferentes de una misma cantidad, por ejemplo, 25 centavos = $ 0,25. Al realizar los cálculos, se pueden reunir los pesos y los centavos de diferentes formas, sin recurrir de manera explícita a la suma de decimales. También se puede aproximar primero usando los pesos y después evaluando cuánto influyen las cantidades de centavos en el total. Se espera que los alumnos puedan recurrir a relaciones en el sistema monetario como apoyo para sus procedimientos: dos monedas de 25 valen lo mismo que una de 50, dos monedas de 50 valen un peso y 10 monedas de 10 centavos forman también un peso. En el caso del apartado b) el vuelto podrá calcularse por complemento o combinando pesos y centavos, sin hacer efectivamente la cuenta 10 5,85. Tanto en esta actividad, como en todas las que involucran precios, se puede hacer un primer estudio con los datos presentados, y luego comparar con los valores vigentes, o actualizar los precios y corregir los valores antes de presentar la actividad a los alumnos. 10 agendamatematicas.indd 10 23/12/13 17:23

8 suma y resta con números decimales Ya sabés hacer sumas y restas con números naturales para resolver problemas y seguramente usaste algunos números con coma. Cómo resolvés sumas y restas con estos números? Actividad 1. Ahorros y compras a) Un grupo de amigos decide juntar dinero para comprar una soga para jugar en los recreos. La soga cuesta $ 26. Cada amigo puso parte de sus ahorros. Anita: - Traje 4 monedas de $1, 10 monedas de 25 centavos y 6 monedas de 5 centavos. Berny: - Yo tengo 3 monedas de $1, 6 monedas de 50 centavos, 1 moneda de 10 centavos. Dina: - Junté $5 y 4 monedas de 25 centavos y 8 monedas de 10 centavos. Claudio: reuní $6,90. Les sobra o les falta para comprar la soga? b) Otra amiga del grado, Elsi, tiene ahorrados $ 10 y quiere comprar en la librería: Una goma: $ 0,75 Un marcador $ 3 Una birome $ 2,10 Cuánto le darán de vuelto? 11 agendamatematicas.indd 11 23/12/13 17:23

9 suma y resta con números decimales En la Actividad 2, se mantiene el contexto del dinero para averiguar el vuelto y calcular cuánto le falta a una cantidad para llegar a otra. Más allá de que los alumnos pueden pensar ambas cuestiones como sumas, para encontrar el resultado con la calculadora, tendrán que formular una resta. Esto permite relacionar los resultados obtenidos por cálculo mental (usando distintas descomposiciones) con la escritura convencional. A su vez, al escribir precios nuevamente volverán a usar las equivalencias obtenidas en la Actividad 1. Estos problemas favorecen la producción e interpretación de formas diferentes y equivalentes para expresar cantidades, que tendrán que ser explicitadas y registradas al finalizar la clase. Se espera que los alumnos utilicen progresivamente esas descomposiciones para generar procedimientos más eficientes de cálculo mental. 12 El juego del cinco y medio, en la Actividad 3, requiere sumar números con dos cifras decimales terminados en 0 o 5 como en las actividades previas al juego. Sin embargo, los que eran pesos y centavos son ahora enteros y centésimos y se trata de recuperar las equivalencias ya explicitadas para flexibilizar su uso en el cálculo mental. En particular, será necesario explicitar la equivalencia de 5,5 y 5,50. Se busca fortalecer el repertorio de cálculos mentales con números decimales y socializar las estrategias que se construyan al respecto, de modo que estén disponibles para cada uno de los alumnos. En este sentido, se recuerda que más allá de todas las ventajas que esto implica en términos de producción personal de cada niño, no es suficiente participar del juego. Es necesaria la comunicación al conjunto de la clase de las estrategias utilizadas y su análisis en términos de su conveniencia para el juego, lo que requiere comparar expresiones decimales. A su vez, esto permitirá ir construyendo un repertorio de resultados memorizados que serán útiles para resolver nuevos cálculos. Otra forma de registrar los puntos, para no poner tanto énfasis en la competencia, es la siguiente: antes de iniciar la partida cada jugador tira una moneda para determinar a qué equipo van a ir sus puntos, por ejemplo, cara = equipo verde, ceca = equipo azul; otra opción es sacar un papel de color. De este modo, y si bien en cada grupo hay un ganador, los puntos individuales de alguien que pierde en su grupo pueden contribuir a que gane el equipo para el que está aportando sus puntos ese día. agendamatematicas.indd 12 23/12/13 17:23

