Área: Matemática ÁLGEBRA


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1 Área: Matemática ÁLGEBRA Prof. HENRY AYTE MORALES FICHA DE TRABAJO RECUPERACIÓN 1ro SEC A, B y C I. TEORÍA DE EXPONENTES 1. DEFINICIÓN Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones algebraicas de un sólo término cuando entre estas expresiones se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación EXPONENTE: Es el número pequeño que se coloca en la parte superior derecha de la base e indica las veces que se debe multiplicar dicha base por si misma. 1.. BASE Es el número que se repite como factor. 1.. POTENCIA Es el resultado obtenido al tomar la base como factor. Ejm. exponente = x x = 8 base potencia En general: a n = a x a x a x a x a x...x a n-veces (a m ) n = a m.n m n R F). Exponente negativo: a 0 b 0 n 1 Nota: a m a G). Exponente cero (a0): a 0 = 1 Nota: 0 0 es indeterminado H). Raíz de una potencia: m, n R / n 0 I). Raíz de una raíz: Observación:. LEYES DE EXPONENTES son: A). Multiplicación de bases iguales: A = 5 07 Se comienza a desarrollar los dos primeros de arriba a m.a n = a m+n m n R B). Multiplicación de bases diferentes con igual exponente: a m.b m = (a.b) m C). División de bases iguales: m R a 0 m R D). División de bases diferentes con igual exponente: E). Potencia de potencia: = = a m-n b 0 m R PROPLEMAS PROPUESTOS NIVEL I I).- Subraya la alternativa correcta. 1).- Halla el exponente de x. x x a) 8 b) 4 c) 1 d) 16 e) x x ).- Reduce: x 5 a) x b) x c) 1 d) 0 e) N.A ).- Simplifica : 4 x x x 4 x 5 5

2 a) x 6 b) x c) x 8 d) x e) N.A. 4).- Halla : E a) ½ b) ¼ c) 4 d) e) -4 5).- Evalúa : a) 0 b) c) 16 d) 14 e) ).- Reduce : 16 a) 1 b) c) d) 1 e) 0 7).- Simplifica : a) 1 b) c) d) 4 e) 0 8).- Resuelve : ).- Simplifica : 1/ (x ) a) x b) x 8 c) x 4 d) x e) x 18).- Simplifica : 1/ 4 m a) m / b) m c) m 4 d) m e) N.A. NVEL I: CLAVES DE RESPUESTAS: 1)d )a )c 4)b 5)b 6)b 7)d 8)a 9) c 10)c 11)c 1)b 1)d 14)b 15)c 16)b 17)c 18)b a) - b) 4 c) 8 d) e) N.A. 9).- Resuelve : 0 4 a) 4 b) 16 c) 64 d) e) 1 10).- Reduce: a) 7 b) c) 4 d) 16 e) 64 11).- Efectúa: a) b) 9 c) 7 d) 81 e) , 5 1).- Reduce : x a) x b) x c) x 4 d) x 5 e) x 705 1).- Efectúa : a) b) 9 c) 7 d) 81 e) N.A. 14).- Efectúa: a) 8 b) 16 c) 4 d) 15 e) 18 15).- Reduce : a) 1 b) c) d) 4 e) 0 16).- Reduce : 4 x x 4 x x 4 x...( 1v eces) x...( 61v eces) III. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas, relacionadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. xyz x 4 y -5 x 4 + x + Variable.- Es un símbolo que puede ser sustituido por un elemento cualquiera de un conjunto de números. Ejemplos : x y z etc Constante.- Es un símbolo numérico. Ejemplos : 5 9 7, etc NOTA.- Las expresiones que no cumplen con la definición anterior, reciben el nombre de EXPRESIONES TRASCENDENTES (no algebraicas). a) 1 + x + x + x + x b) x + x + 4 x 1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS De acuerdo a la forma de sus variables pueden ser: A). EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Cuando las variables no están afectadas por el signo radical ni al exponente fraccionario. A su vez pueden ser: RACIONALES ENTERAS.- Cuando los exponentes de las variables son números enteros positivos, no hay variables en el denominador. Ejemplos: x yz a + 5b c 4 x 5 + y 7 1z 9 RACIONALES FRACCIONARIAS.- Cuando por lo menos hay una variable en el denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente entero negativo. a) x b) 4 x c) x d) x 61 e) N.A.

