5 o. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas. MATEMÁTICA Guía didáctica


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1 Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas MATEMÁTICA Guía didáctica 5 o

2 Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile 2013

3 Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas MATEMÁTICA Guía Didáctica / 5 o básico 5 o MINISTERIO DE EDUCACIÓN NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA 2013

4 MATEMÁTICA / 5 BÁSICO PRESENTACIÓN Las actividades presentadas permiten alcanzar objetivos de aprendizaje de la primera unidad del Programa de Estudio de 5 básico. Se abordan técnicas para el cálculo mental de multiplicaciones y el cálculo de operaciones que combinan las cuatro operaciones aritméticas. En este mismo contexto se aborda el estudio de problemas que para su solución requieren calcular operaciones que combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Los objetivos de aprendizaje del currículum que se abordan en la unidad son los siguientes: Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación: anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10, doblar y dividir por 2 en forma repetida, usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (OA2). Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda (OA5). Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones de ellas, que incluyan situaciones con dinero, usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al (OA6). Los conocimientos previos que niños y niñas deben tener tienen relación por una parte, con el uso de estrategias de cálculo mental para multiplicar, estudiadas en cursos anteriores y que se basan en el uso de las combinaciones multiplicativas básicas y su extensión a números de dos y tres cifras. Por otra parte, con la resolución de problemas aditivos y multiplicativos que incluyen el uso de diagramas, se garantiza el desarrollo de habilidades tales como resolver problemas, modelar, representar y argumentar. Para alcanzar estos objetivos las tareas matemáticas que principalmente desarrollan las y los estudiantes son: Calcular el producto entre dos números cuando uno de los factores es múltiplo de 10, 100 o / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

5 MÓDULO Nº 1: OPERACIONES COMBINADAS: ESTRATEGIAS DE CÁLCULO Y PROBLEMAS Calcular multiplicaciones usando mitades y dobles. Calcular multiplicaciones usando la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación. Calcular el resultado de expresiones que combinan las cuatro operaciones aritméticas, con y sin uso de paréntesis. Resolver problemas que combinan las cuatro operaciones aritméticas. Identificar la expresión matemática que permite resolver un problema que combina las cuatro operaciones aritméticas. Estimar el resultado de problemas que combinan las cuatro operaciones aritméticas. Para variar el nivel de complejidad de las actividades que se abordan en la unidad, y que se relacionan con el cálculo mental de multiplicaciones, se han intencionado los números involucrados en el cálculo y el tipo de propiedades que se usan para realizarlos. También, en el cálculo de expresiones combinadas se han intencionado los números, la cantidad de operaciones y combinaciones de ellas y el uso de paréntesis. Por otra parte, en el estudio de los problemas se abordan contextos rutinarios y no rutinarios, y se considera para su graduación: la cantidad de operaciones que involucra su resolución, el uso de diagramas como apoyo pictórico para identificar la operación que los resuelve y el tipo de cálculos que deben realizar para resolverlos. Finalmente, es importante mencionar que en la unidad se trabajan las cuatro habilidades matemáticas propuestas en el currículum. La resolución de problemas no solo se aborda al trabajar el objetivo de aprendizaje que la menciona, sino también con el estudio de las técnicas para el cálculo de multiplicaciones y expresiones combinadas. Representar se aborda en los diagramas para resolver problemas. La modelización viene de la mano de la resolución de problemas. Argumentar y comunicar se trabaja durante toda la unidad, y para hacerlo explícito se han incorporado secciones en que niños y niñas deben escribir estrategias y conclusiones relacionadas con el desarrollo de cálculos aritméticos y la resolución de problemas. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 3

6 Programación Módulo 1 Matemática 5º Básico CLASES OBJETIVOS DE APRENDIZAJE INDICADORES DE EVALUACIÓN 1 Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación: anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10, doblar y dividir por 2 en forma repetida usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (OA2). Determinan productos cuando uno de los factores es múltiplo de 10, 100 o Calculan multiplicaciones, aplicando mitades y dobles. Por ejemplo: 34 5 = Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación: anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10, doblar y dividir por 2 en forma repetida usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (OA2) Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación: anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10, doblar y dividir por 2 en forma repetida usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (OA2). Calculan multiplicaciones, aplicando repetidamente dobles y mitades. Por ejemplo: = 6 50 = Doblan multiplicaciones dadas para realizar multiplicaciones. Por ejemplo: para calcular 12 3, piensan en 6 3 y la doblan. Usan las propiedades conmutativa y asociativa para multiplicar números. Por ejemplo: 25 (3 4) = 25 (4 3) = (25 4) 3 = = 300 Aplican la propiedad distributiva en multiplicaciones, descomponiendo en múltiplos de 10. Por ejemplo: = ( ) 4 = Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones con expresiones numéricas, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda (OA5). Realizan operaciones combinadas de sumas y restas. Realizan operaciones combinadas de sumas y restas que involucran paréntesis. Calculan expresiones desconocidas en igualdades en que intervienen sumas y restas. 5 Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones con expresiones numéricas, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda (OA5). Resuelven sumas y/o restas de multiplicaciones y/o divisiones. 4 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