10 suma y resta con números decimales Actividad 2. Más cuentas con dinero y calculadora a) Si comprás la birome que cuesta $2,10 y pagás con un billete de $2 y una moneda de $1, cuánto te dan de vuelto? Cómo escribirías en la calculadora una cuenta que te dé la respuesta? b) Si tenés 2 pesos con 73 centavos y necesitás llegar a 3 pesos, cuánto dinero te falta? Qué cuenta tendrías que hacer en la calculadora? Anotala y luego comprobalo. c) Cuánto hay que agregar si tenés 2 pesos con 3 centavos y necesitás 3 pesos? Cómo harías la cuenta en la calculadora? d) Con 3 monedas de $ 0,50; 3 monedas de $ 0,25 y 3 monedas de $ 0,10. - Se pueden pagar justo las siguientes cantidades? Cómo? $ 1,80 $ 2,45 $ 1,05 $1,15 $2,60 Hacé las cuentas con la calculadora y anotalas. Será posible hacerlo de diferentes maneras? Anotalas. Tarea: Escribí las siguientes cantidades usando números con coma: 2 pesos con 5 centavos 2 pesos con 50 centavos 75 centavos 7 pesos con 5 centavos la cuarta parte de 1 peso 1 peso y medio Actividad 3. El Juego del cinco y medio 13 Para jugar, júntense en grupos de cuatro compañeros. Van a necesitar un mazo de 48 cartas con decimales como estas, cuatro de cada una. Por turnos, hay un jugador que reparte las cartas y tiene el mazo. Se mezclan todas las cartas y se reparte una carta para cada jugador. Luego, cada jugador va pidiendo, de a una, tantas cartas como quiera para tratar de aproximarse lo más posible a 5,5. Cada jugador decide cuándo le conviene plantarse, para no pasarse del valor indicado. Al finalizar la ronda cada uno muestra sus cartas y se anota un punto el jugador que más se acerque a 5,5. Se vuelven a mezclar las cartas y se juegan 4 o 5 rondas más. Gana el jugador que junta más puntos. Tarea: Anotá dos cálculos de modo que el resultado esté cerca de 5,5. En uno, el resultado tiene que ser mayor y en otro, menor. agendamatematicas.indd 13 23/12/13 17:23

11 suma y resta con números decimales En la Actividad 4, las dos primeras consignas de trabajo vuelven sobre el análisis de posibles jugadas. Por ejemplo, ante 2,50; 0,25; 0,75; 1,25 los niños pueden sumar la parte entera, la decimal y luego componer lo obtenido, pueden completar el entero reuniendo primero 0,25 y 0,75. Las consignas c) y d) están más orientadas a la reflexión sobre el cálculo aunque mantienen la vinculación con el juego. Ya no se trata de resolver sino de comprender un procedimiento usado por otro, revisarlo, determinar su validez, identificando las diferencias con otros y reconociendo los límites de su aplicación. A través de consignas que evocan el juego, se trata de recuperar las estrategias exitosas, los resultados memorizados, para luego analizar una estrategia de cálculo cercana a las posiblemente utilizadas. Este tipo de tarea, junto a la elaboración de recomendaciones planteada en e) permite formular conclusiones de tipo más general. La tarea da lugar al uso de estos procedimientos en otros casos, lo que permite tanto revisarlos como adquirir alguna comodidad con ellos. 14 agendamatematicas.indd 14 23/12/13 17:23

12 suma y resta con números decimales Actividad 4. Después del juego a) Fijate las cartas que recibieron estos amigos. Quién ganó? Por cuánto? Laura: 2,50 0,25 0,75 1,25 Víctor: 0,25 1,50 2,75 0,50 b) Javier tiene las siguientes cartas: 1,75 0,50 2,25 Para alcanzar justo cinco y medio, qué cartas tiene que recibir? Hay más de una posibilidad? c) Un alumno recibió la carta con el 0,75, entonces pidió 4 cartas y recibió las siguientes: 2,25 1,50 0,25 0,50. Cuál podría ser una manera rápida de obtener el total? d) Otro alumno sumó mentalmente dos cartas y dijo: Cinco y cinco diez,... diez más setenta da ochenta, con estas dos cartas no llego ni siquiera a uno. Qué cartas podría haber sumado? Te parece que estaba sumando bien? Por qué? e) Qué recomendaciones le darías a un amigo para que no se equivoque al hacer las cuentas para ganar? Tarea I. Resolvé los siguientes cálculos agrupando los números de manera tal que se obtenga una respuesta lo más rápida posible. Antes de hacerlo estimá entre qué números enteros se encuentra el resultado. a) 4,25 + 1,50 + 2,50 = b) 2,75 + 3,50 + 1,25 + 5,50 = c) 1,50 + 9,25 + 1,75 + 2,25 = d) 1 ½ + 0,5 + ¼ + 0,25 = 15 II. Buscá una manera rápida de saber el resultado de los siguientes cálculos. Explicá cómo se te ocurrió. a) 3,25 0,50 = b) 2 0,75 = c) 4,50 0,75 = d) 1,5 ¼ = agendamatematicas.indd 15 23/12/13 17:23