3 xyz - xyz TÉRMINO ALGEBRAICO Es una combinación de constante y variables relacionadas por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en sus bases y en cantidades limitadas. x 5 abc 4 x a+ y a+ a N.1. ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO coeficiente - x y.. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen la misma PARTE LITERAL. 1 x yz x yz -x yz Tienen en común : x y z Observación: Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal. Reduce: E = 4x y 6xy 8x y + xy 5 E = 4x y 5xy 7. POLINOMIO: Es una expresión algebraica finita de la forma: a 0 + a 1x + a x + a x a nx n Donde: a 0 a 1 a a.. a n son números reales y se llaman coeficientes. x n es la variable n N..1. NOTACIÓN Se denota con letras mayúsculas y las variables con letras minúsculas. Ejemplo. P(x) Se lee P de x (x variable) P(x, y) Se lee P de x, y (x, y variable).. CLASES POLINOMIO CERO.- Todos su coeficientes con cero 0. MONOMIO.- Tiene un término algebraico. x 5x 7/ x y 5 etc BINOMIO.- Tiene dos términos algebraicos unidos por suma o diferencia. x + 5 x + y 5/ x + 7x 9 etc TRINOMIO.- Tiene tres términos algebraicos. x +5x+6 x 6x+9 x xy+y etc 4. GRADO Es una característica de las expresiones algebraicas relacionada con los exponentes: Grado Absoluto (G.A.).- Se refiere a todas las variables. Grado Relativo (G.R.).- Se refiere a una de las variables. exponente parte literal (variable) 4.1. GRADO DE UN MONOMIO * G.R = es el exponente de la variable. * G.A = es la suma de los exponentes de las variables. P(x y) = x 9 y 5 GR(x) = 9 GR(y) = 5 GA(P) = = GRADO DE UN POLINOMIO G.R. = El mayor exponente de cada variable. G.A. = Es el mayor grado de sus términos. P(x, y) = 5x 9 y + / x 7 y 15-8x 8 y 1 GR(x) =9 GR(y) = 15 GA(P) = = 5. VALOR NUMÉRICO Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables, de una expresión algebraica, por valores determinados. Halla el V.N de x y Para x = y = Solución: () () = 6 6. OPERACIONES ADICIÓN.- Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. SUSTRACCIÓN.- Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. NIVEL I PROBLEMAS PROPUESTOS I).- Subraya la alternativa correcta. 1).- Cuál es el valor de a si se sabe que los términos a 1 6 7x 5 x son semejantes? a) 8 b) 9 c) 5 d) 6 e) 7 ).-Calcula : m + 1, sabiendo que 0,y m y son términos semejantes: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 8 ).-Calcula el valor de t+10 si los siguientes términos son semejantes. 0,45a t a a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 0 4).-Halla m si el siguiente monomio es de grado: M(x) = -7 m 7x a) 5 b) 4 c) d) e) 5 5).- Calcula el grado del siguiente término: M(x, y) = 5 7x ywt