7 EJEMPLOS DE PREGUNTAS REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR REFERENCIA A OTROS RECURSOS El precio de una camisa en una tienda mayorista es $ Cuánto valen 100 camisas del mismo precio? A B C D Calcular el producto 24 5 es equivalente a calcular: A B C D Calcular 5 ( ) es equivalente a calcular: a) b) c) d) El resultado de es: A. 340 B. 720 C D El resultado de la expresión : 10 es A. 20 B. 128 C. 200 D. 252 Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Recurso interactivo para trabajar la multiplicación: com/2013/02/tablas-de-multiplicaraprendo-con.html Multiplicar por potencias de 10: SegundaEtapa/matematica/ multiplicacionpor10.html descartes/decimal2/mx10a.htm Recurso interactivo para trabajar la multiplicación: CD23/contenidos/juegos/index.html Recursos propiedad distributiva: distributiva_c.swf Recursosdidacticos/QUINTO/datos/03_ Mates/datos/05_rdi/ud02/3/03.htm Recursos para el trabajo de la multiplicación: com/p/operaciones.html Recurso de operaciones combinadas: es/recursosdidacticos/quinto/ datos/03_mates/datos/05_rdi/ ud02/2/02.htm Recurso de operaciones combinadas: calculo/coc01_10.htm Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 5

8 CLASES OBJETIVOS DE APRENDIZAJE INDICADORES DE EVALUACIÓN 6 Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones con expresiones numéricas, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda (OA5). Aplican reglas de paréntesis en la operatoria con expresiones numéricas. 7 Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones: que incluyan situaciones con dinero, usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al (OA6). Estiman la solución de un problema dado y lo resuelven. Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema dado y lo resuelven. Explican la estrategia utilizada para resolver un problema. 8 Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones de ellas: que incluyan situaciones con dinero, usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al (OA6). Seleccionan y usan una estrategia para estimar la solución de un problema dado. Demuestran que la solución aproximada a un problema no rutinario dado, no requiere de una respuesta exacta. Determinan respuestas aproximadas. 9 Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones de ellas: que incluyan situaciones con dinero, usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al (OA6). Evalúan la solución de un problema en el enunciado. Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema dado y lo resuelven. Explican la estrategia utilizada para resolver un problema. 10 Evaluación del Módulo. Todos los indicadores tratados en el Módulo. 11 Reforzamiento. Todos los indicadores tratados en el Módulo. 6 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

9 EJEMPLOS DE PREGUNTAS REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR REFERENCIA A OTROS RECURSOS El resultado de 80 ( ) 800 es: A. 0 B. 90 C. 720 D Un kilo de azúcar cuesta $750. Rosa compró 3 kilos de azúcar y pagó con $5000. La expresión matemática que permite saber cuánto recibió de vuelto es: A B C D Luis comprará 3 cuadernos que cuestan $589 y un estuche que cuesta $998. Una estimación de lo que deberá pagar Luis por su compra es: A. $600 B. $1000 C. $1600 D. $2800 Un paquete de detergente de 3 kilogramos cuesta $9168. El precio de 1 kilogramo del mismo detergente cuesta $3022. Si una persona desea comprar 3 kilos de detergente, cuál es la mejor opción? A. Comprar 3 paquetes de 1 kilogramo. B. Comprar el paquete de 3 kilogramos. C. Se paga lo mismo en ambas ofertas. D. No se puede saber con la información dada. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Recurso de operaciones combinadas: jerarquia_opera_c.swf Unidades Didácticas Digitales de Matemática Enlaces MINEDUC: (Ver unidad de 3 básico) php?t=81&i=2&cc=1913&tm=2 Recursos para el trabajo de la estimación del resultado de operaciones: est.htm#topic10 Recurso para el trabajo de expresiones matemáticas y problemas con más de una operación: com/2011/02/10/operacionescombinadas-y-problemasmatematicos/ Banco de preguntas prueba SIMCE: simce/banco-de-preguntas-simce/ Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 7