13 suma y resta con números decimales 16 La situación planteada en la Actividad 5 involucra otro contexto para los decimales: su uso para expresar longitudes. El trabajo en contextos de medida permite a los niños apoyarse en expresiones equivalentes para una misma cantidad, para comprobar la validez de las respuestas obtenidas al expresar el resultado de una medición, realizar una estimación o efectuar cálculos simples. Para resolver el problema, es necesario acordar primero cómo se usarán las varillas. Por ejemplo, en el caso de los bastidores cuadrados, es posible usar 4 varillas iguales de 37,5 cm de largo o dos varillas de 40 cm y 2 de 35 cm por bastidor, lo que da lugar a distintos cálculos con las medidas. Todos pueden trabajar sobre el mismo modelo o explorar las distintas alternativas para determinar si hay uno más conveniente que otro. Es más, se podría separar la clase en grupos para estudiar los distintos casos. Si bien se espera que surjan algunas sumas y restas de manera explícita, también es posible hacer algunas estimaciones preliminares basándose en equivalencias sin evaluar cómo se colocan las varillas en el bastidor o si en algún caso se desperdicia más o menos material que en otro: con una varilla de 1,20 se pueden hacer 3 de 40, o dos de 40 y dos de 20; se pueden cortar 4 de 25 y una de 20, etc. También se podría generar algún ejemplo para que los chicos lo analicen. La tarea propuesta apunta a resolver sumas y restas que dan 1, para que los alumnos logren detectar ciertas regularidades relativas al cálculo con estas expresiones. Hasta aquí, los alumnos han elaborado ciertas estrategias de suma y resta válidas para los casos planteados sin recurrir necesariamente al uso de los algoritmos usuales. agendamatematicas.indd 16 23/12/13 17:23

14 suma y resta con números decimales Actividad 5. Bastidores para telares Un papá que tiene carpintería dona varillas de 1,20 m de largo y 2,5cm de ancho y de espesor para el proyecto de telar de la escuela. Los chicos piensan armar 2 bastidores cuadrados de 40 cm por 40 cm y 2 de 20 cm por 25 cm. Cómo conviene cortar las varillas? Cuántas necesitan? Tarea I. Completar las sumas o restas de modo que den 1: 0,55 + = 1 0,75 + = 1 0,25 + = 1 0,8 + = 1 0,99 + = 1 2,1 - = 1 1,05 - = 1 1,60 - = 1 2,25 - = 1 17 II. Si en el caso de las sumas, hubiera que completar para llegar a 2, o a 5, cómo cambia el número que se agrega? Por qué? agendamatematicas.indd 17 23/12/13 17:23

15 suma y resta con números decimales La Actividad 6, en la que se abordan como objeto de análisis errores habituales de cálculo, pone el foco en los algoritmos tradicionales. Se presentan cuentas en las que las expresiones están mal ordenadas y cálculos en los que el error está en tratar cada parte de la expresión decimal como si se tratara de dos partes enteras. La comunicación del análisis requiere el uso de expresiones como décimos o centésimos. Se trata de que los alumnos puedan dar cuenta de por qué funcionan determinados recursos de cálculo y desarrollar mecanismos de control que permitan validar la adecuación de la respuesta. Por ejemplo: en a) si a un número entre 45 y 46 le sumo un número menor que 5 el resultado podrá estar entre 49 y 51 pero nunca podría ser un número de 3 cifras; en b) 0,4 + 0,8 no puede dar menos de 1 porque es mayor que agendamatematicas.indd 18 23/12/13 17:23