4 a) 1 b) c) d) 4 e) No tiene 6).- Halla el valor de m, si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a y y de sexto grado respecto a x. t t 7 M(x, y) = x m 5 y a) 1 b) 4 c) d) e) 8 7).- Calcula el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de octavo grado. 16).- Calcula la suma de coeficientes del polinomio: W(x) = 4x 5x + x 1 a) 7 b) 1 c) d) e) 4 17).- Halla la suma de coeficientes de : H(x) = 4x + 8x + 9 a) 8 b) 15 c) 1 d) 1 e) 17 M(x, y) = 15a x a+1. y a) 75 b) 175 c) 15 d) 5 e) 55 8).- Halla t en el siguiente monomio si se conoce que es de séptimo grado respecto a x y que su G.A. es 1: M(x, y) = x t+c y 8-c a) 1 b) c) d) 4 e) 5 9).- Calcula a+b en el siguiente monomio, si además se sabe que GR x = 15 GR y =10. M(x, y) = -/5 x a+b. y b+8 a) 15 b) 11 c) 9 d) 7 e) 5 10).- Calcula la suma de coeficientes del polinomio: W(x) = 8x 4x + 8x 6 a) 17 b) 11 c) 1 d) 10 e) 14 11).- Calcula el valor de a, si se sabe que t 1 y t son términos semejantes. t 1 = a 6 11x 9 t = 0.x a) 19 b) 11 c) 1 d) 15 e) 18 1).-Calcula el valor de m, si se sabe que el monomio 4 M(x, y, z) = 7 x m y z es de noveno grado. III. POLINOMIOS(continuación) 1. PRODUCTOS NOTABLES 1.1. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES a) Binomio al Cuadrado (a b) = a ab+b Nota: (a-b) = (b-a) Corolario : "Identidades de Legendre" (a+b) + (a-b) = (a +b ) (a+b) - (a-b) = 4ab b) Diferencia de Cuadrados (a+b)(a-b) = a -b CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I 1) b ) c ) b 4) a 5) c 6) b 7) a 8) d 9) a 10)d 11) d 1) c 1) e 14) b 15) b 16) b 17) d c) Trinomio al Cuadrado a) 1 b) c) d) 4 e) 5 (a+b+c) = a +b +c +ab+bc+ca 1).-Si el polinomio es de octavo grado, calcula el valor de m. P(x) = 7x m5 m x 0,x m6 a) 1 b) c) 1 d) 4 e) 14).-Halla a si GR(x) = 6 en: P(x) = 0,5x a x a+1 y 9 a) 6 b) 5 c) 4 d) e) 15).- Halla la suma de coeficientes de : H(x) = x + 5x + 7 a) 8 b) 15 c) 1 d) 1 e) 17 d) Binomio al Cubo (a+b) = a +a b+ab +b = a +b + ab(a+b) (a-b) = a -a b + ab - b = a -b -ab(a-b) e) Suma y Diferencia de Cubos (a+b)(a -ab+b ) = a +b (a-b)(a +ab+b ) = a -b f) Trinomio al Cubo (a+b+c) = a +b +c +a (b+c)+b (c+a)+c (a+b)+6abc También: (a + b + c) = a +b +c + (a + b)(b + c)(c + a)

5 (a+b+c) = (a+b+c) (a +b +c ) - (a +b +c )+ 6abc (a+b+c) = a +b +c + (a+b+c) (ab+bc + ca) - abc. (a )(a - 4) : II. Desarrolla los siguientes Productos Notables : g) Producto de Binomios con un Término Común 1) ( 7 -) ( 7 +) =... (x+a)(x+b) = x +(a+b)x+ab (Identidad de Stevin) ) ( 10 7 )( 10 7 ) =... (x+a)(x+b)(x+c)= x + (a+b+c)x +(ab+bc+ca)x + abc PROBLEMAS PROPUESTOS I. Resuelve los siguientes productos notables : a) BINOMIO AL CUADRADO: 1. (a + 7) :.... (m + 5) :.... (x+) : (m -9) : (x - 6) :... ) (7x+)(7x-) =... 4) ( 5 )( 5 ) =... 5) (y + 4) =... 6) (x + 1) =... 7) (y - ) =... b) IDENTIDADES DE LEGENDRE: 6. (x + 4) + (x -4) : (a + 5) + (a - 5) : (a +1) (a -1) :... c) DIFERENCIA DE CUADRADOS: 9. (y + 6) (y 6) : (a + 1) (a 1) : (m 4)(m + 4) : (x + ) (x ) : (x 5)(x + 5) : d) BINOMIO AL CUBO: 14. (x + 5) : (x ) : (y ) : (m + ) :... d) BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN 18. (x + 6)(x+5) : (x-)(x+7) : (m + 5)(m-8) : (x + )(x + 5) :. 8) (4m + 6) =... 9) (x + 5 ) (x + 7) =... 10) (x ) (x + 4) =... II. Subraya la alternativa correcta : 1) Simplifica : ( ( )( ) 5( 6 )( 6 ) a) 5 b) 1 c) -17 d) 0 e) -1 ) Calcula la diferencia entre : ( 1)( 1) ( 1)( 1) y ( 1)( 1) ( 1)( 1) a) 1 b) c) -5 d) 6 e) -7 ) Efectúa : (t + )(t - t + 4) - (t - ) (t + t + 4) a) 8 b) 10 c) 16 d) 0 e) 4 4) Efectúa : (x + 1) + (x 1) x