10 PLAN DE CLASE Nº 1 Objetivo de la clase: Calcular mentalmente multiplicaciones en que uno de los factores es múltiplo de 10, 100 o 1000, usando dobles y mitades. INICIO / 15 minutos La Actividad 1 da el precio de cuatro tipos de lápices. Se pide calcular el costo de cuatro compras; en todas, el número de lápices a comprar es una potencia de 10. Dé un tiempo para que desarrollen la actividad en forma individual y luego compartan las respuestas con un compañero o compañera. Es probable que al calcular el costo de la compra utilicen una técnica de cálculo escrito, basada en la tabla de 10, que ya manejan desde cursos anteriores. Por ejemplo, para calcular el costo de 10 lápices de pasta multipliquen 83 10, o para calcular el costo de 100 lápices de mina calculen primero y luego el resultado lo vuelvan a multiplicar por 10. Comparta con todo el curso estos procedimientos y a partir de ellos concluya que al multiplicar un número cualquiera por 10, 100 o 1000 se desplaza el patrón numérico en una posición, dos posiciones o tres posiciones respectivamente. De esta forma se tiene, por ejemplo: UM C D U El dígito de la unidad pasa a la posición de la decena. El de la decena pasa a la posición de la centena. Y el de la centena a la unidad de mil. Esto ocurre porque como 10 es la base del sistema de numeración, al multiplicar por este número se desplaza el patrón numérico. Se sugiere plantear otros cálculos similares a los anteriores para reforzar esta técnica, por ejemplo: , , , , etc. Estos cálculos los puede plantear en un contexto de juego donde prime la rapidez como consigna, de manera que se vean obligados a usar estrategias mentales para hallar las respuestas. Es importante que a la hora de revisar las respuestas pida que expliquen y argumenten sus respuestas. Se espera que sean sus estudiantes quienes establezcan que los cálculos se pueden desarrollar en forma mental, ya que uno de los factores es 10 o una potencia de 10. DESARROLLO / 55 minutos En la Actividad 2 parte a) se muestra un procedimiento usado por el dueño de una librería que compró 30 bolígrafos. Dé un tiempo para que analicen el procedimiento y escriban en parejas una explicación al procedimiento mostrado. Una vez que la mayoría haya respondido, genere un momento de reflexión que permita establecer la forma en que se calculó el producto / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

11 Es importante destacar cómo calculó: (3 10) = Descompone el 30 convenientemente como 3 10 usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Nuevamente usa la propiedad asociativa y calcula primero Luego ese resultado lo multiplica por 10 usando la técnica estudiada en la actividad anterior basta agregar un cero al resultado. Pida que desarrollen la parte b), una serie de cálculos de multiplicaciones donde se espera que utilicen las técnicas descritas y estudiadas hasta el momento en la clase. Al revisar sus respuestas es importante que expliquen y justifiquen sus procedimientos haciendo alusión a los conocimientos matemáticos abordados hasta el momento. La parte c) presenta tres problemas de multiplicación en que uno de los factores de las multiplicaciones que resuelven los problemas es 10 o un múltiplo de 10. De esta forma, se espera que resuelvan los problemas realizando un cálculo mental. La Actividad 3 propone una nueva técnica de cálculo mental de multiplicaciones basada en el uso de dobles y mitades. La parte a) presenta un esquema que deben completar de la siguiente forma: Mitad = 10 Doble = Al completar el esquema se espera que establezcan que los resultados son iguales, y concluyan que al dividir por la mitad un factor y doblar el otro, el resultado se mantiene, por tanto, se puede transformar una multiplicación en otra más sencilla de calcular. Al descomponer un factor de manera conveniente o representar un producto de otra forma usando dobles y mitades, es importante que los estudiantes comprendan que son expresiones equivalentes entre sí y que solo se han representado de manera distinta usando las propiedades de los números o de la multiplicación. Así, pueden desarrollar paulatinamente la habilidad de representar. CIERRE / 15 minutos Destaque el funcionamiento de las tres técnicas vistas en la clase (puede leer con ellos nuevamente la sección Lee con atención. Para retomar el funcionamiento de las técnicas plantee ejemplos que permitan explicarlas de forma concreta. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: ; ; En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 9

12 PLAN DE CLASE Nº 2 Objetivo de la clase: Calcular mentalmente multiplicaciones usando dobles y mitades. INICIO / 15 minutos Revisen la tarea. Observe que en los cálculos propuestos en la tarea uno de los factores es 642. Aproveche este aspecto para relacionar las tres técnicas abordadas en la clase anterior señalando que en el primer producto, como el otro factor es 100, basta desplazar el patrón numérico para encontrar el resultado, agregando dos ceros al 642. En el segundo, el otro factor es 200, que se puede descomponer convenientemente como 2 100, de esta forma el producto obtenido anteriormente bastará multiplicarlo por 2 para obtener este nuevo resultado. Finalmente, como en el tercer producto uno de los factores es 50, se puede multiplicar por 2 obteniendo 100, y para mantener la igualdad, se debe calcular 642 : 2 y entonces el producto se transforma en Motive al curso a explicar sus respuestas justificando los procedimientos que utilizan para desarrollar los cálculos. Contraste las distintas respuestas que pueden haber surgido, de manera que a partir de las comparaciones quienes presenten los corrijan. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 parte a) propone nuevamente un esquema que deben completar desarrollando algunos cálculos de la siguiente forma: Mitad Mitad = Doble = Doble = El procedimiento que se propone esta vez en el esquema pretende que los estudiantes construyan una técnica basada en el cálculo reiterado de dobles y mitades para calcular un producto. En el ejemplo: se divide dos veces por 2 el primer factor y paralelamente se multiplica dos veces por 2 el segundo factor. De esta forma el producto se transforma en uno más sencillo de calcular. Este tipo de procedimiento, al igual que el de la clase anterior, se basa en el producto de un número por una potencia de 10. De esta forma, cuando uno de los factores es 25 o 250, y el otro es posible de dividir por 4, se puede aplicar reiteradamente el cálculo de dobles y mitades para transformarlo en uno más sencillo de calcular. Invite al curso a completar el esquema y responder las preguntas. Una vez que la mayoría haya respondido, genere con el curso un momento de reflexión que les permita comprender el funcionamiento de la técnica y justificarla usando los conocimientos matemáticos abordados hasta el momento. 10 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