16 suma y resta con números decimales Actividad 6. Para sumar y restar I. Corregí las siguientes cuentas. En el caso de que estén mal resueltas, explicá por qué pueden haberse confundido los chicos. a) Laura: 45,61 8,45 + 4,2-3,07 460,3 5,38 b) Sofía: c) Víctor: 0,4 + 0,8 = 0,12 9,011-0,10 = 9,01 7,7 + 6,7 = 13,14 1,6 1,03 = 0,3 II. a) Pensá, sin hacer la cuenta, si la suma de 0,57 y 0,31 dará más o menos que 1. b) Víctor sostiene que no puede dar más de uno porque es menor que 100. Estás de acuerdo? Por qué? c) Pensá, sin hacer la cuenta, si el cálculo 12 1,99 dará más o menos que 10. Explicá cómo lo pensaste. Tarea a) Completá sumando o restando: 2,8 = 3 0,49 = 1 2,08... = 3 0,49 = 5 2,08... = 0,03 0,49 = 0,09 2,08... = 0,3 0,49 = 0,9 b) Anticipá si el resultado de 5,5 2,84 será mayor, menor o igual a 8 6,34 y resolvé para comprobar. c) Cuál es la diferencia entre el resultado de 1 0,03 y el de 1 0,3? 19 agendamatematicas.indd 19 23/12/13 17:23

17 suma y resta con números decimales En la Actividad 7, se propone encuadrar resultados y estimar antes de resolver. Estas actividades complementan el trabajo de reflexión sobre los procedimientos de cálculo promoviendo el control de los resultados. El trabajo con estimaciones pone a los alumnos en situación de establecer relaciones, aplicarlas y sacar conclusiones. No se trata de que los alumnos pregunten rápidamente al maestro si un resultado está bien luego de resolver un cálculo, sino de que ellos mismos incluyan como parte natural del proceso de cálculo la evaluación de la razonabilidad de lo obtenido. En una puesta en común, se pueden explicitar las estrategias de cálculo mental utilizadas. Por ejemplo, en 24,34 + 0,06 + 2,7 un niño puede decir a 24 le sumo 2, da 26; luego 34 centésimos más 6 es 40 y 40 más 70 centésimos es 1,1; 26 más 1,1 da 27,1 y otro afirmar 24,3 más 0,7 da 25, más 2, 27 y como 4 centésimos + 6 centésimos da 1 décimo, el resultado es 27,1. 20 agendamatematicas.indd 20 23/12/13 17:23

18 suma y resta con números decimales Actividad 7. Estimar y encuadrar a) Anticipá el resultado estimando entre qué números naturales se encuentra: 0,5 + 2,25 + 4,50 = 24,34 + 0,06 + 2,7 = 7,89 0,09 = 89,76 0,03 = 7,89 + 0,1 = 7,89 0,1 = 7,89 + 0,01 = 7,89 0,01 = 7,89 + 0,001 = 7,89 0,001 = b) Resolvé cada uno de los cálculos anteriores y verificá luego los resultados con la calculadora. Tarea Anticipá si el resultado de cada uno de estos cálculos va a estar entre 0 y 0,5; entre 0,5 y 1 o si será mayor que 1: Cálculo Resultado entre 0 y 0,5 entre 0,5 y 1 mayor que ,08 0,8 0,08 + 0,8 1,05 0,5 1,5 0,75 0,39 + 0,3 0,09 + 0,99 agendamatematicas.indd 21 23/12/13 17:23

19 suma y resta con números decimales 22 En la primera parte de la Actividad 8, se vuelve sobre el contexto de los bastidores para utilizar lo aprendido sobre cálculo. Si bien la primera pregunta podría responderse estimando, para determinar qué bastidores podrían hacerse con los recortes, es necesario después de acordar el tipo de corte y la precisión de la medida de lo que queda calcular diferencias, tanto sea por complemento o quitando. Esas diferencias pueden expresarse tanto en m como en cm y es posible usar el valor en cm como apoyo para analizar la cuenta usual para restar expresiones decimales. 150 cm 113 cm = 37 cm _ 1,5 1,13 0,37 Algunas soluciones posibles: Un bastidor: una varilla de 2m y otra de 1,50m; sobra un recorte de 40 cm y uno de 37 cm; otro bastidor: 2 varillas de 1m y una de 2m; sobran 2 recortes de 20 cm y uno de 87 cm. Así se puede hacer uno cuadrado de 50 con las dos varillas de 1 m y uno de 35 con los recortes, o pueden hacer 2 de 50 por 25: las varillas de 50 salen de las de 1m y las de 25 de los recortes. También se pueden hacer 2 bastidores con una varilla de 2m y dos de 1m, sobran 4 recortes de 20 cm, 2 de 87 cm y la varilla de 1,5 m que podrían usarse de distinto modo. Otra posibilidad, es armar 3 bastidores triangulares y un cuadrado de 20 cm. En b) se propone otro contexto de uso de los decimales, la expresión de pesos. Al trabajo ya iniciado con metros y centímetros, se agrega el uso de gramos y kilogramos, cuya relación es del orden de los milésimos. Si bien en otras actividades de la secuencia se apunta a que los niños elaboren argumentos para validar sus producciones en lo referido a las operaciones de suma y resta con expresiones decimales, en la Actividad 9 el foco está puesto en el análisis de afirmaciones y la producción de otras nuevas. Todas las que se incluyen derivan de las relaciones ya trabajadas. Con esta actividad se trata de propiciar la formulación por escrito de criterios que se han producido durante el trabajo con las actividades de la secuencia, pero que quizás no estén claros o presentes para todos. Recordemos que la actividad matemática en la clase debe incluir, necesariamente, la comunicación de las conclusiones que se obtienen y el análisis de su validez, así como la explicitación de aquello que se ha aprendido y su vinculación con otros conocimientos. Para ello, se deben generar las condiciones propicias para que la clase se convierta en una verdadera comunidad de producción matemática. Reconocer si estas afirmaciones se cumplen siempre, a veces o nunca supone volver sobre ideas centrales trabajadas en esta secuencia: reconocer la diferencia entre la parte entera y la decimal; comparar expresiones decimales sin centrarse en la cantidad de cifras sino el valor de posición de esas cifras; tener en cuenta el lugar de la coma para encolumnar números al sumar o al restar. agendamatematicas.indd 22 23/12/13 17:23