6 a) 5 b) 6X c) X d) 4X e) N.A. 5) Efectúa : (x-1)(x+1)(4x +1)(16x 4 +1)+1-56 x 8 a) 5 b) c) 1 d) 0 e) -1 6) Si : a + b = 5 ab = Calcula : a + b a) 1 b) 17 c) 5 17 d) 17 e) 5 7) Sabiendo que : x + y = 8 xy = 4 Halla el valor de : P = x + y a) b) c) 5 d) 4 e) 56 8) Halla el equivalente de : A = (a-1)(a+1)(a +1)(a 4 +1)+1 a) 1 b) a c) a 8 d) a 4 e) -1 9) Efectúa : (x + 1)(x + ) - (x + ) + (x - ) - (x - 4)(x - 5) a) 14 b) 16 c) 18 d) 0 e) - IV. FACTORIZACIÓN. 1. FACTOR PRIMO : Es aquel factor no constante que tiene como único divisor a otra expresión idéntica a ella. Ejemplos :. MÉTODOS : x + 1 factor lineal x + 1 factor cuadrático.1 Factor común y/o agrupación de términos.. Factorización por identidades. a) Trinomio cuadrado perfecto : A AB + B = (A B) b) Diferencia de cuadrados : A B =(A + B) (A - B) c) Suma o diferencia de cubos : A B =(A B)(A + AB + B ). Método del aspa simple : Ax m + Bx m y n + Cy n a) Aspa doble : Ax +Bxy+Cy + Dx + Ey + F 10) Reduce : (x + ) - (x + ) + (x + 4) - (x + 5) a) 4 b) c) d) 1 e) 0 11) Efectúa : (5x + 4)(4x + 5) 0 (x + 1) a) x b) x c) 0 d) x e) x b) Aspa doble especial : Ax 4 + Bx + Cx + Dx + E PROBLEMAS PROPUESTOS: I. Factoriza : ( Pts. c/u) FACTOR COMÚN : 1) ax bx =.. ) my mz = CLAVES DE RESPUESTAS 1) c ) a ) c 4) b 5) d 6) a 7) e 8) c 9) c 10)a 11)d ) x a + x b =... 4) a k a y =... 5) x y -zy =... 6) ab 4ab 4 6a 4 b 4 =..

7 7) 5a 4 b 4 + 5a 8 b - 0a 9 b 4 =... 6) 1 + x 10x =... 8) (x y) a + (x-y) b =... 7) c 6c 7 =... 9) (a + b) x 4 + (b +a) y =... 8) x + x =. 10) (x+y+z+w) a 5 (x+y+z+w) (b+c)... AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: 11) m n + m + n+1 = 9) 14x + 9x 15 =. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO : 0) x + 10x + 5 =... 1) ax + bx cx + ay + by cy =. 1) x 1x + 6 =... 1) bm + bn + am + an =. ) 4x 4x + 1 =... 14) x m + x t + y m + y t =... ) 49a 8a + 4 =... 15) ax ay cx + cy + bx by =. 4) 48m + 64m =... DIFERENCIA DE CUADRADOS : 5) 4x 6 + 9y 4 1x y =... 16) 1 x =... 17) 16 y =... 18) 5x 9y =... 19) (m-1) n =... 0) (a - 1) 5 =... 1) 9 4a b 4 c 6 =... ) 1 (xyzw) =... ) (a+b-c) 100 =... POR ASPA SIMPLE : 4) x + 9x + 8 =... 5) m 8m + 1 =... 6) a 4 4a 1 =... VII. ECUACIONES Es toda igualdad que se verifica solo para determinados valores de sus letras llamadas INCÓGNITAS. 1. COMPONENTES En toda ecuación se considera: a) Primer miembro. Todo lo escrito a la izquierda de la igualdad. b) Segundo miembro. Todo lo escrito a la derecha de la igualdad. c) Variable o incógnita. Símbolo que representa a un número desconocido. FORMAS Las ecuaciones pueden ser de las formas: a) ax + b = c Ejm: b) ax - b = c Ejm: X + 1 = 48 X 5 = 7. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES a) Resolver una ecuación. Es hallar el conjunto solución de la ecuación.