13 En la parte b) aparecen varios cálculos que se espera que desarrollen usando esta técnica. Pida que los resuelvan de manera individual, y observe quiénes aún no comprenden el uso de dobles y mitades para calcular mentalmente multiplicaciones. En dichos casos, apóyelos a través de esquemas como el de la parte inicial de la actividad. La Actividad 2 propone un nuevo procedimiento para el cálculo de multiplicaciones en forma mental, pero esta vez consiste en buscar el doble de un producto conocido: 7 4 = 28 Paso = 56 Paso 2 Por ejemplo, para calcular 14 4, se descompone 14 en 7 2 y se puede calcular el doble de 7 4 (que corresponde a una combinación multiplicativa básica estudiada en cursos anteriores. Invite al curso a analizar el procedimiento y explicarlo con sus propias palabras. Una vez que la mayoría haya escrito una explicación, revise sus respuestas y sistematice que para calcular una multiplicación es posible basarse en otra ya conocida usando dobles; por ejemplo, para calcular 18 6 se descompone 18 como 2 9 y luego se calcula el doble de 9 6 y así se tiene que 18 6 = 2 (9 6) = 2 54 = 108 Observe que en el uso de este procedimiento, se descompone el primer factor como 2 n, en este caso, 2 9; de esta forma se calcula el doble de un producto conocido. Por lo anterior, al dar otros ejemplos es importante resguardar que dicho factor sea un número par. La parte b) propone tres productos en que los estudiantes deben seleccionar aquel que permite calcularlo a través de esta técnica basada en los dobles. Pida que respondan individualmente y luego revisen en conjunto. La Actividad 3 repasa las técnicas vistas en la clase. Las partes a) y b) contienen una serie de cálculos que niños y niñas deben resolver usando las técnicas estudiadas. La parte c) propone dos problemas de multiplicación cuyos datos permiten usar las técnicas propuestas en la clase. Al momento de revisar las respuestas, pida que expliquen y argumenten los procedimientos que utilizan para realizar los cálculos. Para ello, es importante que al analizar por primera vez las técnicas propuestas hayan explicado con sus propias palabras los procedimientos, registrando dichas explicaciones. Resguarde también que comprendan las distintas formas de representar un producto, estableciendo que al ir modificando los factores con dobles y mitades, la igualdad se mantiene. CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso el funcionamiento de las técnicas vistas en la clase: Para calcular algunos productos, es posible convertirlos en otros equivalentes que sean más fáciles de calcular, dividiendo por dos el primer factor y multiplicando por dos el segundo factor. Otros productos se pueden calcular basándose en uno ya conocido, por ejemplo, para calcular 22 7, descomponiendo 22 como 11 2 resuelven 11 7, y luego calculan el doble de este producto. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: 64 25; 18 7 En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 11

14 PLAN DE CLASE Nº 3 Objetivo de la clase: Calcular multiplicaciones usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. INICIO / 15 minutos Revisen la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar y explicar la respuestas que encontraron para los cálculos dados. Con ellos, se espera que en el primer caso hayan usado una estrategia basada en el cálculo reiterado de dobles y mitades de la siguiente forma: = = = 1600; y en el segundo caso, una estrategia basada en el cálculo del doble de un producto conocido: 18 7 = 2 (9 7 ) = 2 63 = 126 Observe si usaron las estrategias estudiadas en la clase anterior para calcular los productos. En caso que hayan usado otras estrategias de cálculo, contraste estos procedimientos con los estudiados en la clase, de manera que establezcan la efectividad de estas últimas y las justifiquen al compararlas con otras menos eficaces. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 repasa los productos que dan como resultado 10, 100 o 1000, ya que serán la base para la construcción de nuevas estrategias para el cálculo de multiplicaciones que esta vez se basan en el uso de propiedades de esta operación. Se pide que marquen los recuadros que dan como resultado 10, 100 o En varios casos aparecen productos similares, pero con distinto orden de sus factores, por ejemplo: 5 20 y Observe si son capaces de identificar ambos productos como descomposición multiplicativa del 100. Una vez que la mayoría haya respondido, revise sus respuestas destacando las formas que usaron para encontrar los productos solicitados. Destaque, además, que en los recuadros aparecieron varios productos que presentaban los mismos factores pero en distinto orden, señale que en la multiplicación, al igual que en la suma, existe la propiedad conmutativa que permite establecer que no importan el orden de los factores, si éstos corresponden a los mismos números, el resultado de los productos es el mismo, por ejemplo: 5 20 = 20 5 = 100. La Actividad 2, muestra dos procedimientos usados por dos estudiantes para el cálculo del producto de tres factores Los procedimientos mostrados son los siguientes: Marta Nicolás 20 (7 5) = (20 7) 5 20 (7 5) = (20 5) / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