20 suma y resta con números decimales Actividad 8. Nuevos bastidores Para el proyecto de telares, otra carpintería donó 2 varillas de 2m, una de 1,50 m y 4 de 1 m. Todas de 2,5 cm de ancho y de espesor. Los chicos pensaron que podían armar bastidores triangulares para los que necesitan 2 varillas de 0,80m y una de 1,13m a) Cuántos pueden hacer? b) Pueden hacer algunos cuadrados con los recortes? De qué medida? c) Pueden usar los recortes para arman bastidores para hacer fajas de 50 cm por 25 cm como este? Fuente: d) Para hacer una bufanda de 1,75 m de largo se necesitan unos 0,170 kg de lana. Laura tiene medio kilo de lana y dice que piensa que le alcanza para 3 bufandas, pero Javier dice que en ese caso una bufanda va a tener que ser un poco más corta. Cuánta lana le queda a Laura para hacer la tercera bufanda? Quedará mucho más corta? Por qué? 23 Tarea Si se suman estas cantidades, se obtiene más o menos que 2 kg? Cuánto más o cuánto menos? a) ¾ kg g + 1,350 kg b) 650g + 1 ½ kg c) 0,5 kg + 0,850 g + ¼ kg Actividad 9. Vale o no vale? a) Explicá si las siguientes afirmaciones valen siempre, a veces o nunca. Para resolver sumas y restas con números decimales: Si se trata de precios, hay que ir resolviendo los centavos con los centavos y los pesos con los pesos. Se puede sumar primero la parte entera de los números y después la parte decimal. Se puede restar si el primer número (minuendo) tiene más cifras que el segundo número (sustraendo). Si los números se ponen en columna para hacer la cuenta hay que ordenarlos de modo que coincida la última cifra. b) Escribí dos afirmaciones correctas acerca de cómo se resuelven las sumas y restas con decimales. Compartilas con tus compañeros. c) Explicá en qué se parecen y en qué se diferencian las palabras: centavo, centímetro y centésimo. agendamatematicas.indd 23 23/12/13 17:23

21 suma y resta con números decimales Finalmente, en la Actividad 10 se propone revisar lo trabajado en las anteriores. Estas consignas contribuyen a jerarquizar los conocimientos aprendidos. Al mismo tiempo, dado que se trata de una autoevaluación permite al alumno tomar conciencia de lo que repasó y registar lo nuevo que aprendió. También le permite responsabilizarse de aquellos aprendizajes que aún no ha logrado. Por ello, se propone la formulación por escrito de estrategias de cálculo y aspectos que considera que debe seguir trabajando para dominar las operaciones de suma y resta con expresiones decimales. 24 La Actividad 0/11 tiene la función de orientar el proceso de evaluación y, por lo tanto, su objetivo debe ser explicitado a los alumnos para que progresivamente vayan tomando mayor conciencia acerca de su propio proceso de aprendizaje. Dado que, como Actividad 0, los alumnos se enfrentan a una situación nueva es razonable esperar que no la puedan resolver en su totalidad, que cometan errores o que simplemente registren no sé, no me acuerdo o no me lo enseñaron. Reconocer, frente a una situación nueva, qué es lo que se puede hacer y qué no, es el primer paso para afrontar nuevos aprendizajes. El problema 1 puede ser resuelto inicialmente apoyándose en las equivalencias de dinero y, después de realizar la secuencia, cabría esperar que los alumnos operen directamente con los decimales. Al comparar las producciones del ítem 2 interesará detectar si se usan, o no, los mismos procedimientos. Los ítems 3 y 4 son los más desafiantes para los alumnos ya que trascienden la resolución para exigir la comunicación de procedimientos y argumentos. Es entonces posible que en un primer momento queden sin hacer, que se registren expresiones confusas o incompletas. Al finalizar la secuencia, se espera que los que no anotaron nada puedan hacerlo y los que registraron alguna explicación la hayan mejorado. agendamatematicas.indd 24 23/12/13 17:23