8 b) Raíz de una ecuación.- Es el valor que toma la variable o incógnita para transformar la ecuación en una igualdad verdadera de números. c) Conjunto Solución.- Es el conjunto que tiene como único elemento a la raíz de la ecuación. 4. DISCUSIÓN DE LA RAÍZ a) Si : a0 b0 la ecuación es determinada y el valor de x es único (x = -b/a) b) Si : a0 b=0 la ecuación es determinada y la raíz es nula (x = 0). c) Si : a=0 b0 la ecuación es absurda o incompleta (x=). d) Si : a=0 b=0 la ecuación es indeterminada y el valor de x es indeterminado (x= 00 ) PROBLEMAS PROPUESTOS 1) 1/4x + 1 = /5x- a) 5 b) 11 c) 0 d) 10 e),7 ) 10(1+4x)=14 + 4x a) ¼ b) 11 c) 0 d) 10 e),7 ) 4(a + 5) 70 =-a a) 5 b) 11 c) 0 d) 10 e) -,-7 x 4) 4(x + 5) = a) 5 b) 11 c) 0 d) 10 e),7 5) 8 n 6 5n 6 a) 5 b) 11 c) 0 d) 10 e), 7 6) 6x 4x 4 + x = -x 5 + x a) ¼ b) 4 c) ¼ d) 4 e) N.D 7) 1 (-x + 6) = 5 (4x + 5) a) 1 b) 1 c) d) 5 e) x x 4 10) 1 6 a) 1 b) c) 5 d) 4 e) 5 x 5 x 11) 5 a) 10 b) 15 c) 0 d) 5 e) N.A. 1) 7-5x x 7 8 a) 1 b) c) d) 4 e) 5 x ) x 6 4 a) ½ b) c) ¼ d) 1 e) N.A. x (x 4) x 14) 1 4 a) 1 b) c) d) 4 e) 5 15) 7x 10 + x = 5 + 6x a) 1 b) c) d) 4 e) 5 16) (x + ) = 9(x 1) a) 1 b) c) d) 4 e) 5 17) 1 + (10 - x) = 4 + (15x-6) a) 1 b) c) x 1 5x 18) x ) 0) a) 1 b)-7 c) 8 x 5x x a) 1 b) - c) 4x 1 x a) 10 b)11 c) 1 8) 4 4(x+) = (10x-6) a) 1 b) c) d) 5 e) N.D 9) 5(x + 1) = 4x + (x - 1) 1) a a 7 5 a a a) 1 b) c) d) 0 e) N.A a) 10 b) 15 c) 1 d) 45 e) N.A. ( x 4) x ) x- - = 0 15