15 Es importante señalar que en esta parte del Módulo es la primera vez que aparece el uso de paréntesis; si bien no es el foco principal de la clase pues se estudiará más adelante, se sugiere destacar que, en general, estos signos nos indican por dónde comenzar a calcular. Invite a analizar los procedimientos y responder las preguntas. Una vez que la mayoría haya respondido, genere un ambiente de reflexión en torno al contraste de ambos procedimientos. Destaque con su curso que Marta realiza los cálculos en el mismo orden en que aparecen, necesitando usar un procedimiento escrito para encontrar el resultado de 140 5, mientras que Nicolás invierte el orden de los dos últimos factores y calcula primero 20 5, obteniendo 100, y luego mentalmente encuentra la respuesta. Analice en conjunto el procedimiento de Nicolás, que resulta más eficaz, apoyándose en la sección Lee con atención. Pida que realicen los cálculos que aparecen en la parte a). La Actividad 3 propone una situación de contexto con el propósito de introducir el cálculo de multiplicaciones usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición. Invite a leer la situación y responder las preguntas. Luego revisen en conjunto las respuestas. Destaque que para calcular la cantidad de dinero que reunió Samuel se puede proceder de dos formas distintas. Una de ellas es calcular la cantidad de dinero en monedas de $100 que juntó en los cuatro días y, paralelamente, la cantidad de dinero que juntó en monedas de $10, para luego sumar ambos resultados. La otra es calcular 4 veces la suma del dinero en monedas de $100 y $10 que reunió diariamente. En ambos casos se obtiene el mismo resultado, ya que se ha realizado el conteo de dinero de formas diferentes. Destaque que ambos procedimientos provienen de una propiedad de la multiplicación denominada distributiva, que se relaciona con la adición y que permite establecer la igualdad: 4 ( ) = CIERRE / 15 minutos Sistematice con el curso las propiedades de la multiplicación vistas en la clase y que han permitido construir nuevas técnicas de cálculo para esta operación. Se sugiere usar ejemplos como los siguientes: - Conmutativa: = Asociativa: 43 (5 2) = (43 5 ) 2 - Distributiva: = 3 (5 + 10) Destaque el funcionamiento de las técnicas vistas en la clase: Para calcular el producto de tres factores es posible usar las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación para ir cambiando el orden de los factores y así calcular los productos de forma conveniente, por ejemplo: 32 (3 10) = (32 10) 3 = = 960 La propiedad distributiva permite calcular el producto de una suma distribuyendo el factor de la siguiente forma: 3 ( ) = = = 450. De esta forma, se puede descomponer como suma un factor para calcular el producto más fácilmente, por ejemplo: 4 65 = 4 ( ) = = = 260. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: 35 (7 2); 5 ( ) En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 13

16 PLAN DE CLASE Nº 4 Objetivo de la clase: Calcular el resultado de expresiones que combinan sumas y restas. INICIO / 15 minutos Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar cómo calcularon los productos de la tarea. Solicite que expliquen los procedimientos que usaron, justificando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. En el primer producto es importante observar si son capaces de darse cuenta que al conmutar 7 2, el primer producto que deben calcular es 35 2 = 70. Luego, pueden usar una estrategia basada en la extensión de las combinaciones multiplicativas básicas, 7 7 para calcular 70 7 = 490. En el segundo producto, es importante observar si calculan el producto de manera correcta, ya que podrían presentar errores como los siguientes: - Error 1: solo calculan el producto de 5 por el primer sumando, obteniendo = = Error 2: calculan el producto de los tres números sin considerar la suma, obteniendo = = Al momento de revisar la tarea pregunte si están de acuerdo con la respuesta que presenta quien muestra su resultado en la pizarra, sin señalar si es correcto o incorrecto. De esta forma, podrá contrastar las respuestas y estrategias de los estudiantes para que sean ellos mismos quienes determinen los posibles errores que pueden haber presentado. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 busca que construyan una estrategia que les permita calcular el resultado de expresiones que combinan adiciones y sustracciones. Se proponen tres expresiones matemáticas de este tipo y se pide que encuentren el resultado, por ejemplo: = Es conveniente que para calcular el resultado de la expresión vayan desarrollando los cálculos en forma lineal, de tal forma que se suma primero = 1500, y luego a dicho resultado se le resta 800, = 700. Finalmente, = 700 Luego, se propone que calculen dos expresiones usando dos estrategias diferentes, por ejemplo: , se puede calcular a partir de las siguientes estrategias: Forma = = 2800 Resolver de izquierda a derecha Forma = = 2800 Calcular primero las adiciones y luego la sustracción Forma = = 1600 Esta forma no es correcta 14 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