22 suma y resta con números decimales Actividad 10. Mirar lo que aprendimos a) Qué actividades te resultaron más fáciles? b) Cuáles te costaron más? Por qué pensás que te resultaron más difíciles? c) Cómo hacés para darte cuenta rápidamente cuánto le falta o sobra a un número con coma para llegar al entero más cercano? d) Si un amigo te pregunta cómo se resuelve una suma (o una resta) entre números con coma, qué le dirías? e) Tendrías que repasar algo más para poder resolver cuentas de suma y resta con números decimales? Actividad 0/11. Qué sabemos? 1. En la librería a) Con un billete de $ 5 pagué en la librería $ 3,25. Cuánto me dieron de vuelto? b) Paulina averiguó que el pincel que necesita comprar cuesta $ 2,50 y su amiga dice: Yo lo compré en otra librería a dos pesos con quince centavos. Quién lo pagó más barato? Cuánto más barato es en una librería que en la otra? Para resolver: a) Calcular 2,50 + 4,25 + 1,75 = 2,50 + 8, = 5 2,05= b) Estimar sin hacer la cuenta, indicando entre qué números naturales está el resultado 3,25 + 3,75 + 7,50 = 4,50 + 1,50 + 5,25 = 8,50 2,75= 3. Para explicar: Al resolver 3,5 + 1,65 + 2, tres amigos llegan a distintos resultados. Marta: 3,5 Norita: 3,50 Paco: 3,50 1,65 1,65 1, ,70 5,17 7,15 Analiza los procedimientos y explicá los errores cometidos. 4. Para registrar lo que aprendiste Escribí cómo le explicarías a un amigo qué diferencia hay entre sumar dos números con coma y sumar dos números sin coma. agendamatematicas.indd 25 23/12/13 17:23

23 cuaderno docente agendamatematicas.indd 26 23/12/13 17:23

24 Secuencia para 5 grado - Multiplicación con números decimales Propósito y comentarios sobre las actividades Para avanzar en la construcción de las operaciones con números decimales, en esta secuencia se propone que, a partir de la resolución de problemas, se desarrollen estrategias de cálculo mental para llegar, más adelante, a la reflexión sobre algunas de las propiedades de las operaciones, tomando la multiplicación como objeto de estudio. Puesto que se considera una enseñanza que prioriza el aprendizaje con la construcción del sentido de los conocimientos, para las operaciones con expresiones decimales, se proponen unos primeros problemas en el contexto del dinero avanzando con un juego que habilita la recuperación de algunas estrategias de cálculo mental.luego, se podrá reflexionar sobre ciertas técnicas que permitan hacer evolucionar los procedimientos utilizados en primer término. En la secuencia, se alternan actividades en las que se hace uso de distintos recursos de cálculo con otras en las que esos procedimientos son analizados para explicar por qué funcionan, en qué casos conviene usarlos y en cuáles no, cómo se puede estimar si el resultado es razonable. Lo que interesa es abrir una variedad de procedimientos de cálculo sobre los que los alumnos tengan control. Se destaca que en relación con las formas de calcular es importante considerar como inicio del trabajo el uso de diferentes procedimientos en función de los conocimientos disponibles de los alumnos sobre los números involucrados y sobre las operaciones, antes de analizar y utilizar procedimientos más económicos. Esto se traduce en un trabajo reflexivo donde ciertas estrategias y resultados para sumar y restar que venían construyendo desde el año anterior, se relacionan con la multiplicación y algunas divisiones de racionales por un número natural. Cuando se pone el acento sobre la enseñanza de los algoritmos, muy rápidamente los aprendizajes de los alumnos quedan reducidos a la memorización de un conjunto de reglas para cada una de las operaciones y se empobrece la comprensión de las mismas. Como ya se ha planteado, las tareas pueden ser realizadas en la clase por todos o por algunos alumnos o quedar para hacer en casa y, en ese caso, es necesario recuperarlas en el inicio de la clase siguiente. Cuando se necesite agregar actividades complementarias para atender a los conocimientos disponibles en la clase de modo que todos tengan trabajo, se debe tener en cuenta que variar el tipo de representación o de tarea permite enriquecer la propuesta sin apartarse del foco de trabajo. Si se propone el mismo tipo de tarea con problemas nuevos o con números más grandes que la clase asume como más difíciles se refuerza aquello que el alumno ya sabe hacer y, tácitamente, se sostiene una cierta superioridad de ese alumno sobre los demás. Al que calcula sin dificultad se le puede solicitar que analice un procedimiento distinto hecho por otro, que determine si una afirmación es válida o no, que elabore una pregunta que pueda responderse con un determinado cálculo, explorar cómo varía el resultado si se modifican los números, etc. Se trata de plantear un nuevo desafío, en este caso fortaleciendo competencias ligadas a la comunicación y la argumentación, y no de ejercitar algo conocido. A la vez, cuando se hace una puesta en común, resulta interesante, y útil para el conjunto de la clase, contar con aportes distintos sobre un mismo problema inicial y dejar abiertas nuevas preguntas para todos. La propuesta de seguimiento, Actividad 0/11, se ha pensado en relación con la utilización y explicitación de los procedimientos de cálculo para multiplicar expresiones decimales. En este sentido, es útil proponeresta actividad antes de iniciar la secuencia, y al finalizarla; para ello, se deben modificar los contextos y cantidades sin variar el tipo de tarea ni el saber necesario para responder a las preguntas, para que no se trate exactamente de las mismas situaciones y puedan ser fácilmente comparadas. 27 agendamatematicas.indd 27 23/12/13 17:23