9 a) 1/7 b) -/7 c) 1 d) /7 e) N.A. CLAVES DE RESPUESTAS 1) c ) a ) a 4) e 5) d 6) a 7) b 8) a 9) c 10)b 11)b 1)c 1)a 14)d 15)e 16)e 17)b 18)c 19)a 0)c 1)b )d VIII. SISTEMA DE ECUACIONES 1. DEFINICIÓN Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas. a 1x + b 1y = c 1 a x + b y = c Es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. La solución de un sistema es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.. MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.1 METODO DE REDUCCIÓN.- Cuando se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos, resuman las ecuaciones en caso contrario, se restan. Consideremos el sistema : (1) x y = 4 () x + y = - Para eliminar y, se multiplica la Ec. (1) por y se suma con la Ec.(), obteniendo : x (1) : 4x y = 8 () :... x + y = - Suma: 5x = 5 o sea x = 1 Sustituyendo x = 1 en la ec. (1), se obtiene : y = 4, o sea y = -. Por tanto, la solución del sistema es : x = 1 y = -. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.- Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. Ejemplo : Según el ejemplo anterior : (1) : x y = 4 () : x + y = - Despejamos y en la ec. (1) y la reemplazamos en la ec. (). x y = 4 y = x 4...() En () x + (x 4=) = - x +4x 8 = - 5x = 5 x = 1 Luego en () y = x - 4 y = (1) - 4 y = -. MÉTODO DE IGUALACIÓN.- Se despeja la misma incógnita de cada ecuación para luego igualarla. Sea el sistema (1) : x y = 4 () : x + y = - De (1) despejamos x : y 4 x =...() De () despejamos x : x = y...() Luego : () = () Resolviendo : y 4 = - y y + 4 = -6 4y 5y = -10 y = - Reemplazando: x = 1 PROBLEMAS PROPUESTOS - Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones : 1) x + 6y = 7 7x y = 9 a) { 4} b) {4 } c) { 0} d) {4 0} e) N.A. ) x + 5y = 7 x y = -4 a) {1 } b) { 1} c) {-1 } d) {1 } e) N.A. ) 7x 4y = 5 9x + 8y = 1 a) {1 } b) {1 ½ } c) { 1} d) { ½ 1} e) N.A.

10 a) 1 1 b) c) 1 d) 1-1 e) 1 4) 9x + 16y = 7 4y x = 0 a) { 4} b) {1/4 1/} c) {1/ ¼} d) {1 } e) N.A. 5) x + y = 6 5x - y =1 a) { 1} b) {1 } c) {-1 } d) { -1} e) N.A 6) 5x + 7y = -1 -x + 4y = -4 a) {4 -} b) {-4 } c) {- 9} d) {1 1/} e) N.A 7) 4x + y = 8 8x - 9y = -77 a) c) e) N.A. 0 8) x - 5y = 8-7x + 8y = 5 b) d) 1 0 a) {1/ } b) { } c) {-7 -} d) {7 1} e) N.A. 9) 6x - 5y = -9 4x + y = 1 a) b) 1 c) 1 d) 1 e) 10) 7x - 15y = 1 -x - 6y = 8 a) -1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1-11) x - 4y = 41 11x + 6y = 47 a) 5 7 b) 7-5 c) 7-5 d) 1-5 e) 4 1) 9x + 11y = -14 6x - 5y = -4 a) 4 b) 1 c) 4 d) 5 e) - 1) 10x - y = 6 x + 5y = -4 a) - b) - c) 1 d) 1 5 e) N.A. 14) 11x - 9y = 1x - 15y = ) x + y = 14 x y = a) {4 } b) {5 6} c) {8 6} d) {8 } e) N.A. 16) x + y = 0 x + y = 0 a) {50 40} b) {40 10} c) {40 50} d) {4 5} e) N.A. 17) x + y = 11 x + 4y = 4 a) {5 6} b) {7 1} c) {6 5} d) { 6} e) N.A. 18) x y = 10 x + 10 = y 0 a) {5 4} b) {50 40} c) {40 10} d) {6 } e) N.A. 19) 8x 4 = y - 9x + 9 = y + a) {7 5} b) {6 10} c) { 7} d) {7 5} e) N.A. 0) x + y = 7 x y = a) 5 5 d) 1) y 6 x 5 y 1 x 1 b) c) e) N.A. a) {5 4} b) {1 4} c) {5 6} d) { 8} e) {4 } CLAVES DE RESPUESTAS 1) a ) c ) b 4) c 5) a 6) a 7) b 8) c 9) b 10)a 11)b 1)c 1)a 14)a 15)c 16)c 17)a 18)b 19)a 0)a 1)a