17 Al momento de revisar las respuestas, releve las distintas estrategias que surgieron en el curso, contrastando las respuestas y corrigiendo errores como el de la forma 3. Este error se destaca justamente para que se tome conciencia de que en el conjunto de los números naturales, el número 1200 corresponde al sustraendo de una sustracción y no a un sumando de una adición. Por tal razón, es importante que usted sistematice que para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones y sustracciones es conveniente resolver de izquierda a derecha las operaciones que aparecen en la expresión matemática. Otra forma es calcular primero las sumas y luego restar el número que corresponde al sustraendo. En la Actividad 2 parte a) se proponen dos procedimientos usados por Matías y Belén para calcular el resultado de una expresión que combina adiciones y sustracciones, y que además presenta un paréntesis. Los cálculos presentan distintos resultados, ya que solo Belén respetó el uso del paréntesis. El propósito de la actividad es introducir el uso de estos signos en el cálculo de expresiones aritméticas combinadas, por tanto es importante que los estudiantes analicen y discutan los procedimientos propuestos. Invite a desarrollar la actividad en parejas, dé un tiempo para que discutan y luego revise en conjunto con el curso. Al revisar es probable que algunos estudiantes señalen que Matías llegó a la respuesta correcta, ya que fue quien realizó el cálculo en el orden en que aparecían las operaciones de izquierda a derecha (sin considerar el paréntesis). En dichos casos invítelos a recordar lo señalado en clases anteriores, destacando que en una expresión matemática, el paréntesis destaca una operación de otras, indicando que dicha operación se debe calcular primero en la expresión. Sistematice que cuando aparecen paréntesis en una expresión matemática que contiene adiciones y sustracciones, es necesario resolver primero las operaciones que están dentro del paréntesis. Por ejemplo, para calcular el resultado de 4600 ( ), se calcula primero la operación = 4000, y luego = 600. En la parte b) aparecen una serie de expresiones matemáticas del mismo tipo. Pida que las resuelvan en forma individual, para que observe quiénes aún no comprenden cómo calcular este tipo de expresiones. La Actividad 3 propone completar expresiones matemáticas basándose en los conocimientos matemáticos abordados en las actividades anteriores. Por ejemplo: 3900 = 2500 Para calcular el resultado se espera que utilicen la relación inversa entre la adición y sustracción, buscando un número que sumado a 2500 dé como resultado Es importante que las y los estudiantes expliquen con sus propias palabras los procedimientos que utilizan. Motive que en sus explicaciones hagan alusión a las propiedades de las operaciones aritméticas estudiadas hasta el momento y a las propiedades de los números que se retomaron en este Módulo. CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: Para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones y sustracciones es conveniente ir realizando las operaciones que aparecen en la expresión en un orden de izquierda a derecha. Cuando en una expresión matemática que contiene adiciones y sustracciones aparecen paréntesis, es necesario resolver primero las operaciones que están dentro del paréntesis. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: ( ) En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 15

18 PLAN DE CLASE Nº 5 Objetivo de la clase: Calcular el resultado de expresiones que combinan las cuatro operaciones aritméticas. INICIO / 15 minutos Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar la forma en que calcularon el resultado de la expresión matemática. Solicite que expliquen los procedimientos que usaron para calcular, justificando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. Es probable que algunos estudiantes aún tengan dificultades para comprender la forma de calcular el resultado de expresiones que presentan paréntesis, y en este caso lo hagan de la siguiente forma: = = = 1600 Por lo anterior, es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar la expresión propuesta en la tarea, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. En caso que observe que aún algunos estudiantes resolvieron la tarea cometiendo el error descrito, proponga otros ejemplos similares, de manera que tengan la oportunidad de corregir los procedimientos que usan para desarrollar este tipo de expresiones matemáticas. También pueden verificar con la calculadora. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 presenta un problema que requiere combinar operaciones matemáticas para resolverlo. El problema es el siguiente: En el quiosco de un colegio hay 3 pack de yogures Frutitas que contienen 12 yogures cada uno y 5 pack de yogures Sabroso que contiene 20 yogures cada uno. Cuántos yogures hay en el quiosco? Deben seguir unos pasos que les permitirán llegar a la respuesta. Invite a responder las instrucciones que hay en cada paso en parejas y luego revise las respuestas con todo el curso. Es importante destacar que para facilitar la modelización del problema presentado, se ha incluido en el paso 2 un diagrama que se espera niños y niñas completen de la siguiente manera: Cantidad Total de Yogurt? Frutitas Sabroso El diagrama permite modelar a través de barras los datos y la pregunta del problema, pero además, a partir de él, se puede establecer relaciones entre la información que contiene el enunciado. Oriente a sus estudiantes para que, a partir del diagrama que completaron, establezcan la expresión matemática (paso 3) que permite resolver el problema. Como en cursos anteriores han estudiado problemas de multiplicación, 16 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