25 multiplicación con números decimales En la Actividad 1 se espera que los alumnos planteen el uso de la multiplicación para resolver problemas con los que ya están familiarizados en el campo de los números naturales, en los que se relacionan cantidades proporcionalmente. Sin embargo, para resolverlos es posible que se apoyen en algunas estrategias de cálculo de suma y resta con decimales. Para multiplicar por 8 se pueden apoyar en el doble, del doble, del doble o multiplicar la parte entera, la parte decimal por separado y luego sumar ambos resultados; para el precio de 10 y 100 fotocopias pueden apoyarse en las equivalencias del dinero (10 de $ 0,15 es 1,50 y 10 de $ 1,50 es $15). En el punto c) se presenta un procedimiento que combina el uso de dobles y la décima parte con el conocimiento del dinero. En la tarea, el formato de tablas permite reconocer relaciones que facilitan la resolución de los cálculos presentados. Tanto en esta actividad, como en todas las que involucran precios, se puede hacer un primer estudio con los datos presentados, y luego comparar con los valores vigentes, o actualizar los precios y corregir los valores antes de presentar la actividad a los alumnos. 1+2 = 3 28 Cantidad Precio 0,15 0,30 0,45 El doble de 0,30 o La suma de 0,15 y 0,45 0,15 + 0,30 = 0,45 0,15 x 3 agendamatematicas.indd 28 23/12/13 17:23

26 multiplicación con números decimales Ya usaste algunos números con coma para resolver problemas y podés sumar y restarlos. Cómo se resuelven multiplicaciones cuando uno de los números es un decimal y el otro es un número natural? Actividad 1: Librería Buenacompra a) Para comprar un diccionario de sinónimos, en la Librería Buenacompra, se ofrece un precio contado de $ 325 Mariela no cuenta con ese dinero y la vendedora le propone abonar un anticipo de $ 45 y 8 cuotas de $ 40,15. Cuánto ahorra si paga al contado? b) Ramiro fue a la misma librería y en el sector de fotocopiado sacó 20 fotocopias que costaban $ 0,15 cada una. Había un cartel que indicaba una oferta: 100 fotocopias $ 12 Cuánto podría ahorrar Ramiro con la oferta si otro día saca 100 fotocopias? c) Gisela compró 5 lápices y pagó en total $ 7,5. Para averiguar el valor de cada lápiz se le ocurrió pensar que 10 tendrían que costar $15 y, entonces, piensa que cada lápiz cuesta $1,5. Es correcto lo que pensó Gisela? Por qué? Tarea Completá la tabla con el valor correspondiente a las distintas cantidades de fotocopias, en este caso se sabe que no se hacen descuentos. 29 Cantidad Precio 0,15 Cantidad Precio 0,15 agendamatematicas.indd 29 23/12/13 17:23