11 IX. ECUACIONES CUADRÁTICAS Es toda ecuación la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es. En general : 5.- x x 11x 4 0 a) 1 b) 1 c) 5 d) 6 e) 61 6).- 16x 6 0 a) 10 b) 1 c) 5 d) 4 e) 61 a, b, c R a 0 7).- 9x 1x ECUACIONES INCOMPLETAS Si : b = 0 Si : c = 0. RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Son los valores de la incógnita que satisface la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones.. MÉTODO DE SOLUCIÓN.1. Por factorización... Por fórmula general. a) 10 b) 14 c) 15 d) 4 e) 0 8).- 9).- x x 7x 0 a) 5 b) 0 c) 5 d) 4 e) 40 15x 56 0 a) 10 b) 49 c) 1 d) 5 e) 0 10).- x 11 10x a) 16 b) 56 c) 1 d) 85 e) 441 II.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas : 11).- x = 48 a) b) c) 4 d) 16 e) 5 1).- 5x 9 = 46 a) 11 b) 11 c) 5 d) 6 e) 1 1).- (x + 5) (x 5) = -7 PROBLEMAS PROPUESTOS I.- Halla el discriminante en cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas 1).- x x x 0 a) 1 b) 9 c) d) e) 0 ).- x 15 0 a) 16 b) 69 c) 8 d) 7 e) 64 ).- x 5x 0 a) 16 b) 7 c) 1 d) 7 e) 6 4).- 4x x 0 a) 5 b) c) d) e) N.A. 14).- (x ) (x + ) 15 = 0 a) 6 b) 5 c) 8 d) 4 e) N.A. 15).- x = 5x a) 1 5 b) c) 0 5 d) 1-5 e) N.A 16).-4x = -x a) 8 1 b) 1 8 c) 0 1 d) 0-5 e) ).- x x = x 4x a) 0 ½ b) 1 ½ c) 1 ½ d) 0 - ½ e) N.A. a) 146 b) 487 c) 451 d) 17 e) 61

12 18).- 5x + 4 = (x + ) a) 1 b) 0 -/5 c) 0 /5 d) 6 e) N.A. 19).- (x-) (x + 5) = -16 a) 0 /6 b) 0 /5 c) 5 /5 d) 0-6/ e) N.A. 0).- x x 6 = 0 a) b) 1 - c) 1 d) e) 1 5 1).- x + 7x 18 = 0 a) -9 b) 1-9 c) d) e) 9 ).- x + 8x - 65 = 0 a) b) 1 5 c) 1-5 d) 5 1 e) N.A. ).- x + 7x 4 = 0 a) 4 1 b) ½ 4 c) ½ 4 d) ½ -4 e) -4 d) 7-9 e) 1 9 0).- 5x 7x 90 = 0 a) 1 b) 5 c) 18/5 d) b y c e) a y b 1).- x 7x + = 0 a) b) 1/ c) - d) a y c e) a y b CLAVES DE RESPUESTAS 1) a ) e ) c 4) e 5) c 6) d 7) e 8) c 9) d 10)e 11)c 1)a 1)c 14)a 15)c 16)e 17)a 18)c 19)d 0)d 1)a )b )d 4)b 5)a 6)a 7)b 8)d 9)b 0)e 4).- 0x 7x = 14 a) 5 b) /5 7/4 c) / 0 d) /5-7/4 e) N.A. 5).- x x 15 = 0 a) 5 b) c) 5 d) 5 e) N.A. III.- Resuelve aplicando la formula general. 6).- x 5x + = 0 a) 1 / b) /5 - c) 1 / d) 1/ e) N.A. 7).- 4x + x - = 0 a) 11 b) 11/4 c) 1/ - d) /5 6 e) N.A. 8).- x + 11x + 4 = 0 a) 8 b) 6 c) -8 d) -8 e) N.A. 9).-x 16x + 6 = 0 a) 1 7 b) 7 9 c) 7

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