19 puede plantear preguntas como: Qué operación matemática permite saber cuántos yogures Frutitas compraron en el quiosco? Qué operación matemática permite saber cuántos yogures Sabroso compraron en el quiosco? Cómo calculamos el total? De esta forma se espera que establezcan que para calcular el total de yogures es necesario calcular el resultado de la siguiente expresión: Para encontrar el resultado de la expresión matemática se espera que los estudiantes también se apoyen en el diagrama. A partir del diagrama se puede establecer que el total de yogures corresponde a la suma de los yogures Frutitas y Sabroso ; antes de sumar es necesario saber cuántos yogures hay de cada uno de ellos, por lo que primero se deben resolver las multiplicaciones y después calcular la adición. Sistematice con el curso que cuando en una expresión matemática aparecen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se deben calcular primero las multiplicaciones y divisiones, para luego calcular las sumas y restas. La Actividad 2, propone cuatro expresiones matemáticas combinadas. Invite a los estudiantes a desarrollarlas y explicar cómo realizaron los cálculos y el orden en que los fueron haciendo (se muestra un ejemplo de cómo realizar dicha explicación). Revise las respuestas en conjunto con el curso, resguardando que lean sus explicaciones y las justifiquen usando sus propias palabras. La Actividad 3 muestra el procedimiento usado por dos estudiantes para calcular el resultado de una expresión matemática combinada. Invite a analizar estos procedimientos y responder las preguntas. Carlos 550 : Pedro 550 : Es probable que algunos de los estudiantes del curso hayan cometido errores como el de Carlos. Por lo anterior, es importante motivarlos para que analicen estos procedimientos y expliquen el error con sus propias palabras. 520 La parte b) propone dos cálculos resueltos que deben revisar, escribiendo sus observaciones en un recuadro. Revisar el procedimiento realizado por otro es una tarea de mayor complejidad que el solo hecho de calcular el valor de una expresión matemática. Este tipo de tarea es una oportunidad para ir desarrollando la habilidad de argumentar de los estudiantes. Motívelos a que expliquen sus evaluaciones a los procedimientos dados con sus propias palabras. CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso a través de un ejemplo que: Para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se deben calcular primero las multiplicaciones y divisiones, para luego calcular las adiciones y sustracciones TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: 34 : En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 17

20 PLAN DE CLASE Nº 6 Objetivo de la clase: Calcular el resultado de expresiones que combinan las cuatro operaciones aritméticas empleando paréntesis. INICIO / 15 minutos Revise la tarea. Pida a uno o más estudiantes que muestren cómo calcularon el resultado de la expresión matemática. Solicite que expliquen los procedimientos que usaron para calcular, argumentando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. Es probable que algunos estudiantes aún tengan dificultades para comprender la forma de calcular el resultado de expresiones que presentan las cuatro operaciones, y lo hagan de la siguiente forma: 34 : = = 25 5 = 125 Por lo anterior, es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar la expresión propuesta en la tarea, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. En caso que observe que hay varios estudiantes que resolvieron la tarea cometiendo el error descrito anteriormente, proponga otros ejemplos como el anterior, de manera que tengan la oportunidad de corregir los procedimientos que emplearon. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 presenta un problema que requiere combinar operaciones matemáticas para resolverlo. Claudia y su hermano juntaron dinero durante 3 meses para comprar el regalo de cumpleaños para su mamá. Claudia ahorró $1200 mensualmente y su hermano $1500 cada mes. Al momento de comprar el regalo el papá les aportó $2000. Con cuánto dinero cuentan Claudia y su hermano para comprar el regalo de cumpleaños de su mamá? Posteriormente, se pide que desarrollen una serie de pasos que les permitirán llegar a la respuesta. Pida que respondan las instrucciones de cada paso en parejas y revise las respuestas en conjunto con el curso. Es importante destacar que para facilitar la modelización del problema presentado, se ha incluido en el paso 2 un diagrama que se espera que completen de la siguiente manera: Total de dinero con que cuentan para el regalo? $ $1500 $ $1500 $ $1500 $2000 Dinero reunido por Claudia y su hermano Dinero que regaló el papá 18 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

21 Oriente a los estudiantes para que, a partir del diagrama que completaron, establezcan la expresión matemática (paso 3) que permite resolver el problema. Para ello pregunte: Qué operación matemática permite saber cuánto dinero juntaron mensualmente entre los dos? Qué operación matemática permite saber cuánto dinero reunieron durante los 3 meses? Cómo calculamos el total? De esta forma se espera que establezcan que para calcular el total reunido por Claudia y su hermano deben calcular: 3 ( ) Para encontrar el resultado de la expresión matemática, se espera que recuerden el rol del paréntesis al calcular una expresión matemática combinada, basándose principalmente en los conocimientos estudiados cuando abordaron la propiedad distributiva de la multiplicación, y también se apoyen en el diagrama. Se espera que establezcan que para saber lo que reunieron durante los tres meses se debe calcular 3 veces la suma , y a ese resultado agregar el dinero que les regaló el papá. Sistematice con el curso que cuando en una expresión matemática aparecen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones y además paréntesis, se debe calcular primero la operación del paréntesis y luego multiplicaciones y divisiones, para finalmente calcular sumas y restas. La Actividad 2 propone cuatro expresiones matemáticas combinadas. Invite a desarrollarlas y explicar cómo realizaron los cálculos, señalando el orden en que los fueron haciendo. Para explicar sus respuestas pueden basarse en la forma en que lo hicieron la clase anterior. Una vez que la mayoría haya resuelto los cálculos, revise en conjunto las respuestas, resguardando que lean sus explicaciones y las justifiquen usando los conocimientos matemáticos abordados hasta el momento. La Actividad 3 tiene dos partes, que proponen una serie de ejercicios con el propósito de repasar las técnicas de cálculo vistas hasta el momento en el Módulo. La parte a) presenta el cálculo de productos que niños y niñas deben resolver usando más de una forma. Para ello se espera que utilicen las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. La parte b) propone varios ejercicios que combinan las cuatro operaciones y que, en algunos casos, presentan paréntesis. Invite a desarrollar esta parte en forma individual, de manera que pueda evaluar quiénes aún tienen dificultades para desarrollar este tipo de expresiones. La Actividad 3 permite realizar una evaluación formativa del proceso de estudio realizado hasta ahora en el Módulo. A partir de la observación del desempeño de niños y niñas podrá determinar las dificultades que se presentan y así podrá apoyarlos más concretamente. Para el resto de las clases en que se aborda la resolución de problemas combinados, es importante que los estudiantes tengan herramientas sólidas para calcular expresiones matemáticas combinadas que incluyen el uso de paréntesis. CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso a través de un ejemplo que: Para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se deben calcular primero las multiplicaciones y divisiones, para luego, calcular las adiciones y sustracciones. Si en la expresión aparecen paréntesis, se debe calcular primero la operación escrita en ellos, para luego seguir el orden de las operaciones antes señalado. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: 8 (5 + 20) 100 : 10 En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 19