27 multiplicación con números decimales 30 Sobre la base de un juego de cartas con reglas conocidas el de La Guerra con cartas españolas o francesas la Actividad 2 propone trabajar sobre productos entre decimales y naturales, para habilitar la construcción de un repertorio de productos. Dado que no hay cantidades involucradas los chicos pueden apoyarse en el sentido de la multiplicación como veces y recurrir a la suma, usar dobles, pensar en centésimos, multiplicar por separado la parte entera y la decimal y luego sumar los resultados y usar la multiplicación. La puesta en común, posterior al juego, es sumamente importante para habilitar la socialización de los criterios con los cuales los alumnos respondieron a las consignas acerca de los cálculos que se pueden resolver mentalmente de aquellos para los que usaron lápiz y papel, como también los criterios que permiten considerar cuáles son los productos fáciles. En ese intercambio, algunos niños podrán reconsiderar su apreciación sobre lo que hasta el momento consideraban como productos difíciles. Por ejemplo, para hacer 2,75 x 6, es posible duplicar 2,75 (5,50) y luego triplicar la parte entera (5 x 3 = 15) y la decimal (0,50 x 3 = 1,50) para luego sumar (15 + 1,50). Esta tarea puede concluir con la formulación por escrito de los acuerdos a los que llegue el colectivo del grupo. Al considerar la tarea, es posible discutir que en algunos casos es posible completar con distintas opciones para que haya guerra, mientras que en otros hay solo una. Esto se retoma en la siguiente actividad. Cuando se propone un juego en la clase, tal como se planteó para 4to grado, se puede determinar que los puntos de cada pareja/jugador se vayan acumulando para un equipo. Por ejemplo, antes de comenzar cada pareja tira el dado y si sale par sus puntos van para el equipo azul y si sale impar para el verde. De este modo, y si bien en cada grupo hay un ganador, las cartas (puntos) de la pareja que pierde pueden contribuir a que gane el equipo/color para el que está aportando sus puntos ese día, equilibrando un poco la competencia que muchas veces surge en este tipo de juegos. agendamatematicas.indd 30 23/12/13 17:23

28 multiplicación con números decimales Actividad 2. El Juego de la Guerra con Cartas y un dado Para jugar, júntense en grupos de cuatro compañeros reunidos de a 2 por equipo. Van a necesitar un mazo de 48 cartas con decimales como estas, cuatro de cada una, y un dado cuyo uno vale 10. En cada ronda, se reparte una carta para cada equipo y, por turno, se tira el dado para obtener el producto entre la carta y el valor obtenido en el dado. El equipo que obtiene el mayor resultado, se queda con las cartas. Si ambos equipos obtienen el mismo resultado, se juega una guerra : se coloca una nueva carta sobre la anterior y cada uno vuelve a tirar el dado, repitiendo el procedimiento anterior. Gana el equipo que saca el producto mayor. Cuando se terminan las cartas del mazo, se cuentan las obtenidas durante las rondas por cada equipo y gana el que reunió más cantidad. Después de jugar registrá: a) Dos cálculos que pudiste resolver mentalmente b) Dos cálculos para los que usaste lápiz y papel. c) Cuáles fueron los productos más fáciles para resolver durante el juego? Por qué? 31 Tarea a) Completá de modo que haya guerra: 0,50 x. = 0,25 x 1,25 x. = 0,25 x.. 1,50 x. = 2,25 x. b) Completá de modo que se cumpla la relación: 1,25 x 10 >.. 0,25 x 10 <. 1,50 x 10 >. agendamatematicas.indd 31 23/12/13 17:23

29 multiplicación con números decimales En la Actividad 3, después del juego, se busca que los alumnos independicen las estrategias de cálculo elaboradas en la situación del juego. Para esto, se proponen consignas que simulan jugadas, y otras donde se proponen diferentes estrategias para llegar al resultado que podrían no haber surgido en el juego. Si bien evocar el uso de monedas permite generar argumentos para controlar los resultados, también se propone la referencia al valor posicional. Analizar en profundidad cada procedimiento dará lugar tanto a disponer de estrategias alternativas, como a cargar de sentido el procedimiento usual para multiplicar decimales. En relación con la tarea, algunos niños podrán resolver cálculo por cálculo, en tanto que otros podrán establecer relaciones entre los cálculos de cada columna y también entre columnas. Por ejemplo, al multiplicar 1,75 x 2 se trata de sumarle 2 al resultado de 0,75 x 2 porque lo que le agregué a 0,75 es 1 o bien para completar la columna de las multiplicaciones por 40 es posible multiplicar por 4 los resultados de la 2a columna o duplicar y multiplicar por 10 los resultados de la 1º. Estas relaciones pueden facilitar el cálculo y también pueden constituirse en una herramienta para controlar los resultados. 32 agendamatematicas.indd 32 23/12/13 17:23

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