22 PLAN DE CLASE Nº 7 Objetivo de la clase: Resolver problemas que involucran las cuatro operaciones estimando el resultado e identificando la expresión matemática que permite resolverlos. INICIO / 15 minutos Revise la tarea. Pida a algunos estudiantes que muestren cómo calcularon el resultado de la expresión matemática. Motive que expliquen los procedimientos que usaron para calcular, argumentando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. Posibles errores al desarrollar la expresión son los siguientes: - Error 1: no aplicar correctamente la propiedad distributiva y calcular: : 10 = = 50 - Error 2: calcular primero la resta y luego la división : 10 = 100 : 10 = 10 Es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar la expresión propuesta en la tarea, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. Si observa que hay varios estudiantes que resolvieron la tarea cometiendo alguno de los errores anteriores, proponga otros ejemplos similares, de manera que tengan la oportunidad de corregir los procedimientos que usan para desarrollar este tipo de expresiones matemáticas. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 parte a) presenta un problema que requiere combinar operaciones matemáticas para resolverlo: El kilo de arroz en precio oferta cuesta $647 y el litro de aceite $895. Marta compró 3 kilos de arroz y 1 litro de aceite en precio oferta. Cuánto dinero pagó por la compra? Para resolver el problema se incluyen pasos que niños y niñas deben seguir. Trabajan en parejas y luego revisan las respuestas en conjunto. En el paso 2 hay un diagrama que se espera que completen de la siguiente manera: Cantidad total de la compra? $647 $647 $647 $895 A partir del diagrama, oriente para que establezcan la expresión matemática (paso 3) que permite resolver el problema. Para ello puede plantear preguntas: Qué operación matemática permite saber el costo de los 3 kilos de arroz? Qué operación matemática permite saber cuánto dinero cuesta la compra total? Se espera que establezcan que para calcular el total de la compra se debe desarrollar la expresión Una vez que hayan resuelto el problema, se espera que analicen una forma de estimar el resultado. La parte b) propone una segunda situación en que Marta estima el total de la compra calculando: = = / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica

23 Invite al curso a reflexionar sobre el procedimiento usado por Marta y luego sistematice que: - Para estimar el resultado de una expresión aritmética se pueden redondear los valores a un múltiplo de 10, 100 o 1000 cercano, y luego calcular mentalmente usando estrategias como las vistas en clases anteriores. - La estimación de la respuesta de un problema permite evaluar con anticipación si el resultado que se obtiene es correcto. La Actividad 2 propone tres problemas combinados y se pide a los estudiantes completar el diagrama y escribir la expresión matemática que permite resolverlos. Invite a niños y niñas a resolver esta parte de la actividad y luego revise sus respuestas en conjunto con todo el curso. Los diagramas y expresiones que deben completar son los siguientes: Problema 1: Total del dinero ahorrado? $3500 $3500 $3500 $3500 $3500 $3500 $5000 Problema 2: ( ) : 10 Problema 3: Kilos 16 Kilos?????????? 23 botellas 23 botellas 23 botellas 5 botellas botellas para reciclar? La Actividad 3 presenta tres problemas como los estudiados en la clase, pero esta vez deben resolverlos dibujando un diagrama y estimando el resultado del problema antes de calcular. Pida que resuelvan los dos primeros y deje como tarea el tercer problema. La estimación es una habilidad que permite a los estudiantes anticipar o evaluar sus respuestas cuando resuelven problemas simples o combinados. CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: Para resolver problemas en que se combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se puede dibujar un diagrama que permita relacionar los datos con la pregunta. Para estimar la respuesta de un problema se pueden redondear los valores de los datos del problema y usar un cálculo mental que dé una respuesta aproximada. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Calcular: Resolver el problema c) de la Actividad 3. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 21

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